烟台市高三一模考试(数学理)

理科数学

本试题共6页，23题(含选考题)。全卷满分150分。考试用时120分钟。 注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、考试号填写在试卷和答题卡上。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．已知集合A1,0,1,2,3，Bxy1log3x，则集合A∩B= A．0,1,2

B．1,2

C．0,1,2,3

D．1,2,3

2．已知复数z5i43i (i是虚数单位)，则z的虚部为

A．45i B．45i C．45 D．45

3．某产品广告宣传费与销售额的统计数据如右表：根

据数据表可得回归直线方程yˆbxˆaˆ，其中bˆ2，据此模型预测广告

费用为9千元时，销售额为

A．17万元 B．18万元

C．19万元

D．20万元

4．己知等差数列an的前n项和为Sn，若a3+a7=6，则S9等于 A．15

B．18

C．27

D．39

5．定义在R上的奇函数fx满足fx2fx，当x1,0时，

fxex，则f92=

A．e

B．e C．11e

D．e n6．已知x327x的展开式的各项系数和为243，则展开式中x的系数为

A．5

B．40

C．20

D．10

xy207．设变量x,y满足约束条件xy0，则zx1x2y402y的最大值为

A．－6

B．

32 C．

73 D．3

8．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，书中有一问题：“今有方物一束，外周一匝有三十二枚，问积几何?”该著作中提出了一种解决此问题的方法：“重置二位，左位减八，余加右位，至尽虚减一，即得．”通过对该题的研究发现，若一束方物外周一匝的枚数n是8的整数倍时，均可采用此方法求解．右图是解决这类问题的程序框图，若输入n=24，则输出的结果为 A．23 B．47 C．24 D．48 9．若函数fx4sinxsin2x24cos2x10在22,3上是增函数，则的取值范围是 A．0,1

B．3,4

C．1,

D．0,34

x2y210．双曲线a2b21a0,b0的左、右焦点分别为F1、F2，过F2作倾斜角为60°的直线与y

轴和双曲线的左支分别交于点A、B，若OA12OBOF2，则该双曲线的离心率为 A．3

B．2

C．23

D．5

11．已知函数yfx对任意的x0,满足fxsinxfxcosx (其中fx为函数fx的导函数)，则下列不等式成立的是 A．f42f6

B．f42f6 1

C．f62f4

D．f62f4

12．已知fxax3bx2cxda23bc函数在R上是单词递增函数，则2b3a的最小值是 A．1 B．2 C．3 D．4

二、填空题：本大题共有4个小题，每小题5分，共20分。 13．若非零向量a,b满足ab，

3a2ba0，则a与b的夹角为

14．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，∠B=60°，a=3，b=13，则c的值为

15．已知F(2，0)为椭圆x2y2a2b21ab0的右焦点，过F且垂直于x轴的弦的长度为6．若

A2,2，点M为椭圆上任一点，则MAMF的最大值为

16．如图，一张矩形白纸ABCD，AB=10，AD=102，E，F分别为AD，BC的中点．现分别将△ABE，△CDF沿BE，DF折起，

且A，C在平面BFDE同侧，下列命题正确的是(写出所有正确命题的序号)

①当平面ABE//平面CDF时，AC//平面BFDE； ②当平面ABE//平面CDF时，AE//CD； ③当A，C重合于点P时，PG⊥PD；

④当A，C重合于点P时，三棱锥P-DEF的外接球的表面积为150.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试

题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 (一)必考题：60分。 17．(12分)

己知各项均为正数的等比数列a112n，满足a11，且aa. 12a3(1)求等比数列an的通项公式；

(2)若数列b满足b，求数列bnnnlog2an1a的前n项和为Tn.

n

18．(12分)

如图，在三棱柱ABC-DEF中，AE与BD相交于点O，C在平面ABED的射影为O，G为CF的中点． (1)求证：平面ABED⊥平面GED；

(2)若AB=BD=BE=EF=2，求二面角A-CE-B的余弦值．

2

19．(12分)

某高中学校对全体学生进行体育达标测试，每人测试A、B两个项目，每个项目满分均为60分．从全体学生中随机抽取了100人，分别统计他们A、B两个项目的测试成绩，得到A项目测试成绩的频率分布直方图和B项目测试成绩的频数分布表如下：

(1)在抽取的100人，求A项目等级为优秀的人数；

(2)已知A项目等级为优秀的学生中女生有14人，A项目等级为一般或良好的学生中女生有34人，试完成下列2×2列联表，并分析是否有95％以上的把握认为“A项目等级为优秀”与性别有关?

