微分几何彭家贵课后题答案

2.设a(t)是向量值函数，证明：

（1）a常数当且仅当a(t),a(t)0； （2）a(t)的方向不变当且仅当a(t)a(t)0。

（1）证明：a常数a常数a(t),a(t)常数

2a(t),a(t)a(t),a(t)0

2a(t),a(t)0a(t),a(t)0。

（2）注意到：a(t)0，所以

a(t)的方向不变单位向量e(t)a(t)常向量。 a(t)若单位向量e(t)a(t)常向量，则e(t)0e(t)e(t)0。 a(t)反之，设e(t)为单位向量，若e(t)e(t)0，则e(t)//e(t)。

由e(t)为单位向量e(t),e(t)1e(t),e(t)0e(t)e(t)。

e(t)//e(t)从而，由e(t)0e(t)常向量。

e(t)e(t)所以，a(t)的方向不变单位向量e(t)a(t)常向量 a(t)e(t)e(t)01a(t)a(t)a(t)d1()a(t)0 a(t)a(t)dta(t)a(t)a(t)2d11()a(t)a(t)0 dta(t)a(t)a(t)a(t)0。即

a(t)的方向不变当且仅当a(t)a(t)0。

补充：

定理 r(t)平行于固定平面的充要条件是r(t),r(t),r(t)0。

证明：\"\"：若r(t)平行于固定平面，设n是平面的法向量，为一常向量。

于是，r(t),n0r(t),n0,r(t),n0

r(t),r(t),r(t)共面r(t),r(t),r(t)0。

\"\"：若r(t),r(t),r(t)0，则r(t),r(t),r(t)共面。若r(t)r(t)0

则r(t)方向固定，从而平行于固定平面。

若r(t)r(t)0，则r(t)r(t)r(t)。令n(t)r(t)r(t),则

n(t)r(t)r(t)r(t)r(t)r(t)r(t)r(t)(t)r(t)(t)r(t)(t)r(t)r(t)(t)n(t)n(t)n(t)0，又n(t)0n(t)有固定的方向，又n(t)r(t) r(t)平行于固定平面。

性质1.1（1）证明：设v1(x1,x2,x3),v2(y1,y2,y3),v3(z1,z2,z3),v2v3(w1,w2,w3)，则

iv2v3y1z1jy2z2yy32zz32ijx2w2kky3y3,z3z3y1y1,z1z1y2z2w1,w2,w3 w1y2z3y3z2,w2y3z1y1z3,w3y1z2y2z1,左=v1(v2v3)x1w1xx32ww32x3,x3x1w1,x1w1x2w2w3w3x2w3x3w2,x3w1x1w3,x1w2x2w1x2[y1z2y2z1]x3[y3z1y1z3],x3[y2z3y3z2]x1[y1z2y2z1],x1[y3z1y1z3]x2[y2z3y3z2] [x2z2x3z3]y1[x2y2x3y3]z1,[x3z3x1z1]y2[x3y3x1y1]z2,[x1z1x2z2]y3[x1y1x2y2]z3[x2z2x3z3]y1,[x3z3x1z1]y2,[x1z1x2z2]y3[x2y2x3y3]z1,[x3y3x1y1]z2,[x1y1x2y2]z3[x2z2x3z3x1z1]y1,[x3z3x1z1x2z2]y2,[x1z1x2z2x3z3]y3[x2y2x3y3x1y1]z1,[x3y3x1y1x2y2]z2,[x1y1x2y2x3y3]z3[x1z1x2z2x3z3]y1,y2,y3[x2y2x3y3x1y1]z1,z2,z3v1,v3v2v1,v2v3右（2）证明：设v1(x1,x2,x3),v2(y1,y2,y3),v3(z1,z2,z3),v4(w1,w2,w3)，则

iv1v2x1y1iv3v4z1w1jx2y2jz2w2kxx32y2y3kx3x3,y3y3x1x1,y1y1x2y2X1,X2,X3X1x2y3x3y2,X2x3y1x1y3,X3x1y2x2y1.zz32w2w3z3z3,w3w3z1z1,w1w1z2w2Y1,Y2,Y3Y1z2w3z3w2,Y2z3w1z1w3,Y3z1w2z2w1.左=v1v2,v3v4X1Y1X2Y2X3Y3(x2y3x3y2)(z2w3z3w2)(x3y1x1y3)(z3w1z1w3)(x1y2x2y1)(z1w2z2w1)[x2z2y3w3y2w2x3z3y1w1x3z3x1z1y3w3x1z1y2w2y1w1x2z2][x2w2y3z3y2z2x3w3y1z1x3w3x1z1y3w3x1w1y3z3x1w1y2z2y1z1x2w2][(x1y1z1w1x2y2z2w2x3y3z3w3)x2z2y3w3y2w2x3z3y1w1x3z3x1z1y3w3x1z1y2w2y1w1x2z2][(x1y1z1w1x2y2z2w2x3y3z3w3)x2w2y3z3y2z2x3w3y1z1x3w3x1w1y3z3x1w1y2z2y1z1x2w2](x1z1x2z2x3z3)(y1w1y2w2y3w3)(x1w1x2w2x3w3)(y1z1y2z2y3z3)=v1,v3v2v4v1,v4v2v3右（3）证明：设v1(x1,x2,x3),v2(y1,y2,y3),v3(z1,z2,z3),，则

iv1v2x1y1jx2y2kx2x3y2y3x3x3,y3y3x1x1,y1y1x2y2X1,X2,X3X1x2y3x3y2,X2x3y1x1y3,X3x1y2x2y1v3,v1,v2v3,v1v2z1X1z2X2z3X3z1(x2y3x3y2)z2(x3y1x1y3)z3(x1y2x2y1)(z1x2y3y1z2x3x1y2z3)(z1y2x3x1z2y3y1x2z3)同理，

iv3v1z1x1jz2x2kz2z3x2x3z3z3,x3x3z1z1,x1x1z2Y1,Y2,Y3x2Y1z2x3z3x2,Y2z3x1z1x3,Y3z1x2z2x1v2,v3,v1v2,v3v1y1Y1y2Y2y3Y3y1(z2x3z3x2)y2(z3x1z1x3)y3(z1x2z2x1)(z1x2y3y1z2x3x1y2z3)(z1y2x3x1z2y3y1x2z3)v3,v1,v2

