广东省广州市2012届高三下学期一模调研交流(文数)

本试卷共4页，21题，满分150分，测试用时120分钟，

参考公式：1．锥体的体积公式V1Sh，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高． 31[(x1x)2(x2x)2(xnx)2] n2．数据x1，xl，„，xn的方差s2一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．集合A={(x，y)| x，y∈z，且|x|+|y|<1}的元素个数为 A．3 B．4 C．5 D．6 2．函数f(x)lnx1的定义域为

A.(e，+∞） B.[e，+∞) C. (O，e] D.(-∞，e] 3．已知复数z满足(l-i)z=1+3i（i是虚数单位），则z= A．-2+i B．2-i C．1-2i D．-1+2i

4．等差数列{an}的前n项和为sn=n+2n+a+2，则常数a= A. -2 B.2 C.0 D.不确定

5．已知平面向量a(1,3),b(3,x)，且a//b，则ab A. -30 B. 20 C. 15 D.0

6．已知直线l：x+y=m经过原点，则直线l被圆x+y-2y=0截得的弦长是 A．1 B．2 C．3 D．2

2

Z

2

x2y27．己知点F1、F2分别是双曲线C：221的两个焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线C

ab交于A、B两点，若△ABF2为等边三角形，则该双曲线的离心率e= A．2 B．23 C．

23 D．3

x218．已知x∈R，“x=l”是\"0\"的

xA.充分不必要条件 B。必要不充分条件

C．充要条件 D.既不充分也不必要条件

9．某个锥体（图1）的三视图如图根所示，据图中标出的尺寸，这个锥体的侧面积S=

·1·

A．6 B．213 C．613 D．6213

10．a，b，c，d∈R，定义行列式运算

ab3cosxadbc。将函数f(x)的

sinxcd1图象向右平移(>0)个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则的最小值为 A．

52 B． C． D． 6363二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分。 （一）必做题（11~13题）

11．如图2是求12+22+32+...+1002值的程序框图， 则判断框中正整数，n=____

12。现有三台自动包装机，包装每袋100克药品。 为了解它们的质量，对它们包装出来的产品进行 抽样调查，将得到的数据分别绘制成频率分布直 方图（如图3），根据直方图可知，这三台药品包装机的质量从高到低的顺序是____．

13．锐角△ABC中，a、b、c是角A、B、C所对的边，(.a2c2b2)tanB3ac 则B=____

（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题） 14．（几何证明选讲选做题）如图4，四边形ABCD中， ∠A=∠B=90°,AD:AB:BC=3:4:6,E、F分

·2·

别是AB、CD上的点，AE：AB=DF：DC =1：3．

若四边形ABCD的周长为1，则四边形AEFD的周长为____ 15．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系(p，θ)（0<θ<2π）中，圆C的极坐标方程为

2cos23sin，则圆心的极坐标为____

三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（三角函数14分）

如图5，某地一天6～16时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin(ωx+)+b， 其中A>O，ω>O， 0<ω<π．

(1)求这一天6～16时的最大温差；

(2)根据图象确定这段曲线的函数解析式， 并估计16时的气温大概是多少℃？

（结果精确到0.1 ℃.，参考数据：21.414

31.732)

17．（本小题满分12分）

某小区在一次对20岁以上居民节能意识的问卷调查中，随机抽取了100份问卷进行统计，得到相关的数据如下表：

(1)由表中数据直观分析，节能意识强弱是否与人的年龄有关？

(2)据了解到，全小区节能意识强的人共有350人，估计这350人中，年龄大于50岁的有多少人？

(3)按年龄分层抽样，从节能意识强的居民中抽5人，再从这5人中任取2人，求恰有1人年龄在20至50岁的概率。

·3·

18．（本小题满分14分）

如图6，在四面体PABC中，PA=PB，CA=CB，D、E、F、G分别是PA，AC、CB、BP的中点． (1)求证：D、E、F、G四点共面； (2)求证：PC⊥AB；

(3)若△ABC和PAB都是等腰直角三角形，且AB=2，PC2，求四面体PABC的体积．

19．（本小题满分12分）

x2y26在平面直角坐标系xOy中，椭圆C:221(ab0)的离心率为短轴一个端点到右焦点的

ab3距离为3．

(1)求椭圆C的方程；

(2)直线y=x与椭圆C在第一象限相交于点A，试探究在椭圆C上存在多少个点B，使△OAB为等腰三角形．（简要说明理由，不必求出这些点的坐标） 20．（本小题满分14分） 数列{an}中，a1=2，an+1=an+cn（c是不为零的常数，n∈N*），且a1，a2．a3成等比数列． (1)求c的值； (2)求{an}的通项公式； (3)求数列{

·4·

anc}n的前n项之和Tn． nc

21（本小题满分14分） 设函数f(x)lnx12axx 2(1)当a=2时，求f(x)的最大值； (2)令F(x)f(x)12aaxx(0x3)，以其图象上任意一点P(xo，yo)为切点的切线的斜2x率k12恒成立，求实数a的取值范围： (3)当a=0时，方程mf(x)=x2

有唯一实数解，求正数m的值．

·5·

文科数学参

一、选择题 CBDAA BDCCB

二、填空题 11.101 12．甲丙乙（只对一个，例如“甲乙丙”，给2分） 13．

55 14. 15．(2,)