(3)将样本的频率作为总体的概率，并假设A项目和B项目测试成绩互不影响，现从该校学生中随机抽取1人进行调查，试估计其A项目等级比B项目等级高的概率．

20．(12分)

已知抛物线x22pyp0和圆x2y2r2r0的公共弦过抛物线的焦点F，且弦长为4． (1)求抛物线和圆的方程；

(2)过点F的直线l与抛物线相交于A、B两点，抛物线在点A处的切线与x轴的交点为M，求△BM面积的最小值．

21．(12分) 已知fx12x2alnxaR有两个零点． (1)求a的取值范围；

(2)设x1,x2是fx的两个零点，求证：x1x22a．

(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22．[选修4—4，坐标系与参数方程](10分)

x12已知直线l的参数方程为22t，椭圆C的参数方程为x2cos2ysin (为参数)，

y122t在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点A的极坐标为2,3(1)求椭圆C的直角坐标方程和点A在直角坐标系下的坐标； (2)直线l与椭圆C交于P，Q两点，求△APQ的面积．

3

2018年高考诊断性测试理科数学参

一、选择题D C A C B B C B D C B A 二、填空题

13.

6 14. 4 15. 82 16. ①④ 三、解答题

17. 解：（1）由已知112a1a2a得：13a11a1q2a1q2， ………………………………1分

q2或q1（舍去） ………………………………3分

an2n1. ………………………………4分

（2）bnlog22nn，

bnann1 n2 ………………………………5分

Tn122021322n2n1 12Tn121222323n2n 两式相减得：21Tn11112021222n1n2n ………………………………8分

11 2n11n2n2nn………………………………11分 222 Tn4n22n-1. ………………………………12分 18. 解：（1）取DE中点M，在三角形BDE中，OM//BE，OM12BE. ……1分

又因为G为CF中点，所以CG//BE，CG12BE.

CG//OM,CGOM. 四边形OMGC为平行四边形.

MG//OC. …………………………2分

因为C在平面ABED内的射影为O，所以OC⊥平面ABED.

所以GM⊥平面ABED. …………………………3分 又因为GM平面DEG，

所以平面ABED平面GED. …………………………4分 （2）∵CO⊥面ABED，∴CO⊥AO，CO⊥OB 又∵ABBE四边形ABED为菱形，OB⊥AO，

以O为坐标原点，OA,OB,OC的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz， ………………………6分 于是A(3,0,0)，B(0,1,0)，E(3,0,0)， C(0,0,3)，

向量BE(3,1,0)，向量BC(0，1，3)， …………………………8分 设面BCE的一个法向量为m(x1,y1,z1)，

mBE0BC0，即3x1y10y， m13z10

不妨令z11时，则y13，x11，取m(1,3,1). ……………………10分 又n(0,1,0)为面ACE的一个法向量. 设二面角ACEB大小为，显然为锐角， 于是coscosm,nmnmn35155，

故二面角ACEB的余弦值为

155．………………………………………………12分 19. 解：（1）由A项目测试成绩的频率分布直方图，得

4

A项目等级为优秀的频率为0.04100.4， ……………………………………1分

所以，A项目等级为优秀的人数为0.410040．………………………………2分

（2）由（1）知：A项目等级为优秀的学生中，女生数为14人，男生数为26人.A项目等级为一般或良好的学生中，女生数为34人，男生数为26人.作出22列联表：

优秀 一般或良好 合计 男生数 26 26 52 女生数 14 34 48 合计 40 60 100 ………………………………4分

计算K2100(26342614)2406048524.514， ………………………………7分

由于K23.841，所以有95%以上的把握认为“A项目等级为优秀”与性别有关．

………………………………8分

（3）设“A项目等级比B项目等级高”为事件C．

记“A项目等级为良好”为事件A1；“A项目等级为优秀”为事件A2；“B项目等级为一般”为事件

B0；“B项目等级为良好”为事件B1．

于是P(A1)(0.020.02)100.4，P(A2)0.4， 由频率估计概率得：P(B351000.1，P(B40150)21)1000.55. …………10分