iv2v3y1z1jy2z2ky2y3zz32y3y3,z3z3y1y1,z1z1y2Z1,Z2,Z3z2Z1y2z3y3z2,Z2y3z1y1z3,Z3y1z2y2z1v1,v2,v3v1,v2v3x1Z1x2Z2x3Z3x1(y2z3y3z2)x2(y3z1y1z3)x3(y1z2y2z1)(z1x2y3y1z2x3x1y2z3)(z1y2x3x1z2y3y1x2z3)v3,v1,v2所以，v1,v2,v3v3,v1,v2v2,v3,v1。 性质1.2

ifff证明：（1）(f)(,,)xyzxfxjyfyk zfzffffff,,yzzyzxxzxyyx

222222ffffff,,(0,0,0)0.yzzyzxxzxyyxi证明：（2）,F,jyQkxPRQPRQP,,, zyzzxxyRRQPRQPxyzyzxzxyRQPRQP0.xyxzyzyxzxzy222222

4.设O;e1,e2,e3是正交标架，是1,2,3的一个置换，证明： （1）O;e(1),e(2),e(3)是正交标架；

（2）O;e1,e2,e3与O;e(1),e(2),e(3)定向相同当且仅当是一个偶置换。 （1）证明：当ij时，(i)(j)e(i),e(j)0；

当ij时，(i)(j)e(i),e(j)1，

所以，O;e(1),e(2),e(3)是正交标架。 （2）证明：

A)当(12)(1)2,(2)1,(3)3

010010100,det100e(1),e(2),e(3)e2,e1,e3e1,e2,e31; 001001B)当(13)(1)3,(2)2,(3)1

001001010,det010e(1),e(2),e(3)e3,e2,e1e1,e2,e31; 100101C)当(23)(2)3,(3)2,(1)1

100100001,det001e(1),e(2),e(3)e1,e3,e2e1,e2,e31; 010010D) 当(1)(12)(12)，此时，O;e(1),e(2),e(3)O;e1,e2,e3； E) 当(123)(12)(13)(1)2,(2)3,(3)1,

001001100,det100e(1),e(2),e(3)e2,e3,e1e1,e2,e31; 010010F) 当(132)(13)(12)(1)3,(3)2,(2)1,

010001001,det100e(1),e(2),e(3)e3,e1,e2e1,e2,e31. 100010所以，O;e1,e2,e3与O;e(1),e(2),e(3)定向相同当且仅当是一个偶置换。 习题二（P28）

1. 求下列曲线的弧长与曲率： （1）yax

xx2解：r(x)(x,ax)r(x)(1,2ax)l(x)20r(t)dt14a2t2dt

0令2|a|ttan,14a2t2sec，则

I14a2t2dt=3113secdI 2a2|a|2secd(sectansec)dtandsecsecdtansecsec3dsecd1tansecIsecdI[tansecln|sectan|]C

212|a|t14a2t2ln2|a|t14a2t2C 2所以，

=14a2t2dt1113secdI2|a|t14a2t2ln2|a|t14a2t2C 2a2|a|4|a|xxl(x)r(t)dt14a2t2dt0012|a|x14a2x2ln2|a|x14a2x2 4|a|2. 设曲线r(t)(x(t),y(t))，证明它的曲率为

(t)x(t)y(t)x(t)y(t)(x)2(y)322.

证明：r(t)(x(t),y(t))r(t)(x(t),y(t))r(t)(x(t),y(t))

drdtdtr(t)(x(t),y(t))dsdsdsdtn(s)(y(t),x(t))dst(s)d2rddtdtd2tt(s)2r(t)r(t)r(t)2dsdsdsdsdst(s)(s)n(s)dtd2tdtr(t)r(t)2(s)(y(t),x(t))dsdsds2dtd2tdtx(t)x(t)(s)y(t)ds2dsds2d2tdtdty(t)y(t)(s)x(t)ds2dsds22

dtd2tdtd2tx(t)x(t)2y(t)y(t)2dsdsdsds(s)dtdty(t)x(t)dsdsdtdtx(t)y(t)x(t)y(t)dsdsx(t)y(t)x(t)y(t)dt(y)2(x)2ds(y)2(x)2dsdtds 由|r(t)|(x)2(y)2dtx(t)y(t)x(t)y(t)(s),即3(y)2(x)222222(t)x(t)y(t)x(t)y(t)(y)2(x)322。3. 设曲线C在极坐标下的表示为rf()，证明曲线C的曲率表达式为

dff()2d()2dff()d22d2ff()2d232.

证明：xrcosf()cos,yrsinf()sin

r()(f()cos,f()sin)

r()(f()cosf()sin,f()sinf()cos)

r()(f()cosf()sin,f()sinf()cos)

(f()cos2f()sinf()cos,f()sin2f()cosf()sin)所以，xf()cosf()sin；yf()sinf()cos； xf()cos2f()sinf()cos；

yf()sin2f()cosf()sin。

因此，

xyxyf()cosf()sinf()sin2f()cosf()sinf()sinf()cosf()cos2f()sinf()cos f2()2f()f()f()2(y)2(x)2f()cosf()sinf()sinf()cosf()f()2222

d2fdf2f()2f()2x()y()x()y()dd(). 3322(x)2(y)222dff()d4. 求下列曲线的曲率与挠率： （4）r(t)(at,2alnt,)(a0)

2at解：r(t)(a,2aa2a2a22a6a,2),r(t)(0,2,3),r(t)(0,3,4)； ttttttijka2a22a22a22,3,2 4tttt2at32ar(t)r(t)at2a02t2a44a42a42a22a2224r(t)r(t)64412tt4t1 8ttttt2a2a2a2r(t)a242t1

ttt22a22a22a222a6a22a3r,r,r(4,3,2),(0,3,4)6。

tttttt所以，

2a222a22t1t144r(t)r(t)2t2tt； (t)333223a2r(t)a2at1t1t162tt22a3(t)2t6r(t)r(t)r,r,r2a222t2。 4t122at1t25. 证明：E3的正则曲线r(t)的曲率与挠率分别为

