一元一次不等式与一元一次不等式组典型例题

一、知识点回顾

1．不等式用不等号连接起来的式子叫做不等式．常见的不等号有五种： “≠”、 “>” 、 “<” 、 “≥”、 “≤”．

2．不等式的解与解集

不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解．

不等式的解集：一个含有未知数的不等式的解的全体，叫做不等式的解集．

不等式的解集可以在数轴上直观的表示出来，具体表示方法是先确定边界点。解集包含边界点，是实心圆点；不包含边界点，则是空心圆圈；再确定方向：大向右，小向左。

说明：不等式的解与一元一次方程的解是有区别的，不等式的解是不确定的，是一个范围，而一元一次方程的解则是一个具体的数值． 3．不等式的基本性质（重点）

(1)不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式．不等号的方向不变．如果ab，那么ac__bc

ab ___）

ccab （3)不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．如果ab,c0那么ac__bc（或___）

cc (2)不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．如果ab,c0，那么ac__bc（或

说明：常见不等式所表示的基本语言与含义还有：

①若a－b＞0，则a大于b ；②若a－b＜0，则a小于b ；③若a－b≥0，则a不小于b ；④若a－b≤0，则a不大于b ；⑤若ab＞0或

aa0，则a、b同号；⑥若ab＜0或0，则a、b异号。 bb任意两个实数a、b的大小关系：①a-b>Oa>b；②a-b=Oa=b；③a-b只含有一个未知数，且未知数的次数是1．系数不等于0的不等式叫做一元一次不等式． 注：其标准形式：ax+b＜0或ax+b≤0，ax+b＞0或ax+b≥0(a≠0)． 5．解一元一次不等式的一般步骤（重难点）

(1)去分母；(2)去括号；(3)移项； (4)合并同类项；(5)化系数为1．

x13x1例：解不等式：1

236．一元一次不等式组

含有相同未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组．

说明：判断一个不等式组是一元一次不等式组需满足两个条件：①组成不等式组的每一个不等式必须是一元一

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次不等式，且未知数相同；②不等式组中不等式的个数至少是2个，也就是说，可以是2个、3个、4个或更多． 7．一元一次不等式组的解集

一元一次不等式组中，几个不等式解集的公共部分．叫做这个一元一次不等式组的解集．

一元一次不等式组的解集通常利用数轴来确定．

8. 不等式组解集的确定方法，可以归纳为以下四种类型（设a>b）（重难点） 不等式组 图示 解集 xa xbxa xbxa xbxa xbxa（同大取大） ba xb（同小取小） ba bxa（大小交叉ba 取中间） 无解（大小分离解为ba 空） 9．解一元一次不等式组的步骤

(1)分别求出不等式组中各个不等式的解集； (2)利用数轴求出这些解集的公共部分，即这个不等式组的解集． （三）常见题型归纳和经典例题讲解 类型一：不等式性质 1.若A．

B．

，则

的大小关系为（ ） C．

D．不能确定

2.若xy，则下列式子错误的是（ ） A．x3y3 类型二：比较大小

1.若0x1则x，，x的大小关系是（ ） ，A．

B．3x3y

C．x3y2

D．

xy 331x21111xx2 B．xx2 C．x2x D．x2x xxxx，的大小关系正确的是（ ）

2.实数在数轴上对应的点如图所示，则，

1.

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B． C． D．

类型三：解一元一次不等式 1.不等式

2.解不等式：2（x＋

的解集为 ． ）－1≤－x＋9

类型四：不等式中字母的取值范围

1.关于x的方程kx12x的解为正实数，则k的取值范围是 2.已知ab2．（1）若3≤b≤1，则a的取值范围是____________． （2）若b0，且ab5，则ab____________．

3.关于x的不等式2x－a≤－1的解集如图2所示，则a的取值是（ ）。

A、0 B、－3 C、－2 D、－1

类型五：解一元一次不等式组

-2 -1(图2)

0 1 22x3(x2)≥4，1.不等式组12x的解集是 ．

x1.33x2x2，2.解不等式组：13

x1≤7x.22类型六：解一元一次不等式组及解集在数轴上的表示 1.不等式组

A．

B． C．

D．

－2 －1 0 1 2 3 －2 －1 0 1 2 3 －2 －1 0 1 2 3 －2 －1 0 1 2 3 2x20的解集在数轴上表示为（ ）

x≥12x132.不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）

3x5≤1

0

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0 1 A．

2 0 1 B．

2

1 C．

2

0 1 D．

2

类型七：不等式组的整数解

2x752x1.不等式组3x的整数解是

x12 ．

2x662x2.不等式组3x的整数解是（

2x12A．1，2

B．1，2，3

）

1C．x3

3D．0，1，2

3.解不等式组并写出该不等式组的最大整数解.

