第４０卷第２期 航空计算技术 Ａｅｒｏｎａｕｔｉｃａｌ Ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ Ｔｅｃｈｎｉｑｕｅ Ｖｏ１．４０ Ｎｏ．２ Ｍａｒ．２０１０ ２０１０年３月 薄壁结构固有频率的Ｐ型有限元数值计算收敛性研究 柯栗，孙秦 （西北工业大学航空学院，陕西西安７１００７２） 摘要：通过使用ＭＳＣ．Ｐａｔｒａｎ／Ｎａｓｔｒａｎ中的Ｐ型有限元评价多种典型薄壁结构构件动力学品质分析 中的特征值计算收敛问题，并对高阶形函数的作用进行了深入分析，从而说明高阶Ｐ型体元在薄壁 结构建模中的优越性。 关键词：Ｐ型有限元；薄壁结构；固有频率；收敛性 中图分类号：０２４２．２１ 文献标识码：Ａ 文章编号：１６７１—６５４Ｘ（２０１０）０２—００６５—０４ 引言 对于复杂结构问题，为了尽可能减少前处理工作 量，避免繁琐的数据准备，但又能控制有限元求解的离 散精度，这就需要发展有限元法自适应技术。Ｐ型有 限元是自适应单元，对网格剖分的前处理少，升阶过程 刚度矩阵。 设结构各点的自由振动为简谐运动： ６＝ｏｃｏｓｗｔ （２） 将式（２）代人式（１），写成方程组得： （Ｋ—ｔＯ Ｍ）０＝０ （３） 中既不用重新剖分单元网格，又具有传承性，容易实现 自适应过程，适合于大型结构的数值分析问题。 升阶谱有限元的概念最早由Ｚｉｅｎｋｉｅｗｉｃｚ １９７０年 提出，后又作了进一步的阐述¨Ｊ，是实施Ｐ收敛过程的 一当ｄｅｔ（Ｋ一０３ Ｍ）≠０，唯一可能的解为 ＝０，它代 表没有运动的情况；当ｄｅｔ（Ｋ一∞ Ｍ）＝０，此时可解出 一系列离散的特征值０．１ ，即为系统的第ｉ阶固有频率。 基于升阶谱单元的Ｐ型有限元特点的形成，关键在 种有效的方法。Ｂａｂｕｓｋａ等人则从数学上证明了Ｐ 于其形函数的特殊形式 Ｊ。普通拉格朗日型单元及上 述升阶谱单元的刚度矩阵均为满秩矩阵。若采用勒让 德正交多项式序列作为应变的升阶谱函数，则可以缩小 单元刚度矩阵的带宽。升阶谱单元的容许位移函数为： ｕ＝收敛性优于ｈ收敛性 。最近十多年，许多学者对Ｐ 型有限元的理论及应用进行了研究 。一些典型结 构静、动、断裂问题的数值研究表明，Ｐ型有限元在一 定范围内表现了突出的优点。近年来，许多商业有限 元软件包提供了Ｐ型有限元的技术应用。 ∑ ⅣＪ＋∑ｕ ｉ＝１ ｉ＝ ＋１ （４） 本文通过使用ＭＳＣ．Ｐａｔｒａｎ／Ｎａｓｔｒａｎ中的Ｐ型有限 元评价了多种典型薄壁结构构件动力学品质分析中的 式中，“ 为标准拉格朗日型单元的节点位移； 为单 元标准形函数； 为广义位移参数，不代表某具体点处 特征值计算收敛问题，并对高阶形函数的作用进行了 深入分析，从而说明高阶Ｐ型体元在薄壁结构建模中 的优越性。 的位移； 为高阶形函数，下面将给出其表达式。 取Ｐ 为区间（一１，１）上的第ｋ阶勒让德正交多项 式，其表达式为： Ｐ １ Ｐ型有限元法在结构固有频率数值计算中 的应用 由常规结构离散化及达朗倍变分原理可获得结构 系统的自由振动方程为： ６＋硒＝０ （１） 者嘉 ．１ ＿０，１，… （５） 对于ｃ。类勒让德型升阶谱形函数， ＝Ｉ Ｐｉ－２ ，可得 的统一显表达式为： 其中 为结构系统的质量矩阵， 为结构系统的 收稿日期：２００９一ｏ９—３ｏ 修订日期：２０１ｏ—ｏ１．１１ ‘ 务 ～，… （６） 作者简介：柯栗（１９８５一），女，湖北武汉人，硕士研究生，研究方向为薄壁结构力学行为的Ｐ型有限元数值计算技术。 ・６６・ 航空计算技术 第４０卷 第２期 同理，将式（６）再积分一次，又可导出ｃ 类勒让 德型升阶谱形函数的统一显表达式： 高计算效率。 “ 系。 等等 ～，… （７） ２数值算例 本文针对有无加筋矩形板、圆柱壳型结构的固有 频率问题，进行了Ｐ型有限元分析计算。算例中，材料 的力学性能均为：杨氏模量Ｅ＝７．０６ｅ＋１Ｏ Ｐａ，剪切模 量Ｇ＝２．６５４ｅ＋１Ｏ Ｐａ，泊松比 ＝０．３３，密度Ｐ： ２．７ｅ＋３ｋｇ／ｍ 。 可见 为函数本身及导数在单元端点及边界上 均为０的多项式，因此它并不影响单元之间的协调关 下面推导ｃ。和ｃ 类勒让德型升阶谱元的单元刚 度矩阵半带宽。注意到勒让德正交多项式序列满足如 下的正交和规范化条件： １ ｆ０，ｋ≠ 各算例均采用以下四种方式建模： １）４节点ｈ型壳元（ＣＱＵＡＤ４）（筋条为２节点ｈ 型梁元（ＣＢＥＡＭ２））； ｉ 在单元刚度矩阵中需要计算的积分项为： ’ （９） ２）４节点Ｐ型壳元（筋条为２节点Ｐ型梁元）； ３）８节点ｈ型体元（ＣＨＥＸＡ）； ４）８节点Ｐ型体元。 网格划分的尺度为：ｈ型单元从８００ ｍｍ、４００ ｍｍ 直到２５ ｍｍ，Ｐ型单元为８００ ｍｍ、４００ ｍｍ直到 １００ ｍｍ。当相邻两个网格尺度下得到的频率值的相 对误差小于１％时，认为达到收敛。 ｋ 一∑Ｃ Ｊ，＃ｒｐ Ｐｊ一 ｄ 在上式中，对于ｃ。类单元， ＝１；而对于ｃ 类单 元，ｓ＝２。利用式（８）可得仅当ｋ＝ 一ｓ即ｉ＋ｒ＝ 时积 分式不为０，亦即 ， Ｊ，…， ，不等于０，故半带宽 算例１：无约束平板 首先以一块长宽为２ ４００ ｍｍ×２ ４００ ｍｍ、厚度为 为１＋ｒ。类似有ｃ。类和Ｃ 类单元的单元质量矩阵半 带宽分别为３＋ｒ和５＋ｒ。 １０ ｍｍ的无约束平板为例，比较其固有频率的收敛速 率。从表１可以看出由这四种单元组成的模型求出的 收敛值基本没有差别，因此我们比较了这四种模型的 收敛速率。 上面的结论充分显示了升阶谱元的优点：其单元 矩阵可在常应变元单元矩阵基础上，随阶次升高逐步 扩充行和列得到；且单元矩阵高度稀疏，可以有效的提 ５．６ ５．４ 呈 蓦５．２ 宝 ５ ｌ０ Ｄ０Ｆ ｌ０ Ｄ０Ｆ ｌ０ ｆａ）ｐＣｄ壳元和ｈ型单元比较 （ｂ）ｐ型体元和ｈ型单元比较 图２ ｐ型体元面内方向形函数阶次 选择与一阶频率收敛性的关系 图１ Ｐ型体元及壳元的形函数阶次 选择与一阶频率收敛性的关系 ｈ单元模型的收敛性分析是通过增加单元数来进 行的，其中实体单元模型厚度方向的单元数始终取１， 分别记为ｓｈｅｌ１．ｈ和ｓｏｌｉｄ．ｈ。由于Ｐ型单元允许选择 图１显示了一阶频率随模型自由度改变的趋势。 可见在本算例中，减少厚度方向上的形函数阶次对解 的数值和收敛速度没有影响，但可以有效地减少计算 时间。因此，将厚度方向形函数阶次固定为２次，同时 在面内边上分别取３次、５次和７次，分别记为ｓｏｌｉｄ． ｐ３３２，ｓｏｌｉｄ．ｐ５５２，和ｓｏｌｉｄ．ｐ７７２。考察其频率随自由 度改变的趋势，得到图２。 算例２：无约束加筋板 形函数的阶次，因此对于平面Ｐ单元模型，选择３次、５ 次和７次多项式来进行分析，分别记为ｓｈｅｌｌ—ｐ３、ｓｈｅｌｌ— ｐ５、和ｓｈｅｌｌ ｐ７；对于实体Ｐ单元模型，在面内方向上 取５次，在厚度方向上分别取２次、３次和５次，记为 ｓｏｌｉｄ．