近世代数第四章-环与域题解讲解

第四章 环与域

§1 环的定义

一、主要容

1．环与子环的定义和例子。在例子中，持别重要的是效域上的多项式环、n阶全阵环和线性变换环，以及集M的幂集环．

2．环中元素的运算规则和环的非空子集S作成子环的充要条件：

二、释疑解难

1．设R是一个关于 代数运算十，·作成的环．应注意两个代数运算的地位是不平等的，是要讲究次序的．所以有时把这个环记为(R，十，·)(或者就直接说“R对十，·作成一个环”)．但不能记为R，· ，十)．因为这涉及对两个代数运算所要求满足条件的不同．我们知道，环的代数运算符号只是一种记号．如果集合只有二代数运算记为，⊕，又R对 作成一个交换群，对⊕满足结合律且⊕对满足左、右分配律，即

就是说，在环的定义里要留意两个代数运算的顺序．

2．设R对二代数运算十，·作成一个环．那么，R对“十”作成一个加群，这个加群记为(R,十)；又R对“· ”作成一个半群，这个乍群记为(R，·)．再用左、右分配律把二者联系起来就得环(R，十．·)．

专业WORD.

三、习题4．1解答 1．

2．

专业WORD.

3．

4．

5．

专业WORD.

6．

7．

8．证明：循环环必是交换环，并且其子环也是循环环．

§4．2 环的零因子和特征

一、主要容

１．环的左、右零因子和特征的定义与例子．

2．若环R无零因子且阶大于1，则R中所有非零元素对加法有相同的阶．而且这个相同的阶不是无限就是一个素数．

这就是说，阶大于l且无零因子的环的特征不是无限就是一个素数． 有单位元的环的特征就是单位元在加群中的阶．

3．整环(无零因子的交换环)的定义和例子． 二、释疑解难

１．由教材关于零因子定义直接可知，如果环有左零因子，则R也必然有右零因子．反之亦然．

但是应注意，环中一个元素如果是一个左零因子，则它不一定是一个右零因子．例如，教材例l中的元素10就是一个例子．反之，一个右零因子也不一定是一个左零因子．例00xy00如，设置为由一切方阵

(x,yQ)

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对方阵普通加法与乘法作成的环．则易知10是R的一个右零因子，但它却不是R的左00零因子．

2.关于零因子的定义．

关于零因子的定义，不同的书往往稍有差异，关键在于是否把环中的零元也算作零因子．本教材不把零元算作零因子，而有的书也把零元算作零因子．但把非牢的零因子称做真零因子．这种不算太大的差异，读者看参考书时请留意．

3．关于整环的定义．

整环的定义在不同的书中也常有差异．大致有以下4种定义方法： 定义1 无零因子的交换环称为整环(这是本教材的定义方法)． 定义2 阶大于l且无零因子的交换环，称为整环． 定义3 有单位元且无零因子的交换环，称为整环．

定义4 阶大于1、有单位元且无零因子的交换环，称为整环．

以上4种定义中，要求整环无零因子、交换是共同的，区别就在于是否要求有单位元和阶大于1．不同的定义方法各有利弊，不宜绝对肯定哪种定义方法好或不好．这种情况也许到某个时期会得到统一．但无论如何现在看不同参考书时应留意这种差异．

本教材采用定义1的方法也有很多原因，现举一例。本章§8定理1：设P是交换环R的一个理想．则

P是R的素理想R／P是整环．

这样看起来本定理表述显得干净利索．但若整环按定义2(或定义3、4)要求，那么以上定理表述就需变动．究竟要怎样变动，作为练习请读者自己给出． 。’

三、习题4．2解答 １．

２．

专业WORD.

３．

４．

５．

６．

专业WORD.

７．设R是一个无零因子的环．证明：若R偶数，则R的特征必为2．

８．证明：P—环无非零幂零元．

专业WORD.