4.解不等式组

并求出所有整数解的和．

类型八：已知不等式组的整数解，求字母的取值范围 1.已知关于x的不等式组xa≥0，只有四个整数解，则实数a的取值范围是 ．

52x1有实数解，则实数

的取值范围是（ ）

2.若不等式组

A． B． C． D．

3.若不等式组的解集为，则a的取值范围为（ ）

A． a＞0 B． a＝0 C． a＞4 D． a＝4

x34.如果一元一次不等式组的解集为x3．则a的取值范围是( )

xaA．a3 B．a≥3 C．a≤3 D．a3

类型九：利用不等式组的解集求值

xa≥21.如果不等式组2的解集是0≤x1，那么ab的值为 ．

2xb3 4 / 7

2.若不等式组xa22009 ． 的解集是1x1，则(ab)b2x0，

的整数解是关于x的方程

20083.若不等式组 4.已知不等式组

的根，求a的值

的解集为－1＜x＜2，则(m＋n)＝_______________．

类型十：不等式应用题1：一般不等式应用题 分配问题：

1.把若干颗花生分给若干只猴子。如果每只猴子分3颗，就剩下8颗；如果每只猴子分5颗，那么最后一只猴子虽分到了花生，但不足5颗。问猴子有多少只，花生有多少颗？

二 速度、时间问题

1 爆破施工时，导火索燃烧的速度是0.8cm/s，人跑开的速度是5m/s，为了使点火的战士在施工时能跑到100m以外的安全地区，导火索至少需要多长？

三 工程问题

1 .一个工程队规定要在6天内完成300土方的工程，第一天完成了60土方，现在要比原计划至少提前两天完成，则以后平均每天至少要比原计划多完成多少方土？

四 价格问题

1 商场购进某种商品m件，每件按进价加价30元售出全部商品的65%，然后再降价10%，这样每件仍可获利18元，又售出全部商品的25%。

(1)试求该商品的进价和第一次的售价；

(2)为了确保这批商品总的利润率不低于25%，剩余商品的售价应不低于多少元？ 五 其他问题

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1.有一个两位数，其十位上的数比个位上的数小2，已知这个两位数大于20且小于40，求这个两位数

2.一次知识竞赛共有15道题。竞赛规则是：答对1题记8分，答错1题扣4分，不答记0分。结果神箭队有2道题没答，飞艇队答了所有的题，两队的成绩都超过了90分，两队分别至少答对了几道题？

六 方案选择与设计

1．某厂有甲、乙两种原料配制成某种饮料，已知这两种原料的维生素C含量及购买这两种原料的价格如下表：

原料 甲种原料 维生素C及价格 维生素C/（单位/千克） 原料价格/（元/千克） 600 8 100 4 乙种原料 现配制这种饮料10千克，要求至少含有4200单位的维生素C，并要求购买甲、乙两种原料的费用不超过72元， （1）设需用x千克甲种原料，写出x应满足的不等式组。 （2）按上述的条件购买甲种原料应在什么范围之内？

2.红星公司要招聘A、B两个工种的工人150人，A、B工种的工人的月工资分别为600和1000元，现要求B工种的人数不少于A工种人数的2倍，那么招聘A工种工人多少时，可使每月所付的工资最少？此时每月工资为多少元？

3.某工厂接受一项生产任务，需要用10米长的铁条作原料。现在需要截取3米长的铁条81根，4米长的铁条32根，请你帮助设计一下怎样安排截料方案，才能使用掉的10米长的铁条最少？最少需几根？

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4.某校办厂生产了一批新产品，现有两种销售方案，方案一：在这学期开学时售出该批产品，可获利30000元，然后将该批产品的投入资金和已获利30000元进行再投资，到这学期结束时再投资又可获利4.8％;方案二:在这学期结结束时售出该批产品,可获利35940元,但要付投入资金的0.2％作保管费，问： （1）当该批产品投入资金是多少元时，方案一和方案二的获利是一样的？ （2）按所需投入资金的多少讨论方案一和方案二哪个获利多。

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