【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学 3.2.2 复数代数形式的乘除运算教案 新人教A版选修1-2

(教师用书独具)

●三维目标 1．知识与技能

理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，了解共轭复数的概念． 2．过程与方法

理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化问题，通过运算过程体会这一变形本质意图．

3．情感、态度与价值观

利用多项式除法和复数除法类比，知道事物之间是普遍联系的．通过复数除法运算，培养学生探索问题、分析问题、解决问题的能力．

●重点难点

重点：复数代数形式的乘除法运算． 难点：复数除法法则的运用．

(教师用书独具)

●教学建议

建议本节教学采用自学指导法，在学生自主学习的基础上可利用一下教学方法及手段完

1

成本节教学：(1)类比分析法，通过对比多项式的乘法法则推出复数乘法法则．(2)归纳推理法，运用已有的多项式乘法法则和分母有理化及复数加减法的知识，通过归纳类比，推导复数除法法则．(3)合理、恰当地运用多媒体教学手段，将静态事物动态化，将抽象事物直观化，以突破教学难点．

●教学流程

创设问题情境，引出问题，引导学生思考两个复数如何进行代数形式的乘法与除法运算．让学生自主完成填一填，使学生进一步熟悉复数代数形式的乘法、除法运算的法则，及其满足的运算律．引导学生分析例题1的运算方法并求解，教师只需指导完善，解答疑惑并要求学生完成变式训练．由学生分组探究例题2解法，引导学生去发现i运算的周期性，及其应用方法．完成互动探究．



完成当堂双基达标，巩固所学知识及应用方法．并进行反馈矫正．归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节所学知识，强调重点内容和规律方法．学生自主完成例题3变式训练，老师抽查完成情况，对出现问题及时指导．通过易错辨析纠正运算中出现的错误．让学生自主分析例题3，老师适当点拨解题思路，学生分组讨论给出解法．老师组织解法展示，引导学生总结解题规律．

n

1.掌握复数代数形式的乘、除运算．(重点) 课标解读 2．理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律．(难点) 3．理解共轭复数的概念．(易错点) 【问题导思】 1．如何规定两个复数相乘？

复数的乘法 【提示】 两个复数相乘类似于多项式相乘，只要在所得结果中把i换成－1，并且把实部与虚部分别合并即可．

2．复数乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律吗？ 【提示】 满足．

(1)设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则

2

z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.

(2)对于任意z1，z2，z3∈C，有

2

交换律 结合律 乘法对加法的分配律

z1·z2＝z2·z1 (z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3) z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3 【问题导思】 复数的除法与共轭复数 如何规定两个复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R，c＋di≠0)相除？ 【提示】

z1a＋bia＋bic－diac＋bd＋bc－adi＝＝＝. z2c＋dic＋dic－dic2＋d2

(1)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d为实数，c＋di≠0)，z1，z2进行除法运算时，通常先把(a＋bi)÷(c＋di)写成果：

a＋bi

的形式再把分子与分母都乘以c－di化简后可得结c＋di

ac＋bdbc－ad＋i. c2＋d2c2＋d2

(2)共轭复数

如果两个复数满足实部相等，虚部互为相反数时，称这两个复数为共轭复数，z的共轭复数用z表示．即z＝a＋bi，则z＝a－bi.虚部不等于0的两个共轭复数也叫共轭虚数

.

复数代数形式的乘除法运算 (1)(2013·课标全国卷Ⅱ)设复数z满足(1－i)·z＝2i，则z＝( ) A．－1＋i B．－1－i C．1＋i D．1－i (2)(2013·大纲全国卷)(1＋3i)＝( ) A．－8

1＋i62＋3i

(3)计算()＋＝________.

1－i3－2i

【思路探究】 (1)先设出复数z＝a＋bi，然后运用复数相等的充要条件求出a，b的值．

B．8 C．－8i D．8i

3

3

(2)直接利用复数的乘法运算法则计算．

1＋i2＋3i

(3)先计算再乘方，且将的分母实数化后再合并．

1－i3－2i

【自主解答】 (1)设z＝a＋bi，则(1－i)(a＋bi)＝2i，即(a＋b)＋(b－a)i＝2i.

a＋b＝0，

根据复数相等的充要条件得

b－a＝2，

a＝－1，

解得

b＝1，

∴z＝－1＋i.故选A.

(2)原式＝(1＋3i)(1＋3i)＝(1＋3i)(－2＋23i)＝－2＋6i＝－8.

2

1＋i62＋3i3＋2i(3)法一 原式＝ ＋

25

2

2

＝i＋

6

6＋2i＋3i－6

＝－1＋i.

5

2

1＋i62＋3ii法二 原式＝ ＋23－2ii

2＋3ii6

＝i＋

2＋3i＝－1＋i.