(t)证明：

r(t)r(t)r(t)3，(t)r,r,r。

rr2drdrdtdtt(s)r(s)r(t) dsdtdsdsdtd2tt(s)r(t)r(t)2dsdsdtdtdtdtt(s)r(t)3r(t)r(t)dsds2ds3ds根据弗雷内特标架运动方程

3232

t0dn

dsb0t(s)(s)n(s)n(s)0t0n，得：

0b11t(s)b(s)t(s)n(s)t(s)t(s) (s(s21dtdtd2tr(t)r(t)r(t)2

(s)dsdsds1dtr(t)r(t) (s)ds1dt1(s)dsdt(s)ds333r(t)r(t)r(t)r(t)r(t)r(t)dsdt3r(t)r(t) r(t)3t(s)(s)n(s)t(s)(s)n(s)(s)n(s)由n(s）=(s)t(s)(s)b(s)t(s)(s)n(s)(s)(s)t(s)(s)b(s) (s)n(s)2(s)t(s)(s)(s)b(s)t(s),b(s)(s)(s)dtdtd2td3t1dt因为t(s),b(s)r(t)3r(t)r(t)3,r(t)r(t)2dsdsds(s)dsds1dt=r,r,r(s)ds633r,r,rdtr,r,r。 1dtr,r,r(s)=所以，(s)(s)=2(s)2(s)dsdsrr666．证明：曲线

3322(1s)(1s)s,,(1s1) r(s)332以s为弧长参数，并求出它的曲率，挠率与Frenet标架。

1122(1s)(1s)1(1s1) ,,证明：1）r(s)222所以，r(s)(1s)(1s)14421(1s1)该曲线以s为弧长参数。

1122(1s)(1s)t(s)r(s),,0(1s1)44 (1s)1(1s)11(s)16168(1s2)11n(s)t(s)(s)2(1s)(1s)2,2(1s)(1s)2,0

ib(s)t(s)n(s)(1s)212j12k12(1s)21 2122(1s)(1s)2(1s)(1s)011122222(1s)(1s),2(1s)(1s),4(1s) 由n(s)13s13s,,0及

1s1s1112b(s)2(1s)(1s)2,2(1s)(1s)2,4(1s)2得

(s)n(s),b(s)11113s13s2,,0,2(1s)(1s)2,2(1s)(1s)2,4(1s)21s1s1113s13s2(1s)(1s)22(1s)(1s)21s1s

2(13s)(1s)2(13s)(1s)22(1s)所以，

1221221221122,(1s1)；(s)22(1s)，(1s1)。 2）(s)8(1s2)3）所求Frenet标架是r(s);t(s),n(s),b(s)，其中

1122(1s)(1s)1(1s1)， t(s),,22211n(s)2(1s)(1s)2,2(1s)(1s)2,0(1s1)，

1112222b(s)2(1s)(1s),2(1s)(1s),4(1s)(1s1)。

10.设(X)XTP是E中的一个合同变换，detT1。r(t)是E中的正则曲线。求曲线r33r与曲线r的弧长参数、曲率、挠率之间的关系。

tt解：（1）S(t)可见，r（2）(t)r()d00d(dr)td0d(rTP)dr()Tdr()dS(t)

d00ttr与曲线r除相差一个常数外，有相同的弧长参数。

r(t)r(t)r(t)3r(t)Tr(t)Tr(t)T3

可见，r（3）(t)sgn(detT)r(t)r(t)Tr(t)3r(t)r(t)r(t)3(t)

r与曲线r有相同的曲率。

r,r,rr(t)r(t)2rT,rT,rTr(t)Tr(t)T2rT,rTrT 2r(t)r(t)rT,sgn(detT)(rr)TrT,sgn(detT)(rr)Tsgn(detT)22r(t)r(t)r(t)r(t)rT,(rr)Tr,(rr)sgn(detT)22r(t)r(t)r(t)r(t)

sgn(detT)sgn(detT)可见，rr,r,rr(t)r(t)2r,r,rr(t)r(t)2(t)r与曲线r的曲率相差一个符号。

a13.（1）求曲率(s)2（s是弧长参数）的平面曲线r(s)。 2as解：设所求平面曲线r(s)x(s),y(s)因为s是弧长参数，所以

|r(s)|1x(s)y(s)1

可设x(s)cos,x(s)sin，由曲率的定义，知

22daaas(s)22d22ds22dsarctan dsasasasassx(s)cos(arctan),x(s)sin(arctan)

aasx(s)cos(arctan)dsa1s1tan2(arctan)ads

1s212adsa1a2s2dsaln(sa2s2)

ssy(s)sin(arctan)ds1cos2(arctan)2dsaa11ssec2(arctan)2asdsa2s2a2s2ds11s1tan2(arctan)2ads

所以，所求平面曲线r(s)aln(sa2s2),a2s2)。

tt20.证明：曲线r(t)(t3sint,2cost,3tsint)与曲线r(t)(2cos,2sin,t)22是合同的。

证明：1）对曲线C:rr(t)作参数变换t2u，则r(2cosu,2sinu,2u)。 可知

1C是圆柱螺线(a2,b2)，它的曲率和挠率分别为14，4。因此，只要证明曲线C:rr(t)的曲率1挠率1从而根据曲4，4，

线论基本定理，它们可以通过刚体运动彼此重合。 2）下面计算曲线C的曲率与挠率。

由r(t)(13cost,2sint,3cost)|r(t)|22，

进而r(t)(3sint,2cost,sint)

r(t)r(t)(23cost2,4sint,232cost)2(13cost,2sint,3cost)

1

|r(t)r(t)|42。

4

1r(t)(3cost,2sint,cost)r(t),r(t),r(t)8。

421.证明：定理4.4

定理4.4 设(s)0是连续可微函数，则

（1） 存在平面E2的曲线r(s)，它以s为弧长参数，(s)为曲率； （2） 上述曲线在相差一个刚体运动的意义下是唯一的。 证明：先证明（1），为此考虑下面的一阶微分方程组

drdse1(s)de(1.1)1(s)e2(s)

dsde2ds(s)e1(s)000给定初值r0,e10,e2，其中e1,e2是E2中的一个与自然标架定向相同的正交标架，以及

s0(a,b)，则由微分方程组理论得，(1.1)有唯一一组解r(s);e1(s),e2(s)满足初

始条件：

r(s);e(s),e(s)|12ss00r0;e10,e2。

若r(s)为所求曲线，则e1(s),e2(s)必是它的Frenet标架。因此，我们首先证明

e(s),e(s)12s(a,b)

均是与自然定向相同的正交标架。

将微分方程组(1.1)改写成

2dei(1.2)aijej(s),i1,2

dsj1其中

aij220(s)。 (s)0是一个反对称矩阵，即aijaji0i,j1,2.令

(1.3)gij(s)ei(s),ej(s)(gij)i,j1,2.

对(1.3)求导，并利用(1.2)有：

(1.4)ddddgij(s)ei(s),ej(s)ei(s),ej(s)ei(s),ej(s)dsdsdsdsek(s),ej(s)ei(s),ajkek(s)k12aikek(s),ej(s)ajkei(s),ek(s)k12k1222

aikek(s),ej(s)ajkek(s),ei(s)k12k1k1aikgkj(s)ajkgki(s)i,j1,2.(1.4)表明gij(s)i,j1,2是微分方程组(1.5) (1.5)的解。 定义ij2dfij(s)dsk1aikfkj(s)ajkfki(s)i,j1,2.

1,ij;i1,2.则

0,ij.i,j1,2.且

dij0,dsk122(a1kk1a1kk1)a11a110,ij1k12(a2kk2a2kk2)a22a220,ij2k1 aikkjajkki2(a1kk2a2kk1)a12a210,i1,j2k12(a2kk1a1kk2)a21a120,i2,j1k12dij即 dsk1aikkjajkki,i,j1,2.

所以，ij,i1,2.是微分方程组(1.5)的解。

注意到：gij(s0)i,j1,2iji,j1,2，所以gij(s)i,j1,2是微分方程组(1.5) 满足初始条件gij(s0)i,j1,2iji,j1,2的唯一解。从而

gij(s)ij,i,j1,2.

所以，e1(s),e2(s)s(a,b)

均是正交标架。

由于F(s)e1(s),e2(s),e1(s)e2(s)F(s)1或-1。故由

s(a,b)是关于s的连续函数，且

F(s0)e1(s0),e2(s0),e1(s0)e2(s0)=1知，

F(s)e1(s),e2(s),e1(s)e2(s)=1，s(a,b)。

可见，e1(s),e2(s)s(a,b)

均是与自然定向相同的正交标架。

于是由微分方程组(1.1)有：

drdre1(s)=1，这表明s为弧长参数。从而由e1(s)推出t(s)e1(s)是dsds单位切向量。由

dede1(s)e2(s)推出(s)1t(s)是曲线r(s)的曲率，从而由

dsds11de1de1t(s)e2(s)，即e2(s)是单位正法向量。 (s)e2(s)推出由n(s)(s)(s)dsds可见，微分方程组(1.1)的满足初始条件：

r(s);e(s),e(s)|12ss00r0;e10,e2

唯一一组r(s);e1(s),e2(s)的确表明：存在平面E2的曲线r(s)，它以s为弧长参数，

(s)为曲率，当(s)是连续可微函数时。

再证明（2）：设r1(s)与r2(s)是平面E2中两条以s为弧长参数的曲线，且定义在同一个参数区间(a,b)上，1(s)2(s)0s(a,b)。则存在刚体运动

(X)XTP把曲线r2(s)变为r1(s)，即r1r2。

证明开始：设0(a,b)，考虑两条曲线在s0处的Frenet标架

r(0);t(0),n(0)与r(0);t(0),n(0)。

111222则存在平面E2中一个刚体运动

把第二个标架变为第一个标架，即r1与r2在s0处

的Frenet标架重合。因此我们只须证明当曲线r2(s)与r1(s)在s0处的Frenet标架重合

时，r2r1。

曲线Frenet标架的标架运动方程为

drdst(s)dt(1.6)(s)n(s)

dsdnds(s)t(s)这是一个关于向量值函数r,t,n的常微分方程。曲线r2(s)的Frenet标架与r1(s)的

Frenet标架都是微分方程组(1.6)的解。它们在s0处重合就意味着这两组解在s0的初值相等，由解对初值的唯一性定理立即得到r2r1。定理证明完成。

习题三（P68）

2（1）r(u,v)a(uv),b(uv),4uv是什么曲面？

xa(uv)x2y2解：yb(uv)22z马鞍面

abz4uv4.证明：曲面F(,)0的切平面过原点。

证明：无妨假定方程F(,)0确定一个zf(x,y)的隐函数，于是

yzxxyzxxyF1zF2yf1fF1(2)F2[(2)fx]0xxF2yzxxx F(,)011xxfF1F1()F2(fy)0yxxF2设r(x,y)x,y,f(x,y)，则

yF1zF2ijkrx1,0,fx1,0,xF2yF1zF2yF1zF2F1rr10,,1 xyxF2xF2F2Fry0,1,fy0,1,1FF2011F2所以，P(x,y,z)处的切平面为

:yF1zF2F(Xx)1(Yy)(Zz)0

xF2F2易见，当(X,Y,Z)(0,0,0)时，有：

左=yF1zF2FyFzF2yF1zF2(0x)1(0y)(0z)1-=0=右

xF2F2F2F2所以结论为真。

6. 证明：曲面S在P点的切平面TPS等于曲面上过P点的曲线在P点的切向量的全体。 证明：设曲面S的参数方程为rr(u,v),(u,v)D，Pr(u0,v0),(u0,v0)D。令

(u(t),v(t))为参数区域D中过(u0,v0)则的参数曲线，r(t)r(u(t),v(t))为曲面上过P点

的曲线。于是

drdtPru(u0,v0)dudtPrv(u0,v0)dvdtP

这表明曲线r(t)r(u(t),v(t))过P点的切向量出。可见过P点的切向量

drdtP都可由ru(u0,v0)与rv(u0,v0)线性表

drdtP都在过P点的切平面上。另一方面，对于任意切向量

wru(u0,v0)rv(u0,v0)TPS，

在参数区域D中取过(u0,v0)且方向为l(,)的参数曲线

(u(t),v(t))(u0t,v0t)

则此时，r(t)r(u(t),v(t))r(u0t,v0t) 从而

drdtPru(u0,v0)rv(u0,v0)w。

这表明：在P点的切平面TPS中每一个向量都是过P点的某一曲线的位于P点的切向量。 于是：曲面S在P点的切平面TPS等于曲面上过P点的曲线在P点的切向量的全体。

25. 求双曲抛物面r(u,v)a(uv),b(uv),4uv的Gauss曲率K，平均曲率H，主曲率1,2和它们所对应的主方向. 解： 由ru(a,b,4v)，rv(a,b,4u)

Ea2b216v2，Fa2b216uv，Ga2b216u2。

2rurv22b(uv),2a(uv),ab，n2b(uv),2a(uv),ab， 2EGF其中 EGF28[2b2(uv)22a2(uv)2a2b2]。

8ab由ruu0，ruv(0,0,4)，rvv0LN0,M。

2EGF于是Gauss曲率K：

LNM2a2b2a2b2K，

222222222EGF2EGF2b(uv)2a(uv)ab平均曲率H：

MF8ab(a2b216uv)ab(a2b216uv)H。 3/2223/2222222EGF(EGF)4b(uv)4a(uv)2ab因为M0，所以

MEGM2F2(LNM2)(EGF2)M2EG22HKHK0， 22222EGFEGFEGF所以主曲率1：

1HH2KM(FEG)EGF2

ab(a2b216uv)(a2b216u2)(a2b216v2).3/22222224b(uv)4a(uv)2ab对应的主方向为

du:dv(1FM):(1EL)(1FM):1E， 其中

MF(FEG)M(EGF2)MFEGMEG1FMEGF2EGF2.

MEG(FEG)EG1.EGF2所以

du:dvG:Ea2b24u2:a2b24v2。

同理，另一个主曲率2：

2HH2KM(FEG)EGF2，

ab(a2b216uv)(a2b216u2)(a2b216v2)3/22222224b(uv)4a(uv)2ab对应的主方向为

u:vG:Ea2b24u2:a2b24v2。

注：设W:TPSTPS为外恩格尔登变换，则

WrunuarubrvacWr,Wrr,ruvuvbdWrvnvcrudrvduWrudurvdvduWrudvWrvWru,Wrvdvacduru,rv;bddvduWrudurvdvrudurvdvru,rvdvacduduacduduru,rvr,ruvbddvdvbddvdvacduduabbddvdvcdu0 dv0d

LGMFEGF2MELFEGF2MGNFEGF2du0

0NEMFdvEGF2(LGMF)(EGF2)du0MGNF 2MELFNEMF(EGF)dv0MGNF(LE)GF(MF)du0

dv0MELF(NG)EF(MF)FLEMFdu0EMFNGdv0GFLEMFdu01 2EGFFEMFNGdv0GFEFFG1LEMFMFdu0NGdv0ELFMFMdu0

dv0GNdu:dvFM:ELGN:FM。 补充：定理

（1）函数是主曲率的充要条件是

ELFM0。

FMGN（2）方向 d = du:dv 是主方向的充要条件是

EduFdvLduMdvFduGdvMduNdv0(WW)。

证明：（1）设du:dv是对应的主方向，则有Wdrdr，即

nudunvdvrudurudv。

分别用ru,rv与上式两边作内积，得

LduMdvEduFdv，MduNdvFduGdv。

所以主方向du:dv满足

(EL)du(FM)dv0, 

(FM)du(GN)dv0.由于du,dv不全为零，可得

ELFM0

FMGN（2）在脐点，KH20，12H。 从而由IIHI可知LHE，

MHF，NHG，(WW)中的两个方程成为恒等式。此时，任何方向都是主方向。

在非脐点，分别用1和2代入

(EL)du(FM)dv0, (FM)du(GN)dv0.得到相应的主方向

du:dv(1FM):(1EL)(1GN):(1FM) 和

u:v(2FM):(2EL)(2GN):(2FM))。 (EL)du(FM)dv0,将 (FM)du(GN)dv0.改写成

(LduMdv)(EduFdv)0, (MduNdv)(FduGdv)0.

由于1,不全为零，有

LduMdvEduFdvMduNdvFduGdv0。

28．曲面S:rr(u,v)上的一条曲线C称为曲率线，如果曲线C在每一点的切向量都是曲面S在该点的一个主方向。证明：曲线C:r(t)r(u(t),v(t))是曲率线当且仅当沿着C，与

dndtdr平行。 dt证明： 设W:TPSTPS为外恩格尔登变换，则

drdvdvdndrduduWWrurvnunv。 dtdtdtdtdtdtdt所以，曲线C:r(t)r(u(t),v(t))是曲率线当且仅当沿着C，

dndr与平行。 dtdt29.设rr(u,v)是曲面S的一个参数表示，证明：曲面S的参数曲线u常数和v常数

是曲率线的充要条件是FM0。

证明：曲面S的参数曲线u常数，记uu0是曲率线等价于曲线r(v)r(u0,v)在每一点的切向量都是曲面S在该点的一个主方向曲线r(v)r(u0,v)在每一点，

drdndrWrvnv dvdvdv同理，曲面S的参数曲线v常数，记vv0是曲率线等价于曲线r(u)r(u,v0)在每一点

的切向量都是曲面S在该点的一个主方向曲线r(v)r(u0,v)在每一点，

drdndrWrunu dududu显然，（假若，则rurv0矛盾！）。从而

ru,rv0F0;Mrv,nuru,nurv,ruru,rv0。

所以，曲面S的参数曲线u常数和v常数是曲率线的充要条件是FM0。 35.若曲面zf(x)g(x)是极小曲面，证明：除相差一个常数外，它可以写成 z1cosay， lnacosax这个曲面称为Scherk面。

证明：设曲面的参数方程为rx,y,f(x)g(y)，则

rx1,0,f(x),ry0,1,g(y)，rxryf(x),g(y),1，

1f(x)g(y)rxx0,0,f(x),rxy0,ryy0,0,g(y)。

因此，E1f2(x),Ff(x)g(y),G1g2(y)，

f(x)g(y)。 L,M0，N22221f(x)g(y)1f(x)g(y)n122f(x),g(y),1

1LG2MFNE0得到ENGL0，即

2EGF2221f(x)g(y)1g(y)f(x)0。

上式可化为

f(x)g(y) (1)