933三、解答题（以下解答与评分供参考，等价或有效解答都要相应给分）

16．解(1)最大温差为15-(-5)=20(℃)„„3分（列式1分，结果数值1分，单位1分） (2)依题意，A=10，b=5„„5分 T=2×(14-6)=16 „„„6分 ,

T216,„„7分， 8由10sin(36)55„„8分，且0<<π，解得„„10分 84y10sin(3x)5,x[6,16]„„12分（函数解析式与定义域各1分） 84316)5„„13分， 84x=16时，y10sin(≈ 12.1 ( ℃ ) 14分

17．解(1)因为20至50岁的54人有9人节能意识强，大于50岁的46人有36人节能意识强，9与5436相差较大„„1分，所以节能意识强弱与年龄有关„„3分 46(2)年龄大于50岁的有

36350280（人）„„6分（列式2分，结果1分） 4591（人）„„7分， 45(3)抽取节能意识强的5人中，年龄在20至50岁的5年龄大于50岁的4人„„8分，记这5人分别为A，B1，B2，B3，B4。

从这5人中任取2人，共有10种不同取法„9分，完全正确列举„10分，设A表示随机事件“这5人中任取2人，恰有1人年龄在20至50岁”，则A中的基本事件有4种：完全正确列举„11分，

·6·

故所求概率为P(A)42„„12分 10518．证明与求解(1)依题意DG//AB„„1分，EF∥AB„2分，

所以DG//EF„„3分，DG、EF共面，从而D、E、F、G四点共面„„4分。 (2)取AB中点为O，连接PO、CO„„5分

·7·

因为PA=PB，CA=CB，所以PO⊥AB，CO⊥AB„„7分， 因为PO∩CO=D，所以AB⊥面POC„„8分 PC面POC，所以AB⊥PC„„9分

(3)因为△ABC和PAB是等腰直角三角形，所以POCO因为PC1AB1„10分， 22,OP2OC2PC2,所以OP⊥OC„„11分，

又PO⊥AB，且AB∩OC=O，所以PO⊥面ABC„„12分

1111VPABCPOSABC121„„14分（公式1分，其他1分）

332319．解(1)由于短轴一个端点到右焦点的距离为3，则a=3„„1分， 因为ec6222

„„2分，所以c6„3分，b=a-c=9-6=3„„4分， 3ax2y21„5分 所以椭圆C的方程为：93

x2y233313(2)解9(x>0)，得xy,即A(,)„„6分

222yx 以O为顶点的等腰三角形△OAB有两个„7分，此时B为A关于x轴或y轴的对称点„8分，以

A为顶点的等腰三角形△OAB有两个„„9分，此时B为以A为圆心、AO为半径的圆弧与椭圆C的交点„10分，以AO为底边的等腰三角形△OAB有两个„„11分，此时B为AO的垂直平分线与椭圆C的交点„12分。因为直线y=x倾斜角为

,所以以上等腰△OAB不可能是等边三角形„13分，即以上46个三角形互不相同，存在6个点B，使△OAB为等腰三角形„14分。 20，解(1)a2a1c2c,a3a22c23c„„2分，依题意

2，c=2„„4分 a2a1a3„„3分，即(2c)22(23c)，解得c=0（舍去）

(2)n≥2时，a2a12,a3a24,„anan12(n1)5分，

242(n1)n(n1)„„6分，ann2n2„7分，

2以上各式相加得ana12n=l时，a12112，所以nN*,annn2„„8分

ancn1123n2n1Tn(n1)„„10分 (3)nn„„9分，n234n1nc222222·8·

2Tn123n2n123n2n1„„11分，以上两式相减得 22222Tnn11111n123n1n„„12分，1n„„l3分，

2222221111n101nN*,T1，所以„„14分 n21212n2/因为T121解(1)a=2时，f(x)lnxxx,f(x)112x„„1分， x1x解f'(x)=0得x=l或（舍去）„„2分，当x∈(0，1)时，f'(x)>0，f(x)单调增加，

2当x∈(1，+∞)时，f'(x)<0，f(x)单调减少„„3分， 所以f(x)的最大值为f(l)=0„„4分 (2)F(x)lnxa1a(0x3),kF'(x0)2(0x03)„„6分 xx0x01121012恒成立得ax0x0(x01)恒成立„„7分 22221112因为(x01)，等号当且仅当xo=1时成立„„8分，

2221所以a„„9分

2由k(3)a=O时，方程mf(x)=x即x-mx-mlnx=0，设g(x)=x-mx-mlnx，解

2

2

2

mmm28mg'(x)2xm0„„10分，得x1(<0舍去)，

x4mm28m类似(1)的讨论知，g(x)在x∈(0，X2)单调增加，在x∈(x2，+∞)单调减少，x24最大值为g(x2)„„11分，

因为mf(x)=x2有唯一实数解，g(x)有唯一零点，所以g(x2)=0„12分， 由g'(x2)0得x22lnx210，因为h(x)=x+lnx-l单调递增，且h(1) =O，所以

g(x2)0x2=1„„13分，从而m=1„„14分。

·9·

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