ｐ５５２、ｓｏｌｉｄ．ｐ５５３和ｓｏｌｉｄ．ｐ５５５。模型第一阶频 率随自由度的变化如图１。 在算例１中平板的两条边上加上Ｌ型加强筋，筋 ２０１０年３月 柯栗等：薄壁结构固有频率的Ｐ型有限元数值计算收敛性研究 －６７・ 条的几何尺寸如图３所示。从结果可知两种Ｐ型单元 得到第１阶频率随自由度变化的趋势如图４所示。一 ｝｛～ Ｉｌ 享 ５ ５ ５ ５ ４ ４ ４ ４ ４ ４ 求得的结果差别不大，但两种ｈ型单元结果在数值上 有一定的差别。比较ｈ型壳元和ｈ型体元收敛值的相 对误差，可得相对误差最大值为８．５２％，出现在第３ 阶模态；相对误差最小值为０．９９％，出现在第１３阶模 态；总体而言相对误差在１％到７％之间。这是因为在 用壳元和梁元对加筋板建模时，梁元的偏心仅偏移了形 心，没有偏移质心，导致对真实情况的模拟不完全准确。 （ａ）加筋板模型 （ｂ）筋条截面形状及尺寸 比较这四种模型收敛速率的方式同算例１相同， 图３模型的几何外形及筋条截面尺寸 表１ 无约束平板第１…３ ５ ７阶固有频率值（Ｈｚ） 【ｚ｜｜一 享 ５ ５ ５ ５ ４ ４ ４ ４ ４ ４ ＤＯＦ ＤＯＦ （ａ）ｐ型壳元和ｈ型单元比较 ｆｂ）ｐ型体元和ｈ型单元比较 图４ Ｐ型体元及壳元的形函数阶次选择与一阶频率收敛性的关系 表２无约束加筋圆柱壳的部分阶次模态频率值（Ｈｚ） 算例３：无约束圆柱壳 态频率值（表２只列出相对误差较大的几组）。与算 对一个高为２ ４００ ｍｍ、直径１ ０００ ｍｍ、厚度为１０ 例２类似的，壳元一梁元和体元得到的结果在数值上 ｍｍ的圆柱壳进行固有模态分析，分别采用以下和算 有一定差别。比较ｈ型壳元和ｈ型体元收敛值得相对 例１相同的４种方式建模，求得前ｌ５阶弹性模态频率 误差，得相对误差最大值２９．３４％，出现在第１阶模 值。可得４种建模方式求得的解在数量上基本没有差 态，最小值为０．９５％，出现在第１３阶模态；除第１～４， 别。比较这四种模型收敛速率的方式同算例１相同， ９，１０，１５阶外，相对误差在３％以内。这仍是由于梁元 得到频率随自由度变化的规律同算例１类似，故不再 的质心没有偏置所致。 详细说明。 比较这四种模型收敛速率的方式同算例１相同（其 算例４：无约束加筋圆柱壳 中ｓｏｌｉｄ．ｐ３３２、ｓｏｌｉｄ—ｐ５５２和ｓｏｌｉｄ．ｐ７７２在网格尺度为 在算例３中的圆柱壳上下两端分别加一环形Ｌ型 １００ ｍｍ时仍未收敛，因此还计算了网格尺度为５０ ｍｍ 加强筋，加强筋的尺寸同算例２，求得前十五阶弹性模 时的情况），其频率随自由度变化的趋势如图５所示。 航空计算技术 第４Ｏ卷 第２期 ５０ 一 昌 享０ ５ ４ ４ ４ ４ ４ ３ ３ ３ ３ ３ ４８ ４６ ／～ ４４ ４２ 暑４０ ｌ ３８ ３６ ３４ ３２ ３０ ＤＯＦ ＤＯＦ （ａ）ｐ型壳元和ｈ型单元比较 （ｂ）ｐ型体元和ｈ型单元比较 图５ Ｐ型体元及壳元的形函数阶次选择与一阶频率收敛性的关系 ４ 结论 ３ 算例分析 本文算例表明了使用Ｐ型体元对薄壁结构建模是 由算例ｌ和算例３，可以分析看出： 可行的。高阶Ｐ型体元能够较好地模拟结构的真实外 １）对于简单薄壁结构，Ｐ型壳元可以用最少的自 形，通过升高面内和厚度方向形函数阶次，可以在单元 由度来达到收敛值并满足与ｈ单元相当的收敛精度。 长宽比非常大的情况下得到比壳元更好的结果，从而 当多项式阶次增加时，Ｐ型壳元和Ｐ型体元均可得到 有效地降低求解规模。