因为事件Ai与Bj相互，其中i1,2,j0,1．

所以P(C)P(A1B0A2B1A2B0)0.40.10.40.10.40.550.3．

所以随机抽取一名学生其A项目等级比B项目等级高的概率为0.3．…………………12分 20. 解：（1）由题意可知，2p4，所以p2，

故抛物线的方程为x24y. …………………………2分 又(p2)2p2r2，所以r25， …………………………3分 所以圆的方程为x2y25. …………………………4分 （2）设直线l的方程为：ykx1，并设A(x1,y1),B(x2,y2)，

联立x24yykx1，消y可得，x24kx40.

所以x1x24k,x1x24； ……………………5分

|AB|1k2|x21x2|1k216k164(1k2). ……………………6分 yxxx2，所以过A点的切线的斜率为12，切线为yy112(xx1)， 令y0，可得，M(x12,0)， ……………………7分

|kx1所以点M到直线AB的距离d21|， 1k2……………………8分

|x故S12k1ABM24(1k)21|1k21k2|kx12|， ……………………9分ky11x2又14xx，代入上式并整理可得： 141S1(x214)2ABM16|x|， ……………………10分 1f(x)(x24)2令|x|，可得f(x)为偶函数，

当x0时，f(x)(x24)2xx38x16x， f(x)3x2816(x24)(3x24)x2x2，令f(x)0，可得x233， 当x(0,233)，f(x)0，当x(233,)，f(x)0， 所以x2312833时，f(x)取得最小值9，

故S112838ABM的最小值为16939. ……………………12分

5

21. 解：（1）f(x)xax2axxx0， …………………………………………1分

当a0时，f(x)0，此时f(x)在(0,)单调递增，

f(x)至多有一个零点. …………………………………………2分

当a0时，令f(x)0，解得xa，

当x(0,a)时，f(x)0，fx单调递减，当x(a,)，f(x)0，fx单调递增，故当xa时函数取最小值f(a)a2(1lna).…………………4分

① 当0ae时，1lna0，即f(a)0，

所以f(x)至多有一个零点. …………………………………………5分

② 当ae时，1lna0，即f(a)a2(1lna)0.

因为f(1)120，所以f(x)在x(0,a)有一个零点； ………………6分 因为lnaa1，所以ln2a2a1，

f(2a)2a2aln2a2a2a(2a1)a0，由于2aa，所以f(x)在x(a,)有

一个零点.

综上，a的取值范围是(e,+).………………………………………………………7分 （2）不妨设x1x2，由（1）知，x1(0,a)，x2(a,).

构造函数g(x)f(ax)f(ax)(0xa)， …………………………8分

则g(x)2axaln(ax)alnax.

2g(x)2aaaxaxa2axx2a. …………………………9分

因为0xa，所以g(x)0，g(x)在(0,a)单调递减.

所以当x(0,a)时，恒有g(x)g(0)0，即f(ax)f(ax).……10分 因为x1(0,a)，所以ax1(0,a)

于是f(x2)f(x1)f[a(ax1)]f[a(ax1)]f2ax1.…11分

又x2(a,),2ax1(a,)，且f(x)在(a,)单调递增，

所以x22ax1，即x1x22a.………………………………………………12分

22. 解：(1)由 xy2cossin得x24y21. …………………………2分

因为A的极坐标为(2,3),所以x2cos31，y2sin33. A在直角坐标系下的坐标为(1,3) .

…………………………4分

22）将x12（2ty12代入x24y21，化简得10t262t110,

22t设此方程两根为t1,t2,则 t32111t25,t1t210. ………………………6分

PQt1t224t1t2825. ………………………8分 因为直线l的一般方程为xy10, 所以点A到直线l的距离d36. 22………………………9分 APQ的面积为18232525. ………………………10分

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