§4.3 除环和域

一、主要容

1．除环和域的定义及例子．四元数除环．

2．有限环若有非零元素不是零因子，则必有单位元，且每个非零又非零因子的元素都是可逆元．

3．有单位元环的乘群(单位群)的定义和例子．

有单位元的环的全体可逆元作成的群，称为该环的乘群或单位群．

除环或域的乘群为其全体非零元作成的群；整数环Z的乘群为 Z﹡＝｛１，－１｝；

数域上n阶全阵环的乘群为全体n阶可逆方阵对乘法作成的群；Gaus s整环的乘群为

U(Z[i]) ＝｛１，－１，i－i，｝． 二、释疑解难

1．阶大于l的有限环可分为两类： ”

1) 一类是有零因子的有限环．例如，有限集M(M＞1)上的幂集环P(M)，不仅是个有零因子的有限环，而且除单位元M外其余每个非零元素都是零因子；后面§５所讲的以合数n为模的剩余类环Zn也是一个有零因子的有限环．

2) 另一类就是无零因子的有限环．实际上根据本节推论和得邦定理可知，这种有限环就是有限域．例如，以素数p为模的剩余类环Zp以及教材第六章所介绍的伽罗瓦域都属于这种倩形．

这就是说，阶大子1的有限环或者有零因子或者无零因子，从而为域．

与群定义中要求两个方程ax＝b与ya＝b都有解不同,这里仅要求方程ax＝b或y a＝b (0≠a,b∈R)中有一个在R中有解即可．教材中利用方程ax＝b有解得到R的全体非零元有右单位元且每个非零元素都有右逆元，从而得到R是除环．

如果利用方程ya＝b在R中有解，则将得到R的全体非零元有左单位元且每个非零元都有左逆元，从而也得到只是除环．

3．关于有单位元环的单位群．

设R是阶大于l的有单位元的环．则显然

R是除环R的单位群是R－｛０｝；

R是域 R－｛０｝是交换群． 显然，除环或域有“最大’’的单位群．又显然幂集环P(M)的单位群只有单位元(因其他元素那是零因子)，它是“最小”的单位群．

三、习题4．3解答 1．证略． 2．证略．

3．证明：域和其子域有相同的单位元．

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即F与F1有相同的单位元．(也可由F﹡与F1有相同单位元直接得出)

4．

5．

6．

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§4 环的同态与同构

一、主要容

1．环的同态映射和同构映射的定义和例子 2．环同态映射的简单性质． 设是环R到环豆R的同态满射，则

1) (0)是R的零元，(－a)＝－(a) (a∈R) ； 2)当R是交换环时，R也是交换环；

3)当R有单位元时，R也有；并且R的单位元的象是R的单位元．

3．在环同态映射下，是否有零因子不会传递．即若环R~R，则当R有零因子时，R可能没有，当R无零因子时，R却可能有．

二、释疑解难

1．在§1已经强调过，对于环的两个代数运算一定要区分前后顺序．同样，对于环的同态映射，也要注意其保持运算必须是：加法对加法，乘法对乘法．即

(a＋b)＝(a)＋(b)，

(ab)＝(a)(b)．

第一式中等号左边的加号“＋”是环R的加法，而等号右边的加号“＋”是环R的代数运算．二者虽然都用同一符号，但在实际例子中这两个代数运算却可能点很大差异，根本不是一回事．

对上述第二个式子中等号两端的乘法完全类似，不再赘述． 2．由于零因子在环同态映射下不具有传递性，因此，若环R~R，则当R为整环时，R不一定是整环；又当R不是整环时，R却可能是整环．教材中的例1和例2说明了这一点．

3．关于环的挖补定理，

三、习题4．4解答

专业WORD.

1. 证 略． 2.

3.

4.

5.

6.

专业WORD.

7.

§4．5模n剩余类环

一、主要容

2．循环环定义、例子和简单性质． ’

专业WORD.

