24．3 正多边形和圆
学习目标
1．了解正多边形的概念，会通过等分圆心角的方法等分圆周画出所需的正多边形． 2．会判定一个正多边形是中心对称图形还是轴对称图形，能够用直尺和圆规作图，作出一些特殊的正多边形．
3. 会进行有关圆与正多边形的计算．
【重点】正多边形和圆中正多边形半径、中心角、弦心距、边长之间的关系． 【难点】理解正多边形半径、中心角、弦心距、边长之间的关系．
学习过程
一、归纳：
1、 相等， 也相等的多边形叫做正多边形。
2、把一个圆分成几等份，连接各点所得到的多边形是 ，它的中心角等于 。
3．一个正多边形的外接圆的__ __叫做这个正多边形的中心；外接圆的__ __叫做正多边形的半径；正多边形每一边所对的 叫做正多边形的中心角；中心到正多边形的一边的__ __叫做正多边形的边心距．
4．正n边形都是轴对称图形，当边数为偶数时，它的对称轴有
条，并且还是中心对称图形；当边数为奇数时，它只是 。 二、探索新知 『探究一』正六边形ABCDEF，连结AD、CF交于一点O，以 为圆心，OA为半径作圆，那么点B、 、D、 、F都在圆上．我们发现正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的 正多边形，这个圆就是这个正多边形的 圆。
『探究二』我们以圆内接正五边形为例证明。 如图把⊙O分成相等的五段弧，依次 连接各分点得到五边形ABCDE。 ∵ AB= BC= = = , ∴ AB=BC=CD=DE=EA， ∴BCE= CDA= 3AB，
∴∠A=∠ .理由是（等弧所对的圆周角 ）。 同理∠B=∠C =∠D=∠E=∠A.
（2）又五边形ABCDE的顶点都在⊙O上，
∴五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，⊙O是五边形ABCDE的外接圆。 三、例题分析：
例1 有一个亭子（如图所示）它的地基是半径为 4 m的正六边形，求地基的周长和面积（结果保留 小数点后一位）。
解：如图所示，由于ABCDEF是正六边形，所以半径为OC, 边心距为OP, 它的中心角等于αn=
360= °，△OBC是 角形， 6F E
D
A O r B P
R C ∴正六边形的边长等于它的半径等于 。因此，亭子地基的周长 L= × =24(cm). 在Rt△OPC中，OC=4,PC=
OC4= ，利用勾股定理， 22可得边心距OP=422223. 亭子地基的面积
11S=lr242341.6（m2）.（31.732） 22答：__________________________________
学习检测
1．正n边形的一个内角与一个外角之比是5∶1，那么n等于 ． 2．若一正四边形与一正八边形的周长相等，则它们的边长之比为 ． 3．正八边形有 条对称轴，它不仅是 对称图形，还是 对称图形．
4．有两个正多边形边数比为2∶1，内角度数比为4∶3，求它们的边数．
5．等边三角形ABC的边长为a，求其内切圆的内接正方形DEFG的面积．
6．如图所示，已知⊙O的周长等于6cm，求以它的半径为边长的正六边形ABCDEF的面积．
7．如图所示，正五边形ABCDE的对角线AC、BE相交于M．求证：四边形CDEM是菱形。
参与提示
学习过程
一、 1.各边 各角
3602.正多边形
n3.圆心 半径 圆心角 距离 4.n 轴对称图形 二、
O C E 内接 外接 CD DE EA B 相等
三、
60 等边 4 m 4 6 2 地基的周长是24cm，面积约为41.6 m2.
学习检测
1.12 2.2:1
3.8 轴对称 中心
4.解：设两个正多边形的边数为2n，n， 则(2n2)180(n2)180∶=4∶3， 2nn ∴n=5，2n=10，
∴这两个正多边形为正十边形、正五边形. 5.解：如图，等边三角形ABC的边长为a，
a∵点O为△ABC的内心，∴OE⊥AB，AE=BE=，∠EAO=30°， 2a设OE=x，则OA=2x，根据勾股定理可得，（）2+x2=(2x)2, 2 解得，x=
33a，∴OE=a， 666a， 6则正方形的边长是2OE=1则正方形的面积是a2．
66.解：∵周长L=，∴R=3,
33， 2 ∴正六边形的边长为3，边心距为133273 ∴正六边形ABCDEF的面积为6××3×=（cm2）. 2227.证明：∵ABCDE正五边形，∴∠CBA=108°,AB=BC=EA，
∴∠CAB=36°,∠EBA=36°,∠ACB=36°,∠BEA=36°， ∴∠CBM=72°， 又∵∠ACB=36°，
∴∠CMB=180°-72°-36°=72°， ∴CM=CB， 同理可得EM=EA， ∴DE=EM=MC=CD， ∴四边形CDEM是菱形.
