人教版数学八年级培优和竞赛教程5、用十字相乘法把二次三项式分解因式

5、用十字相乘法把二次三项式分解因式

【知识精读】

对于首项系数是1的二次三项式的十字相乘法，重点是运用公式

x2(ab)xabxaxb进行因式分解。掌握这种方法的关键是确定适合条件的两

个数，即把常数项分解成两个数的积，且其和等于一次项系数。

2对于二次三项axbxc（a、b、c都是整数，且a0）来说，如果存在四个整数

a1，c1，a2，c2满足a1a2a，c1c2c，并且a1c2a2c1b，那么二次三项式ax2bxc即a1a2x2a1c2a2c1xc1c2可以分解为a1xc1a2xc2。这里要确定四个常数a1，c1，a2，c2，

分析和尝试都要比首项系数是1的类型复杂，因此一般要借助画十字交叉线的办法来确定。

下面我们一起来学习用十字相乘法因式分解。

【分类解析】

1. 在方程、不等式中的应用

2例1. 已知：x11x240，求x的取值范围。

分析：本题为二次不等式，可以应用因式分解化二次为一次，即可求解。

2解：x11x240

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432例2. 如果xxmx2mx2能分解成两个整数系数的二次因式的积，试求m的值，

并把这个多项式分解因式。

422分析：应当把x分成xx，而对于常数项-2，可能分解成12，或者分解成21，

由此分为两种情况进行讨论。

解：（1）设原式分解为xax1x2bx22，其中a、b为整数，去括号，得：

将它与原式的各项系数进行对比，得：

解得：a1，b0，m1

x22x2x1此时，原式

x（2）设原式分解为2cx2x2dx1，其中c、d为整数，去括号，得：

将它与原式的各项系数进行对比，得：

解得：c0，d1，m1

x22x2x1此时，原式

2. 在几何学中的应用

例. 已知：长方形的长、宽为x、y，周长为16cm，且满足

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xyx22xyy220，求长方形的面积。

分析：要求长方形的面积，需借助题目中的条件求出长方形的长和宽。

22xyx2xyy20 解：

xy20或xy10

又xy8

.x5x35y3解得：或y4.5

632cm2∴长方形的面积为15cm或4

3、在代数证明题中的应用

228x10xy3y4xy例. 证明：若是7的倍数，其中x，y都是整数，则是49的倍数。

分析：要证明原式是49的倍数，必将原式分解成49与一个整数的乘积的形式。

8x210xy3y22x3y4xy证明一：

∵4xy是7的倍数，7y也是7的倍数（y是整数） ∴22x3y是7的倍数

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228x10xy3y2x3y而2与7互质，因此，是7的倍数，所以是49的倍数。

证明二：∵4xy是7的倍数，设4xy7m（m是整数）

则y4x7m

8x210xy3y22x3y4xy又∵

∵x，m是整数，∴m2x3m也是整数

228x10xy3y所以，是49的倍数。

4、中考点拨

422224xy5xy9y例1.把分解因式的结果是________________。

422224xy5xy9y解：

说明：多项式有公因式，提取后又符合十字相乘法和公式法，继续分解彻底。

例2.

2因式分解：6x7x5_______________

解：

6x27x52x13x5

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说明：分解系数时一定要注意符号，否则由于不慎将造成错误。

5、题型展示

22xymx5y6能分解为两个一次因式的积，则m的值为（ ） 例1. 若

A. 1 B. -1 C. 1 D. 2

解：

x2y2mx5y6xyxymx5y6

-6可分解成23或32，因此，存在两种情况：

由（1）可得：m1，由（1）可得：m1

故选择C。

说明：对二元二次多项式分解因式时，要先观察其二次项能否分解成两个一次式乘积，再通过待定系数法确定其系数，这是一种常用的方法。

2ac4bacb。 例2. 已知：a、b、c为互不相等的数，且满足

求证：abbc

证明：ac4bacb

2说明：抓住已知条件，应用因式分解使命题得证。

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32例3. 若x5x7xa有一因式x1。求a，并将原式因式分解。

32解：x5x7xa有一因式x1

32∴当x10，即x1时，x5x7xa0

x1时多项式的值为零，说明：由条件知，代入求得a，再利用原式有一个因式是x1，

分解时尽量出现x1，从而分解彻底。

【实战模拟】

1. 分解因式：

22（1）ab16ab39

2nnn12n215x7xy4y（2）

x（3）23x22x23x722

222x1，x2，x3，x2x3，x2x1，x2x3，哪些是多项式2. 在多项式

x22x10x22x942的因式？

323. 已知多项式2xx13xk有一个因式，求k的值，并把原式分解因式。

223x5xy2yx9y4 4. 分解因式：

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223x12xy9yxy05.，x3y12.5. 已知：，求的值。

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【试题答案】

1.

（1）解：原式

ab16ab39ab3ab132

（2）解：原式

3xnyn15xn4yn1

（3）解：原式

x23x4x23x18x4x1x6x3

2.

x22x10x22x942解：

22x1，x3，x2x3，x2x1是多项式 ∴其中

x22x10x22x942的因式。

说明：先正确分解，再判断。

3.

2x3x213xk2x1x2axb解：设

则

2x3x213xk2x32a1x2a2bxb

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a1b6k6解得：

322k6且2xx13x62x1xx62x1x3x2

说明：待定系数法是处理多项式问题的一个重要办法，所给多项式是三次式，已知有一个一次因式，则另一个因式为二次式，由多项式乘法法则可知其二次项系数为1。

4.

解：简析：由于项数多，直接分解的难度较大，可利用待定系数法。

223x5xy2yx9y4 设

m3n12mn9mn4比较同类项系数，得：

m4解得：n1

5.

223x12xy9y解：

说明：用因式分解可简化计算。

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