1f2(x)1g2(y)由H由于上式左边是x的函数，右边是y的函数，故只能是常数，设此常数为a。 当a0时，由(1)可知f(x)AxC1，g(y)ByC2，其中A,B,C1,C2是常数。

于是该极小曲面是平面zAxByC，其中CC1C2。(不是Scherk曲面) 下面设a0。由(1)得fa(1f2)，令arctanf，即ftan。则有

sec2fasec2。

于是(x)axc。在x轴方向作一平移，可设c0，从而f(x)tan(ax)，积分得

1f(x)lncosax。

a2同理，由g(y)a1g(y)可得

g(y)1lncosay。 a1cosay。 lnacosax于是

zf(x)g(y)

《微分几何》测试题（一）

一．填空题：（每小题2分，共20分）

⒈ 向量r(t)t,3t,a具有固定方向，则a=___t__。

 ⒉ 非零向量r(t)满足r,r,r0的充要条件是以该向量为切

方向的曲线为平面曲线

⒊ 设曲线在P点的切向量为，主法向量为，则过P由,确定的平面

是曲线在P点的___密切平面__________。

⒋ 曲线rr(t)在点r(t0)的单位切向量是，则曲线在r(t0)点

的法平面方

程是__________________________。

⒌ 曲线rr(t)在t = 1点处有2，则曲线在 t = 1对

应的点处其挠率

(1)=_ -2_____。

⒍ 主法线与固定方向垂直的曲线是__ 一般螺线_ _ ⒎ 如果曲线的切向与一固定方向成固定角，则这曲线的曲

率与挠率的比是___常数_________________。

⒐ 曲面zz(x,y)在点(x0,y0,z0)的法线方程是_____________________。

二．选择填空题：（每小题3分，共30分）

11、若曲线的所有密切平面经过一定点，则此曲线是___C___。

A、 直线 B、平面曲线 C、球面曲线 D、圆柱螺线

12、曲线rr(t)在P(t)点的曲率为k , 挠率为，则下列式子___A___不正确。 A、k 13

rrr2 B、k对

于

曲

rrr3 C、kr的

第

一

rrr D、 2rr、面基本形式

IEdu22FdudvGdv2,EGF2__D___。

A、0 B、0 C、0 D、0

三．计算与证明题：（22题14分，其余各9分） 21、已知圆柱螺线rcost,sint,t，试求

0,1, ⑴ 在点的切线和法平面。

2 ⑵ 曲率和挠率。

22、对于圆柱面:rcos,sin,u，试求

⑴ 的第一、第二基本形式；

⑵ 在任意点处沿任意方向的法曲率； ⑶ 在任意点的高斯曲率和平均曲率； ⑷ 试证的坐标曲线是曲率线。

《微分几何》测试题（二）

一．单项选择题（2×10=20分）

1．若向量函数rr(t)的终点在通过原点的一条直线上，则( )

A． r(t)是定长的； B. r(t)是定向的； C． r(t)1； D. r'(t)2. 2．对于向量函数r(t)，若r(t)r(t)，则( )

A．r(t)是定长向量； B.r(t)定长向量； C．r(t)是定向向量； D.r(t)是定向向量. 3．设a,b均为非零向量，且ab0，则（ ）

Ａ.a,b线性相关； Ｂ.a,b线性无关； Ｃ.a可以由b线性表示； D.b可以a由线性表示.

4．挠率0,曲率k2的曲线是( )

A． 半径为4的圆； B.半径为的圆；

14C．半径为2的圆； D.半径为的圆. 5．空间曲线的形状由( )决定

A． 由曲率和挠率； B. 仅由曲率； C． 仅由挠率； D. 由参数的选取. 6．曲率是常数的曲线( )

A． 一定是直线； B. 一定是圆； C． 一定是球面上的曲线； .答案A,B,C都不对.

7．设S 是球面， 则( )

A． S上每一点是双曲点； B. S上每一点是抛物点； C． S上的圆的指向球心； D. S上的测地线的指向球心.

8．若曲面S在每一点的高斯曲率为，则它可以与半径为( ) 的球面贴合

A． ； B. 2； C. ； D. 4. 9．圆柱螺线r{acost,asint,bt} 在任一点的切线与z轴的夹角

( )

12141214A． 为；90 B. 0； C. 与t有关； D. 与b有关.

10．设非直线的曲线C是曲面S: rr(u,v)上的测地线，则有( )

A. C在每一点∥n; B. C在每一点n; C. C在每一点∥n; D. C在每一点n. 一． 判断题（2×10=20分）

1．向量函数rrt满足rtdt,rt,rt0，则必有一常向量a，

满足a⊥rt. 2．如果曲线 C: rrt的所有向径共面，则rt必与某一固

定向量垂直.

3．曲线的形状只由曲率和挠率决定. ( )

4．直纹面上的直母线一定是曲率线. （ ）

5．若曲面S与一个半径为R的球面沿一个半径为r0rR的圆C相切，则C是S上的测地线. 6．如果两个曲面S1与S2之间的一个对应关系， 使得它们在

对应点有相同的高斯曲率，则S1与S2 等距等价. 7．设曲面S：r=ru,v, 如果L:EM:F,则v—线是曲率线.

（ ）

8．设曲面S：r=ru,v，如果L:M:NE:F:G，则曲面上的

所有曲线都是曲率线.

9． 曲面上任意两点的连线中，测地线段最短.

（ ） 10

．

球

面

上

的

曲

率

线

是

大

圆

.

（ ）

二． 计算题（10×4=40分）

1．求曲线C：r=at,bt2,ct3｝上在t0处的密切面方程. 2．已知曲线C：r=rs（s是弧长参数）的曲率和挠率分别是和,且是不为零的常数，求曲线C：r=(s)(s)ds的

1曲率和挠率.

3．求曲面 zxy2上的渐近线.

4．求圆环面 S：r={ (b+acos)cos , (b+acos)sin , a

sin }

02,02 上的椭圆点，双曲点和抛物点.

三． 证明题（10×2=20分）

1．证明：如果曲线的所有都经过一个固定点，则曲线是以固定点为圆心的圆.

2． 设C是半径为R的球面上半径为r0rR的圆，g是曲

率.证明：

κg211. r2R2B

一． 单项选择题（2×10=20分）

1．设a{1,03},b{2,x,6}， 若a∥b 则 ( ) A． x； B. x2； C. x0； D. x为任意实数.

2．设曲线C: 满足 r(t)1 则 ( )

A. C是单位球面上的曲线； B. t是C的弧长参数； C. 变向量r(t)具有固定方向； D. 变向量r(t)具有固定长度.

3．若向量函数rr(t)对于任意t 都有r(t)1. 则 ( )

A. r(t)是定向的向量； B. r(t)是定长的向

12量；

C. rtrt0； D. rtrt0. 4．可展曲面上每一点都是 ( )

A. 椭圆点； B. 抛物点； C. 圆点； D. 平点. 5．若曲线C的曲率k2,0 则( )

A. C是半径为2的圆; B. C是半径为的圆; C. C是半径为2的圆; D. C是半径为圆.

6．曲面上与u线正交的曲线满足 ( ) A. LduMdv0; B. EduFdv0; C. LduNdv0; D. EduGdv0. 7．设曲面S上一条非直线的曲线C是S上的测地线，则 ( )

A． C在每一点，∥n； B. C在每一点,n； C． C在每一点，∥n； D. C在每一点， n. 8．在曲面S: rr(u,v)上，u线的微分方程是( ) A． dudv0； B. du0； C． dv0； D. dudv.

1212的

9．若两个曲面等距等价，则( ) A.它们有相同的第一基本形式； B.它们有相同的第二基本形式； C．它们有相同的第三基本形式；

D.把其中一个经过连续的弯曲变形，就能和另一个贴合.

10．若曲面S:rr(u,v)上任一点，都有FM0，则( ) A．参数曲线网是渐近线网； B.参数曲线网是曲率线网；

C．参数曲线网是测地线网； D.答案A,B,C都不对. 二． 判断题（2×10=20分）

1.向量函数rrt满足rt,rt,rt0, 则必有一常向量a，满足a⊥rt.（ )

2．如果曲线 C: rrt的所有向径共面，则C就在通过原点的一个平面上.（ ）

3. 曲线 C： r=rs与曲线C：r=s在ss0处有相同的

曲率.

（ ）

4. 曲率是常数2的曲线一定是半径为的圆. （ ） 5. 设S是平面， 则S上每一点，都有1=2=0. ( )

6. ( )

7.

可

展

曲

面

上

没

有

双

曲

点

球

面

上

的圆的

12指向球心.

.

( )

8. 高斯曲率K≡0的曲面一定是某一条曲线的切线曲面. ( )

9. 若曲面S与一个半径为R的球面沿一个半径为

r0rR的圆C相切，则S在C上每一点，沿着C的方

向，都有，n =r. ( )

10. 两个常高斯曲率曲面一定等距等价. （ ）

三． 计算题（10×4=40分）

1. 求曲线C：r=｛挠率.

2. 设曲线C： r=acost,asint,ftdt是平面曲线， 求f(x). 3. 求圆柱面 r=Rcosu,Rsinu,v在u0,v0处的切平面方程，并说明，沿任意一条直母线，只有一个切平面.

4. 求曲面S：r=auv,bu-v,uva0,b0的高斯曲率. 四． 证明题（10×2=20分）

1．证明：如果一条曲线C：r=r(s) (s是弧长参数)的所

有从切面都经过一个固定点，则C 的挠率和曲率之比是s的一次函数.

2．1证明：可展曲面上的直母线是曲率线.

8512cost, sint, cost｝的曲率和

1313132证明：如果可展曲面Ｓ上有两族直母线，则Ｓ是平

面.

《微分几何》测试题（三）

一．填空题：（每小题2分，共20分）

⒈ r(t)具有固定方向的充要条件是______________________。 ⒉ 挠率______________________的曲线其副法向量是常矢。

⒊ 曲线rr(t)在P(t0)点的主法向量是，则曲线在P点的从切面方程是

。

⒋ 如果一曲线的主法线与一固定方向垂直，则这曲线的副法线与这固定方向 。

⒌ 曲面上的曲纹坐标网是渐近网的充要条件是________________。 6．曲面上一曲线，如果它每一点的切方向都是主方向，则称该曲线为 ____________。

7．半径为R的球面的高斯曲率K= .

8. 一个曲面为可展曲面的充分必要条件是它的______________恒等于零。 9. 曲面上 坐标网是平面上极坐标网在曲面上的推广。 10．在可展曲面上，测地三角形的三内角之和 。

二．选择填空题：（每小题3分，共30分）

1、圆柱螺线xcost,ysint,zt在点1,0,0的切线为______。

x1yz B、yz0 011x1yzC、 D、yz0

100A、

2、曲面的三个基本形式之间的关系为______。 A、Ⅲ+2HⅡ+KⅠ=0 B、Ⅲ-2HⅡ+KⅠ=0 C、Ⅲ-2KⅡ+HⅠ=0 D、Ⅲ-2HⅡ-KⅠ=0

3、在直纹面ra(u)vb(u)（b(u)为单位向量）中，导线a(u)是腰曲线 的充要条件是_____。

A、ab0 B、a//b C、ab0 D、a//b 4、曲面的坐标网是正交网的充要条件是_____。

A、M = 0 B、L = N = 0 C、M = F = 0 D、F = 0 5、下列曲面中_____不是可展曲面。

A、柱面 B、锥面 C、一条曲线的切线曲面 D、正螺面 6、曲面上， 不是曲面的内蕴量。 A、两曲线的夹角 B、曲线的弧长

C、曲面域的面积 D、在一点沿一方向的法曲率

7、曲面rr(s,t)，n是其单位法向量，下列第二类基本量的计算中， 是不正确的。

A、N = rttn B、N = rtnt C、N = rtnt D、N = nrtt 9、球面r(Rcoscos,Rcossin,Rsin)的坐标曲线构不成 。

A、正交的渐近网 B、共轭网 C、曲率线网 D、半测地坐标网 10、曲线rr(s)在P点的基本向量是,,,曲率为k(s) ,挠率为(s)，则

(s)= 。

A、 B、 C、 D、

三．计算题：（1、2题各10分，3题8分，共26 分）

1、求螺线xcost,ysint,zt上点1,0,0的曲率和挠率。

2、确定螺旋面xucosv,yusinv,zcv上的曲率线和在任一点的高斯 曲率。

四．证明题：（每小题8分，共24分）

1．证明：如果曲线的所有密切平面垂直于某个固定直线，那么它是平面曲线。

《微分几何》测试题（四）

一、填空题（每小题2分，共20分）

1、变矢r(t)满足rr'0的充要条件是______________________。

2、曲线（C）上P点处的三个基本向量为、、，则过P点由和确定的平面叫曲线（C）在P点的________________________。

3、若曲线在各点的曲率_________________，则曲线是直线。

4、曲线穿过__________和密切平面，但从不穿过_______________。

5、一般螺旋线的切线和一固定方向成固定角，而它的主法线与这个固定方向________________。

6、两个曲面间的变换是_________________的充要条件是适当选择参数后，它们有相同的第一基本形式。

7、曲面在非直线的渐近曲线上每点处的切平面一定是渐近曲线的________________________。

9、曲面的高斯曲率为K，测地曲率为可kg ，G是单连通曲面域，G的边界G是一条光滑闭曲线，则

Kd__________2。

G二、选择题（每小题3分，共30分）

11、若曲面S上曲线（C）是平面曲线，则一定有_____恒等于零。

A、法曲率k n B、挠率τ C、测地曲率k g D、曲率k 12、在圆柱面上，圆柱螺线是_____。

A、平面曲线 B、曲率线 C、测地线 D、渐近线 13在椭圆抛物面上，高斯曲率K_____。

A、大于零 B、小于零 C、等于零 D、不确定

=_____（k,τ分别表14、设、、是曲线（C）在一点的三个基本向量，则示曲线在该点的曲率和挠率）。

A、k B、τ C、－τ D、τ

15、曲面的曲纹坐标网是正交网的充分必要条件是_____。

A、F= 0 B、M = 0 C、F = M = 0 D、L = N = 0 16、曲面上的直线不一定是_____。

A、渐近线 B、曲率线 C、测地线 D、法截线 19、下列直纹曲面中，_____是可展曲面。

A、锥面 B、单叶双曲面 C、双曲抛物面 D、挠曲线的主法线曲面

三、解答与证明题(22题、24题各9分，其余各8分)

21、求曲线r(t) = { t , t , e } 在t = 0点的密切平面和主法线。 22、求曲线r(t) = {a (1－sint) , a (1－cost) ，b t } 的曲率和挠率。 23、证明：如果一条曲线的所有法平面包含常向量e，那么这条曲线是直线或平面曲线。

2 2

24、求抛物面z = a ( x+ y) 在 ( 0 ,0 ) 点的高斯曲率和平均曲率。

25、证明挠曲线（C）的主法线曲面不是可展曲面。

2

t

《微分几何》试题（五）

一．填空题：（每小题2分，共20分）

⒈ 变矢r(t)具有固定方向的充要条件是__________________。 ⒉ 设曲线（C）的参数表示是rr(s)，s是弧长，则r___________。

叫作曲线(C)的

r ⒊ 如果曲线在各点的曲率____________，则曲线是直线。

⒋ 曲线rr(t)在P点有挠率=3，则曲线rr(t)在P点附近的形状是__________。

⒌ 一般螺线的切线和一固定方向成固定角，而它的副法线与这个固定方向__________。

⒍ 两个曲面之间的变换是_________的充要条件是适当选择参数后，它们有相同的第Ⅰ基本形式。

⒎ 曲面的第一类基本量是E、F、G，第二类基本量是L、M、N。则曲面上曲率线的微分方程是 。

⒏ 在曲面上非直线的测地线除了测地曲率为零的点以外，曲线的________重合于曲面的法线。

⒐ 曲面上一点(非脐点)的主曲率是曲面在这点所有方向的法曲率中的__________。

⒑ 曲面上连接两点P、Q的________是曲面上连接P、Q的曲线中弧长最短的曲线。

二．选择填空题：(每小题3分，共30分)

11、若曲面S上曲线(C)恒有法曲率n=0，则曲线一定是曲面上的_______。 A、渐近曲线 B、平面曲线 C、曲率线 D、测地线 12、在圆柱面上，圆柱螺线是______。

A、平面曲线 B、曲率线 C、测地线 D、渐近线 13、在曲面上的双曲点，LNM_____。

A、大于零 B、小于零 C、等于零 D、不确定

14、设,,是曲线(C)在一点的三个基本向量，则=_____。（k,分别表示曲线在该点的曲率和挠率）

A、k B、 C、 D、 15、正螺面r{ucosv,usinv,bv}的第二基本形式是_____。 A、22bub2222dudv B、22bub222dudv0

22C、du(ub)dv D、(ub)dudv 16、曲面的曲纹坐标网是渐近网的充要条件是_______。

2A、M=0 B、F=M=0 C、F=0 D、L=N=0 17、若曲面在其上某点处的两个主曲率分别为2，

1，则这点是曲面的_____。 2A、椭圆点 B、双曲点 C、抛物点 D、脐点

18、曲面在一点的单位法向量是n，则在同一点的方向dr是主方向的充要条件是______。

A、dndr0 B、存在方向r使dnr0 C、存在方向r使ndr0 D、drdn‖dr 19、在下列直纹曲面中，_____是可展曲面。 A、双曲抛物面 B、挠曲线的副法线曲面 C、挠曲面的切线曲面 D、单叶双曲面

20、一条有拐点的曲线绕一直线旋转所得旋转曲面上的点是______。 A、椭圆点 B、抛物点 C、双曲点 D、A或B或C

三．解答与证明题（21、22各9分，23-26各8分）

21、求圆柱螺线xacost,yasint,zt在点(a,0,0)处的密切平面和主法线。 22、求曲线r(t)a(1sint),a(1cost),bt的曲率和挠率。 23、证明：如果曲线的所有切线都经过一个定点，则此曲线是直线。 24、求抛物面za(xy)在(0,0)点的高斯曲率和平均曲率。 25、证明曲线(C)的副法线曲面是可展曲面的充要条件是曲线(C)为平面曲 线。

26、求证旋转曲面r(u)cos,(u)sin,(u)的径线是测地线。（其 中(u)0）。

22