【答案】 (1)A (2)A (3)－1＋i

1．复数的乘法类比多项式相乘进行运算，复数除法要先写成分式形式后，再将分母实数化，注意最后结果要写成a＋bi(a，b∈R)的形式．

2．记住以下结论可以提高运算速度 (1)(1＋i)＝2i，(1－i)＝－2i； 1－i1＋i(2)＝－i，＝i； 1＋i1－i1

(3)＝－i. i

计算： (1)(1－i)；

1331

(2)(－＋i)(＋i)(1＋i)；

22222i(3). 2＋i

【解】 (1)(1－i)＝1－2i＋i＝－2i.

4

2

2

22

2

1331

(2)(－＋i)(＋i)(1＋i)

2222＝(－＝(－31332

－i＋i＋i)(1＋i) 4444313

＋i－)(1＋i) 42431

＋i)(1＋i) 22

＝(－＝－3311－i＋i－ 2222

1＋31－3＝－＋i.

22

2i2i2－i2＋4i24

(3)＝＝＝＋i. 2＋i2＋i2－i555

虚数单位i的幂的周期性及其应用 －23＋i22 013 (1)计算：＋()； 1－i1＋23i1＋i22 013

(2)若复数z＝，求1＋z＋z＋…＋z的值．

1－i

【思路探究】 将式子进行适当的化简、变形，使之出现i的形式，然后再根据i的值的特点计算求解．

i1＋23i221 0062

【自主解答】 (1)原式＝＋[()]·()

1－i1－i1＋23i21 00621＋i21＋i1 006

＝i＋()·＝i＋i·

－2i22＝－22－2＋i 22

2

2 013

nn(2)1＋z＋z＋…＋z1－z＝，

1－z2

2 014

1＋i1＋i2i而z＝＝＝＝i，

1－i1－i1＋i2所以1＋z＋z＋…＋z

1．要熟记i的取值的周期性，要注意根据式子的特点创造条件使之与i联系起来以便

nn2

2 013

1－i1－i＝＝＝1＋i.

1－i1－i

2 0142

5

计算求值．

2．如果涉及数列求和问题，应先利用数列方法求和后再求解．

在本例(2)中若z＝i，求1＋z＋z＋…＋z【解】 由题意知 1＋z＋z＋…＋z1·1－i＝

1－i

2 014

2

2 013

2

2 013

的值．

＝1＋i＋i＋…＋i

4×503＋2

2

22 013

1－i＝1－i1－i＝＝1＋i. 1－i

∴原式＝1＋i.

共轭复数的应用 设z1，z2∈C，A＝z1·z2＋z2·z1，B＝z1·z1＋z2·z2，问A与B是否可

以比较大小？为什么？

【思路探究】 设出z1，z2的代数形式→化简A，B→判断A，B是否同为实数→结论 【自主解答】 设z1＝a＋bi，

z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，

则z1＝a－bi，z2＝c－di， ∴A＝z1·z2＋z2·z1

＝(a＋bi)(c－di)＋(c＋di)(a－bi) ＝ac－adi＋bci－bdi＋ac－bci＋adi－bdi ＝2ac＋2bd∈R，

2

2

B＝z1·z1＋z2·z2

＝|z1|＋|z2| ＝a＋b＋c＋d∈R， ∴A与B可以比较大小．

1．z·z＝|z|＝|z|是共轭复数的常用性质．

2．实数的共轭复数是它本身，即z∈R⇔z＝z，利用此性质可以证明一个复数是实数． 3．若z≠0且z＋z＝0，则z为纯虚数，利用此性质可证明一个复数是纯虚数．

2

2

2

2

2

2

2

2

6

已知z∈C，z为z的共轭复数，若z·z－3iz＝1＋3i，求z. 【解】 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＝a－bi(a，b∈R)， 由题意得(a＋bi)(a－bi)－3i(a－bi)＝1＋3i， 即a＋b－3b－3ai＝1＋3i，

a＋b－3b＝1则有

－3a＝3

2

2

2

2

＝

，

解得

a＝－1b＝0

z或

a＝－1b＝3

，

所3i.