在保证精度的同时，使用５阶 非常精确的结果。 或７阶形函数可以在大多数情况下用较少的自由度达 ２）在自由度相同的情况下，Ｐ型单元比ｈ型单元 到收敛。此外，用Ｐ型单元来进行分析时只用改变多 得到的结果更加精确。 项式阶次、不需要重构网格也是其一大优点。 ３）对Ｐ型单元而言，增加形函数阶次可以加快收 可见Ｐ型有限元法在结构强度分析中将有着广阔 敛速率。且Ｐ型体元可以在仅增加厚度方向形函数阶 的应用前景。当然，目前Ｐ型有限元在应用中也存在 次而不满足单元长宽比要求的情况下达到收敛值。 一些，如随单元形函数阶次的升高，求解过程将需 ４）在自由度相等的情况下，实体模型的计算时间多 要使用更多的计算机存储空间，在求解大型结构时必 于平面模型，且计算时间随形函数阶次的增加而增加。 须恰当控制计算规模，否则将难于求解。 这是因为实体模型的刚度矩阵比平面模型更加密集。 由算例２和算例４，可以分析看出： 参考文献： １）对于薄壁加筋结构，Ｐ型壳元仍可用最少的自 ［１］ Ｂａｂｕｓｋａ Ｉ，Ｓｚａｂｏ Ｂ Ａ，Ｋａｔｚ Ｉ Ｎ．Ｔｈｅ Ｐ—ｖｅｒｓｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ Ｆｉｎｉｔｅ 由度来达到收敛值，但无法获得与体元相当的精度。 Ｅｌｅｍｅｎｔ Ｍｅｔｈｏｄ［Ｊ］．ＳＩＡＭ Ｊ．Ｎｕｍｅｒ．Ａｎａｌ，１９８１，１８（３）： 当阶次增加时，Ｐ型体元可以得到非常精确的结果。 ５１５—５４５． ２）在自由度相同的情况下，Ｐ型单元比ｈ型单元 ［２］ 陈胜宏，程昭．水工结构分析的Ｐ一型自适应有限单元法 得到的结果更加精确。 研究［Ｊ］．水利学报，２００１（１１）：６２—６９． ３）对于加筋平板模型，增加形函数阶次可以提高 ［３］ 周张义，李芾．Ｐ型自适应有限元法及其在机车车辆强度 分析中的应用［Ｊ］．机车电传动，２００７（２）：６—９． Ｐ型壳元和梁元收敛速率；且Ｐ型体元的收敛速率随 ［４］ 侯新录．自适应升阶谱有限元程序实现的几个问题［Ｊ］． 厚度方向上形函数阶次的升高而加快。 太原工业大学学报，１９９６（３）：８３—８８． ４）加筋圆筒模型比加筋平板模型收敛慢，且增加 ［５］诸德超．升阶谱有限元法［Ｍ］．北京：国防工业出版社， 面内和厚度方向形函数均能有效提高收敛速率。 １９９３：８３—９０． ５）梁元质心未偏置对于求解精度有一定影响，且 ［６］Ｌｉｓａｎｄｒｉｎ Ｐ，ｖａｎ Ｔｏｏｒｅｎ Ｍ，Ｈｉｇｈ—Ｏｒｄｅｒ Ｆｉｎｉｔｅ Ｅｌｅｍｅｎｔｓ Ｒｅ－ 对加筋圆筒模型的影响较大。对于薄壁加筋结构，用 ｄｕｃｅｄ Ｍｏｄｅｌｓ ｆｏｒ Ｕｓｅ ｉｎ ａ Ｆｌｕｔｔｅｒ Ｄｅｓｉｇｎ Ｔｏｏｌ［ｃ］．４５ｔｈ 体元建模可以得到更为精确的结果，且使用Ｐ型体元可 Ａ Ａ／ＡＳＭＥ／ＡＳＣＥ／ＡＨｓ／ＡＳＣ Ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ．Ｓｔｕｒｃｔｕｒａｌ Ｄｙ— 以在保证计算精度的情况下减少计算开销。若对计算 ｎａｍｉｃｓ＆Ｍａｔｅｒｉａｌｓ Ｃｏｎｆｅｒ，Ｃａｌｉｆｏｒｎｉａ。２ＯＯ４． 精度要求较高，使用Ｐ型体元建模无疑是更好的选择。 （下转第７２页） ・７２・ 航空计算技术 第４Ｏ卷 第２期 ｐｏｓｉｕｍ ｏｎ Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，２００８． 