1) 整数环及其子环以及剩余类环及其子环都是循环环．而且在同构意义下这也是全部的循环环．

2) 循环环是交换环，但不一定有单位元．而且这种环的子加群同子环、理想三者是一回事．因此，n阶循环环有且只有T(n)(n的正因数个数)个子环(理想)．

二、释疑解难

1．剩余类环是一类很重要的有限环，因为这种环是一种具体的环，特别是它的特征、子环(理想)、零因子、可逆元和单位群等都很清楚．因此，在环的讨论里常常以它作为例子来加以利用，并说明问题．

2．整数环的任二不同的非零子环，作为加群，它们显然是同构的(因为它们都是无限循环群)．但是，作为环，它们并不同构．因为，例如设

因此，S与T不能同构．

3．剩余类环Zn中任二不同的子环也不能同构．

事实上，Zn的任二不同阶的子环当然不能同构．又设置为Zn的任意k阶子环，则kn．但由于(Zn，＋)是n阶循环群，从而对n的每个正因数k，(Zn，＋)有且只有一个k阶子群，于是环Zn有且仅有一个k阶子环．因此，Zn的任二不同的于环当然不同构．

4．但是，有有限环存在，其有二不同子环是同构的．例如：令R是Z2上的2阶全阵环，则R＝16，且易知

都是R的4阶子环，而且易知R1还是一个域．但是，R2无单位元(且不可换，又非零元都是零因子)，因此，R1与R2不能同构．

此外易知：

也都是环R的4阶子环，而且R1，R2，R3，R4都是互不同构的．对此不再详述，兹留给读者

专业WORD.

作为练习．

有文献已经证明，互不同构的4阶环共有11个．对此不再赘述． 三、习题4．5解答

1.证明：同余类的乘法是Zn的一个代数运算．

2. 试指出环Z8中的可逆元和零因子，再给出它的所有子环．

3. 试给出Z10的所有子环，并指出它们各自的特征．

4.

5.

专业WORD.

6.

7. 证明：整数环的不同子环不同构， 证：见上面“释疑解难”部分中的2． 8.

专业WORD.

§４．6 理 想

一、主要容

1．左、右理想、理想的定义和例子． 2．单环的定义以及单环的一个重要性质．

设环R有单位元，则R上全阵环Rn×n的理想都是R中某个理想上的全阵环．由此可知： Rn×n是单环R是单环． 特别，除环和域上的全阵环都是单环．

3．由环中元素山a１，a２，…，am生成的理想〈a１，a２，…，am〉．特别，由一个元素a生成的主理想〈a〉．

在一般情况下，主理想〈a〉中元素的表达形式．在特殊环(交换环和有单位元的环)中〈a〉的元素表达形式如下：

1) 在有单位元的环R中：

4．理想的和与积仍为理想． 二、释疑解难

1．关于理想的乘法．

我们知道，如果A，B是群G的二子集或(正规)子群，则A与B的乘积是如下规定的：

AB＝｛aba∈A,，b∈B｝．

但当A，B是环R的理想时，如果仍按以上规定相乘，则一般而言其乘积AB不再是理想．由

于这个原因，环中理想的乘法规定为

AB＝｛有限和

abii． ai∈A,，bi∈B｝

2．对任意环R，则R至少有平凡理想｛０｝和R．通常把R本身叫做R的单位理想，

这是由于以下原因：对R的任意理想N，显然都有

专业WORD.

RNN， NRN．

但当R有单位元时，则显然又有RNN， NRN．从而有 RN＝NR＝N．

这就是说，此时R在理想乘法中的作用类似于数1在数的乘法中的作用． 3．设R为任意环，a∈R．则易知

N＝｛rarR｝

是R的一个左理想．若R是交换环，则当然．但是应注意，由于R不一定有单位元，故不一定有a∈N．从而也不能说N是由a生成的理想．

例１ 设R为偶数环，a＝4，则

专业WORD.

三、习题4．6解答 1. 证 略．

2. 证 1) 略．2) 由于

3.

4. 证 参考上面“释疑解难”部分3． 5.

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8. 8．证明：§4中例3中的环FN，当N为降秩方阵时，不是单环．

§4.7商环与环同态基本定理

一、主要容

专业WORD.

1．设 ，则所有(关于加法的)陪集x十N(x∈R)对于陪集的加法与乘法 (a＋N)十(b＋N)＝(a＋b)＋N， (a＋N)(b＋N)＝ab＋N

作成一个环，称为R关于理想N的商环，记为R／N．

即在同构意义下，任何环能而且只能与其商环同态．此称为环同态基本定理或环的第一同构定理．

二、释疑解难

1．环同态基本定理有的书包括：但有的书不包括这一结论,而只指出： R~R，N为核R／NR．

也有书称此为“环的第一同态定理”或“环的第一同构定理”．甚至也有的书虽有此定理，但却未给予任何名称．不过多数的书均明示“环同态基本定理”且指出

“R~R，N为核R／NR”．

当然，这些问题是非本质的，只是在看参考书时留意其差异即可．

3．环的第三同构定理与群的第三同构定理也基本类似，只是其中有一部分转移到本节习题中去了．

以上环的三个同构定理，从叙述(条件和结论)和证明方法应多与群的三个同构定理作

比较，这样不仅可以加深理解而且可以增强记忆．

三、习题4．7解答 1.

2.

专业WORD.

3.

4.

故h＋n∈K，H＋NK．因此K＝H十N，即H的象为(H＋N)∕N．

专业WORD.

§４．８素理想和极想

一、主要容

1．素理想和极想的定义和例子． 整数环Z的素理想为｛0｝、Z以及由任意素数p生成的理想﹤p﹥，而且﹤p﹥ (p为任意素数)还是Z的全部极想．

﹤x﹥,﹤y﹥,﹤x，y﹥以及﹤x，y，２﹥都是环Z[ x，y ]的素理想，而且﹤x，y，２﹥还是Z[ x，y ]的一个极想．

2．交换环R中，理想P是素理想R／P是整环． 在一般环R中，理想N是极想R／N是单环．

3．有单位元的可换单环必为域．

1) 设R是有单位元的交换环，是极想． 2) 有单位元的交换环中极想必为素理想． 二、释疑解难

1．关于素理想的定义．

3．素理想和极想的意义和作用．

由教材定理1可知，若P是交换环R的素理想，则R／P是整环；由定理3、定理4和

专业WORD.

推论l可知，若N是有单位元的交换环R的极想，则R／N是一个域．商环与原环关系密切，又整环特别是域更是性质较好的特殊环类．这就是说，利用素理想和极想可得到一个与原环关系密切且性质又好的环，这对于研究原环R是非常重要和有利的．这就是研究素理想和极想的意义和作用．

三、习题4．8解答 1.

3.

专业WORD.

4.

5.

§4．９环与域上的多项式环

一、主要容

1．有单位元环R上多项式环R[x]的性质． 1) R[x]是整环R是整环．

2) R[x]中多项式的除法——左、右商及左、右余式． 2．域F上多项式的根．

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1) F上n次多项式在扩域根的个数≤n；

2) F上多项式f(x)在扩域无重根(f(x)，f(x))＝1．

二、释疑解难

1．本节均假定环R有单位元，但并未假定R可换．因此，在对R上的多项式在进行除法时，必须分左、右商和左、右余式．从本节习题中可知，一般说左右商不一定相等，左右余式也不一定相等．当然，如果R是交换环，它们则分别相等，就不必再分左与右了．

2．域上多项式的根的状况同我们所熟知的数域上多项式的情况一致．但是，环上多项式根的状况，由例子可知，就很不一样．例如，环R上一个n次多项式在R可能无根(这种情况并不奇怪，因为例如有理数域上多项式在有理数域也不一定有根)，也可能有多于n个的根(这种情况在数域或域上多项式不会发生)．不过，教材中除下一章惟一分解整环的多项式扩外．主要用到场上的多项式．例如教材第六章中的最小多项式和多项式的域就属于这种情况．

三、习题4．9解答 1.

2.

3. 解 经验算得知，f(x)在Z5上无根． 4.

5.

6.

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一、主要容

1．环的外直和与直和的定义和例子 2．环是其子环的直和的充要条件．

专业WORD.

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5.

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6.证 １）

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