以－1或z＝－1＋

记错i值而致误

1＋2i 设复数z满足＝i，则z＝( )

2

zA．－2＋i B．－2－i C．2－i

1＋2i【错解】 设复数z＝a＋bi(a，b∈R)满足＝i，

D．2＋i

z所以1＋2i＝ai＋b. 解得

a＝2，b＝1，

所以z＝2＋i，故选D项． 【答案】 D

【错因分析】 将i＝－1当成i＝1来运算漏掉负号．

【防范措施】 在进行乘除法运算时，灵活运用i的性质，并注意一些重要结论的灵活应用．

1＋2i【正解】 设复数z＝a＋bi(a，b∈R)满足＝i，

2

2

z所以1＋2i＝ai－b. 解得

a＝2，

b＝－1，

所以z＝2－i，故选C项．

7

【答案】 C

1．复数代数形式的乘除运算

(1)复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式，复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律．

(2)在进行复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共轭复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化．

2．共轭复数的性质可以用来解决一些复数问题． 3．复数问题实数化思想．

复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，其桥梁是设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，利用化

复

数

相

等

的

充

要

条

件

转.

10i

1．(2012·北京高考)在复平面内，复数对应的点的坐标为( )

3＋iA．(1,3) B．(3,1) C．(－1,3) 【解析】

10i10i3－i10i3－i

＝＝＝1＋3i， 22

3＋i3＋110

D．(3，－1)

8

∴其对应点的坐标为(1,3)，选A. 【答案】 A

2．(2013·安徽高考)设i是虚数单位，若复数a－( )

A．－3 C．1

【解析】 因为a－

B．－1 D．3

10103＋i103＋i＝a－＝a－＝(a－3)－i，由纯3－i3－i3＋i10

10

(a∈R)是纯虚数，则a的值为3－i

虚数的定义，知a－3＝0，所以a＝3.

【答案】 D

3．若x－2＋yi和3x－i互为共轭复数，则实数x＝________，y＝________. 【解析】 由题意得：

x＝－1，y＝1.

x－2＝3x，y＝1，

∴

【答案】 －1 1 4．计算：

13

(1)(1－i)(－＋i)(1＋i)；

22(2)2＋3i3－2i

2

；

(3)(2－i).

13

【解】 (1)法一 (1－i)(－＋i)(1＋i)

2213132

＝(－＋i＋i－i)(1＋i)

2222＝(3－13＋1

＋i)(1＋i) 22

3－13＋13－13＋12

＋i＋i＋i 2222

＝

＝－1＋3i.

13法二 原式＝(1－i)(1＋i)(－＋i) 22132

＝(1－i)(－＋i)

22

9

13＝2(－＋i) 22＝－1＋3i. (2)2＋3i

2＋3i3＋2i＝

3－2i3－2i3＋2i

＝

2＋3i3＋2i

3＋26＋2i＋3i－6

5

2

2

＝

5i

＝＝i. 5

(3)(2－i)＝(2－i)(2－i) ＝4－4i＋i ＝4i.

3

－

22

一、选择题

1．复数(2＋i)等于( ) A．3＋4i B．5＋4i C．3＋2i

【解析】 (2＋i)＝4＋4i＋i＝4＋4i－1＝3＋4i.故选A. 【答案】 A

5＋3i

2．i是虚数单位，复数＝( )

4－iA．1－i C．1＋i 【解析】

5＋3i5＋3i4＋i17＋17i

＝＝＝1＋i. 24－i4＋117

B．－1＋i D．－1－i

2

2

2

D．5＋2i

【答案】 C

3．(2013·课标全国卷Ⅰ)若复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，则z的虚部为( ) A．－4 C．4

4

B．－

54D． 5

10

|4＋3i|4＋353＋4i34

【解析】 ∵(3－4i)z＝|4＋3i|，∴z＝＝＝＝＋i，∴z3－4i3－4i25554

的虚部为. 5

【答案】 D

4．若z＋z＝6，z·z＝10，则z＝( ) A．1±3i C．3＋i

【解析】 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＝a－bi，

2a＝6∴22

a＋b＝10

22

B．3±i D．3－i

，解得a＝3，b＝±1，则z＝3±i.

【答案】 B

2i5．(2013·湖北高考)在复平面内，复数z＝(i为虚数单位)的共轭复数对应的点位

1＋i于( )

A．第一象限 C．第三象限 【解析】 z＝

B．第二象限 D．第四象限

2i2i1－i＝＝1＋i，所以z＝1－i，故复数z的共轭复数1＋i1＋i1－i

对应的点位于第四象限．

【答案】 D 二、填空题

6．(2013·江苏高考)设z＝(2－i)(i为虚数单位)，则复数z的模为________． 【解析】 z＝(2－i)＝3－4i，所以|z|＝|3－4i|＝3＋－4＝5. 【答案】 5

3＋bi7．若＝a＋bi(a，b为实数，i为虚数单位)，则a＋b＝________.

1－i【解析】

3＋bi3＋bi1＋i

＝ 1－i2

2

2

2

2

13－b3＋b＝[(3－b)＋(3＋b)i]＝＋i. 2223－ba＝2，∴3＋b2＝b，

解得

a＝0，b＝3.

∴a＋b＝3.

11

【答案】 3

1－i2 0122 014

8．当z＝－时，z＋z＝________.

21－i－2i2

【解析】 z＝－，∴z＝＝－i，

22∴z2 012

＝(－i)

2 012

＝1，

z2 014＝(－i)2 014＝－1，

∴z2 012

＋z2 014

＝1－1＝0.

【答案】 0 三、解答题 9．计算下列各题：

1＋i1－i3－4i2＋2i

(1)＋－；

1－i1＋i4＋3i1141＋i75

(2)(2＋2i)＋()＋()； i1＋i1－i(3)(－

31122＋2i8

－i)＋(). 221－3i

2

23

7

7

3

1＋i1－i83－4i1＋i1＋i23

【解】 (1)原式＝[(1＋i)]＋[(1－i)]·－

1－i1＋i3－4ii8·2i1＋i33

＝(2i)·i＋(－2i)·(－i)－ i＝8＋8－16－16i＝－16i.

1141＋i75

(2)(2＋2i)＋()＋() i1＋i1－i

152227＝－i·(2)·[(1＋i)]·(1＋i)＋[2]＋i

1＋i1

＝162(－1＋i)－－i

41

＝－(162＋)＋(162－1)i.

4(3)(－

31122＋2i8－i)＋() 221－3i

12

＝(－i)·(－

31121＋i8

－i)＋() 2213

－i22

12

1324

[1＋i]·－i

221312

＝(－＋i)＋

221333

[－i]221334

＝[(－＋i)]＋(－8＋83i)

22＝1－8＋83i＝－7＋83i.

1＋i＋31－ia2

10．复数z＝，若z＋<0，求纯虚数a.

2＋iz2i＋3－3i

【解】 z＝＝1－i，

2＋i∵a为纯虚数，设a＝mi(m∈R，m≠0)， 则z＋＝(1－i)＋

2

2

az2

＝－2i＋1－i

mimi－m2

＝－＋(－2)i<0，

22

mmm－<02m2－2＝0

，∴m＝4，∴a＝4i.

a 11．定义运算

c

限？

b

z 1＋2i则满足＝ad－bc，＝0的复数z所对应的点在第几象

d1－i 1＋i

bd

a

【解】 结合

c

＝ad－bc可知

z 1＋2i＝z(1＋i)－(1－i)(1＋2i)＝0， 1－i 1＋i

1－i1＋2i1－i1＋2i∴z＝＝＝2－i，

1＋i1＋i1－i∴限

复

数

2

z所对应的点在第四象.

(教师用书独具)

13

5z5z 已知z、zz12

12∈C，1＋2z2∈R，且z＋＝1，求证：z2－3z1为纯虚数．

22z1【思路探究】 由题目条件推出(z2

2－3z1)，再证明其小于0即可． 【自主解答】 ∵5z15z2

z＋＝1，

22z1∴10z2

2

1＋5z2＝2z1·z2，

即z2

2

2

2

1＋4z2＋4z1·z2＝－9z1－z2＋6z1·z2， 也即－(z2

2

1＋2z2)＝(3z1－z2). ∵z1＋2z2∈R，z1≠0，z2≠0， ∴－(z2

1＋2z2)<0， ∴(3z2

1－z2)<0， ∴(3z21－z2)为负实数， ∴z2－3z1为纯虚数．

1．证明z为纯虚数的方法：

(1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，证明a＝0且b≠0； (2)z2

<0⇔z为纯虚数；

(3)z≠0，且z＋z＝0⇔为纯虚数． 2．证明z∈R的方法：

(1)设z＝a＋bi(a、b∈R)，证明b＝0； (2)z∈R⇔z＝z； (3)z∈R⇔z2

≥0； (4)z∈R⇔|z|2

＝z2

.

设z＝a＋bi(a、b∈R)，若z1＋z2∈R，则a、b应满足什么条件？并说明理由．【解】

z1＋z2＝a＋bi

1＋a2－b2＋2abi

a＋bia2

2

＝－b＋1－2abia2－b2＋12＋2ab

2

14

a＋ab＋a－ba＋b－1i＝∈R， 22222

a－b＋1＋4ab∴

3222

b(a2

＋

b2

－1)＝0，∴b＝0或

a2

＋

b2

＝

1.

复 数复数的

概念复数相等的充要条件复数与复数分类共轭复数复数的模复数的 运算复数的 减法法

则(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i复数减法的几何意义复平面上两点间的距离d＝|z1－z2|复数的

加法法

则(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i复数加法的几何意义复数的 乘法法

则(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i复数的 除法法 则

a＋biac＋bdbc－ad＝＋i(c＋di≠0) c＋dic2＋d2c2＋d2

15