参考文献： ［１］ Ｈｕｉｌｉｎｇ Ｓｈｉ，Ｊｕｎ Ｍａ，Ｆｅｎｇｙｉ Ｚｏｕ．Ａ Ｆｕｚｚｙ Ｃｏｍｐｒｅｈｅｎｓｉｖｅ Ｅ— ｖａｌｕａｔｉｏｎ Ｍｏｄｅｌ ｆｏｒ Ｓｏｆｔｗａｒｅ Ｄｅｐｅｎｄａｂｉ｜ｉｔｙ Ｂａｓｅｄ ｏｎ Ｅｎｔｒｏｐｙ Ｊｕａｎ Ｃｈｅｎ，Ｂｉｎ Ｌｕ．Ｒｅｓｅａｒｃｈ ｏｎ Ｆｕｚｚｙ Ｃｏｍｐｒｅｈｅｎｓｉｖｅ Ｅｖａｌｕ— ａｔｉｏｎ Ｍｏｄｅｌ ｏｆ Ｅ—Ｃｏｍｍｅｒｃｅ Ｅｎｔｅｒｐｒｉｓｅ Ｉｍａｇｅ Ｂａｓｅｄ ｏｎ Ｍｕｌｔｉ—Ｇｒａｎｕｌａｒ［Ａ］．Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓ ｏｆ ｔｈｅ ２００８ Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ Ｃｏｎｆｅｒｅｎｃｅ ｏｎ Ｍａｎａｇｅｍｅｎｔ ｏｆ ｅ—Ｃｏｍｍｅｒｃｅ ａｎｄ ｅ—Ｇｏｖｅｒｎ・・ ｍｅｎｔ，２００８． Ｗｅｉｇｈｔ［Ａ］．Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓ ｏｆ ｔｈｅ ２００８ Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ Ｃｏｎｆｅｒ— ｅｎｃｅ ｏｎ Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｓｏｆｔｗａｒｅ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，２００８． 陈水利，李敬功，王向公．模糊集理论及其应用［Ｍ］．北 京：科学出版社，２００５． “ｕ Ｘｕ—ｌｉｎ．Ｓｏｎｇ Ｂａｏ—ｗｅｉ．Ｔｈｒｅｅ Ｌｅｖｅｌ Ｆｕｚｚ），Ｃｏｍｐｒｅｈｅｎ・ ｓｉｖｅ Ｅｖａｌｕａｔｉｏｎ ｂａｓｅｄ ｏｎ Ｇｒｅｙ Ｒｅｌａｔｉｏｎａｌ Ａｎａｌｙｓｉｓ ａｎｄ Ｅｎｔｒｏ— Ｆｒａｎｋ Ｅ Ｂ Ｏｐｈｅｌｄｅｒｓ，Ｓａｍａｒｊｉｔ Ｃｈａｋｒａｂｏｒｔｙ，Ｈｅｎｋ Ｃｏｒｐｏｒａａｌ， Ｉｎｔｒａ．－ａｎｄ ｉｎｔｅｒ・－ｐｒｏｃｅｓｓｏｒ ｈｙｂｒｉｄ ｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅ ｍｏｄｅｌｉｎｇ ｆｏｒ ＭＰＳｏＣ ａｒｃｈｉｔｅｃｔｕｒｅｓ［Ａ］．Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓ ｏｆ ｔｈｅ ６ｔｈ ＩＥＥＥ／ ＡＣＭ／ＩＦＩＰ ｉｎｔｅ／Ｔｉｎｔｉｏｎａｌ ｃｏｎｆｅｒｅｎｃｅ ｏｎ Ｈａｒｄｗａｒｅ／Ｓｏｆｔｗａｒｅ ｃｏｄｅｓｉｇｎ ａｎｄ ｓｙｓｔｅｍ ｓｙｎｔｈｅｓｉｓ，２００８ ＰＹ Ｗｅｉｇｈｔｓ［Ａ］．Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓ ｏｆ ｔｈｅ ２００８ Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ Ｓｙｍ— Ｒｅｓｅａｒｃｈ ｏｎ ＧＰＵ Ｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅ Ｅｖａｌｕａｔｉｏｎ Ｂａｓｅｄ ｏｎ Ｆｕｚｚｙ Ｍｏｄｅｌ ＬＩＵ Ｊｉａ—ｄｏｎｇ，ＺＨＵ Ｙｉ—ａｎ （Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｃｏｍｐｕｔｅｒ，Ｎｏｒｔｈｗｅｓｔｅｒｎ Ｐｏｌｙｔｅｃｈｎｉｃａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｘｉ ａｎ ７１０１２９，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｇｅｎｅｒａｌｌｙ，ｔｈｅ ｔｒａｄｉｔｉｏｎａｌ ｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅ ｅｖａｌｕａｔｉｏｎ ｏｆ ＧＰＵ ｕｓｅｓ ｔｈｅ ｑｕａｌｉｔａｔｉｖｅ ａｐｐｒｏａｃｈ，ｉｔ ｉｓ ｄｉｆｉｃｕｌｔｆ ｔｏ ｇｉｖｅ ａ ｐｒｅｃｉｓｅ ｅｖａｌｕａｔｉｏｎ ｒｅｓｕｌｔ ｕｎｄｅｒ ｇｕａｒａｎｔｅｅｉｎｇ ｅｆｆｉｃｉｅｎｃｙ．Ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｓ ａｎ ａｃｃｕｒａｔｅ ｑｕａｎｔｉｔａｔｉｖｅ ｅｖａｌｕａｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ ａｉｍｉｎｇ ｔｏ ｐｒｏｖｉｄｅ ａ ｓｃｉｅｎｔｉｆｉｃ ｂａｓｉｓ ｉｎ ｔｈｅ ｐｒｏｃｅｓｓ ｏｆ ｅｖａｌｕａｔｉｎｇ ｔｈｅ ＧＰＵ ｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅ ｂｙ ａｐｐｌｙｉｎｇ ｔｈｅ ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｍｅｔｈｏｄｓ．Ｆｉｒｓｔ，ｉｔ ｉｓ ｃｒｕｃｉａｌ ｔｏ ｉｄｅｎｔｉｆｙ ｔｈｅ ｋｅｙ ｆａｃｔｏｒｓ ｐｕｔｔｉｎｇ ｉｍｐａｃｔ ｏｎ ｔｈｅ ＧＰＵ ｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅ．Ａｔ ｔｈｅ ｓａｍｅ ｔｉｍｅ，ａ ｔｈｅｏｒｅｔ— ｉｃ ｂａｓｉｓ ｉｓ ｐｒｏｖｉｄｅｄ ｆ０ｒ ｔｈｅ ＧＰＵ ｅｖａｌｕａｔｉｏｎ．Ｔｈｅｎ．ａ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ ｍｏｄｅｌ ｉｓ ｇｅｎｅｒａｔｅｄ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｆｕｚｚｙ ｃｏｍｐｒｅｈｅｎｓｉｖｅ ｅｖａｌ— ｕａｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ ｉｎ ｔｈｅ ｆｕｚｚｙ ｍａｔｈ．Ｆｉｎａｌｌｙ，ａ ｑｕａｎｔｉｔａｔｉｖｅ ｅｖａｌｕａｔｉｏｎ ｒｅｓｕｌｔ ｏｆ ＧＰＵ ｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅ ｃａｎ ｂｅ ａｃｑｕｉｒｅｄ ｂｙ ａｐｐｌｙｉｎｇ ｔｈｅ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ ｍｏｄｅ１．Ｍｅａｎｗｈｉｌｅ，ｉｔ ｈａｓ ｅｘｃｅｌｌｅｎｔ ｐｒａｃｔｉｃａｂｉｌｉｔｙ ａｎｄ ｒｅｌｉａｂｉｌｉｔｙ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ＧＰＵ；ｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅ ｅｖａｌｕａｔｉｏｎ；ｆｕｚｚｙ ｃｏｍｐｒｅｈｅｎｓｉｖｅ ｅｖａｌｕａｔｉｏｎ （上接第６８页） Ｓｔｕｄｙ ｏｎ Ｐ—Ｖｅｒｓｉｏｎ Ｆｉｎｉｔｅ Ｅｌｅｍｅｎｔ ｉｎ ｔｈｅ Ｕｓｅ ｏｆ Ｎｕｍｅｒｉｃａｌ Ｍｅｔｈｏｄｓ ｆｏｒ Ｎａｔｕｒａｌ Ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ ｏｆ Ｔｈｉｎ Ｗａｌｌｅｄ Ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ ＫＥ Ｌｉ，ＳＵＮ Ｑｉｎ （Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆＡｅｒｏｎａｕｔｉｃｓ，Ｎｏｒｔｈｗｅｓｔｅｒｎ Ｐｏｌｙｔｅｃｈｎｉｃａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｘｉ ａｎ ７１００７２，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｅｓｔｉｍａｔｅｓ Ｐ—ｖｅｒｓｉｏｎ ｅｌｅｍｅｎｔ ｓ ｉｎｆｅｃｔｉｏｎ ｔｏ ｔｈｅ ｒａｔｅ ｏｆ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ ｏｆ ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｍｅｔｈｏｄｓ ｆｏｒ ｎａｔｕｒａｌ ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ ｏｆ ｓｅｖｅｒａｌ ｔｙｐｉｃａｌ ｔｈｉｎ ｗａｌｌｅｄ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ，ａｎｄ ａｎａｌｙｓｅｓ ｔｈｅ ｅｆｆｅｃｔ ｏｆ ｓｈａｐｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｗｉｔｈ ｈｉｇｈ—ｏｒｄｅｒ，ＳＯ ａｓ ｔｏ ｓｈｏｗ ｔｈｅ ａｄｖａｎｔａｇｅｓ ｏｆ ｕｓｉｎｇ ｈｉｇｈ—ｏｒｄｅｒ ｂｒｉｃｋ Ｐ—ｖｅｒｓｉｏｎ ｅｌｅｍｅｎｔｓ ｔｏ ｍｏｄｅｌ ｔｈｉｎ ｗａｌｌｅｄ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｐ－ｖｅｒｓｉｏｎ ｅｌｅｍｅｎｔ；ｔｈｉｎ ｗａｌｌｅｄ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ；ｎａｔｕｒａｌ ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ；ｒａｔｅ ｏｆ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ
