九年级上册 专题01 二次函数及其图象(知识点串讲)(教师版含解析)

专题01 二次函数及其图象

知识网络

重难突破

知识点一 二次函数的概念

1.形如yaxbxc(其中a,b,c是常数，a0)的函数叫做二次函数，称a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项.

注意：二次项系数a0，而b，c可以为零．二次函数的自变量的取值范围是全体实数． 2.二次函数yax2bxc的结构特征：

⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2． ⑵ a，b，c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．

【典例1】(2019春•西湖区校级月考)下列函数中，二次函数是( ) A．y＝﹣4x+5

B．y＝x(2x﹣3)

C．y＝ax2+bx+c

D．

2【点拨】根据二次函数的定义判断即可．

【解析】解：y＝﹣4x+5是一次函数，故选项A不合题意； y＝x(2x﹣3)是二次函数，故选项B符合题意；

当a＝0时，y＝ax2+bx+c不是二次函数，故选项C不合题意；

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不是二次函数，故选项D不合题意． 故选：B．

【点睛】本题主要考查的是二次函数的定义，熟练掌握二次函数的概念是解题的关键． 【变式训练】

1．(2018秋•嘉兴期末)下列函数中，属于二次函数的是( ) A．y＝2x﹣1

B．y＝x2+

C．y＝x2(x+3)

D．y＝x(x+1)

【点拨】根据二次函数的定义选择正确的选项即可．

【解析】解：A、y＝2x﹣1是一次函数，不是二次函数，故本选项错误； B、y＝x2+的右边是分式，不是二次函数，故本选项错误；

C、y＝x2(x+3)中自变量x的最高指数是3，不是二次函数，故本选项错误； D、y＝x(x+1)符合二次函数的定义，故本选项正确； 故选：D．

【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握一般地，形如y＝ax2+bx+c(a、b、c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数．

2．(2017秋•萧山区期中)若y关于x的二次函数的解析式为y＝(m﹣2)x|m|+mx，则m＝ ﹣2 ． 【点拨】直接利用二次函数的定义分析得出答案．

【解析】解：∵y关于x的二次函数的解析式为y＝(m﹣2)x|m|+mx， ∴|m|＝2，且m﹣2≠0， 解得：m＝﹣2． 故答案为：﹣2．

【点睛】此题主要考查了二次函数的定义，注意二次项系数不为零是解题关键．

知识点二 二次函数的图象

1.二次函数yax(a0)的图象是一条抛物线，它关于y轴对称，顶点是坐标原点.当a0时，抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点；当a0时，抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点.

2. 二次函数yaxm(a0)的图象的顶点坐标是 (m，0) ，对称轴是直线xm.图象的开口方向：

22当a0时，开口向上；当a0时，抛物线开口向下.

2

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3. 二次函数yaxmk(a0)的图象的顶点坐标是 (m，k) ，对称轴是直线xm.图象的开口方

2向：当a0时，开口向上；当a0时，抛物线开口向下.

4. 二次函数yaxbxc(a0)的图象是一条抛物线，它de 对称轴是直线x2b，顶点坐标是 2ab4acb2, ，当a0时，抛物线开口向上，顶点是抛物线上的最低点；当a0时，抛物线开口

4a2a向下，顶点是抛物线上的最高点.

【典例2】(2018秋•上虞区校级月考)二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图，则下列结论正确的是( )

A．b＞0，c＞0，a＞0 C．b＞0，c＜0，a＜0

B．b＜0，c＜0，a＞0 D．b＜0，c＜0，a＜0

【点拨】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴的位置情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【解析】解：∵抛物线的开口向下， ∴a＜0，

∵抛物线与y轴的交点为在y轴的负半轴上， ∴c＜0； ∵对称轴为x＝﹣∴a、b异号， 又∵a＜0， ∴b＞0， 故选：C．

【点睛】考查二次函数y＝ax2+bx+c系数符号的确定．

＞0，

【变式训练】

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1．(2018秋•萧山区期末)已知函数y＝﹣x2+bx+c，其中b＞0，c＜0，此函数的图象可以是( )

A． B．

C． D．

【点拨】根据已知条件“a＜0、b＞0、c＜0”判断出该函数图象的开口方向、与x和y轴的交点、对称轴所在的位置，然后据此来判断它的图象． 【解析】解：∵a＝﹣1＜0，b＞0，c＜0， ∴该函数图象的开口向下，对称轴是x＝﹣故选：D．

【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系．根据二次函数y＝ax2+bx+c系数符号判断抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数．

2．(2018秋•三门县期中)直线y＝ax+b与抛物线y＝ax2+bx+c在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )

＞0，与y轴的交点在y轴的负半轴上；

A． B．

C． D．

【点拨】逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口以及对称轴与y轴的关系即可得出a、b的正负，由此即可得出一次函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论． 【解析】解：A、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧， ∴a＜0，b＜0，

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∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，A错误； B、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧， ∴a＞0，b＜0，

∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，B错误； C、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧， ∴a＜0，b＜0，

∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，C正确； D、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧， ∴a＜0，b＜0，

∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，D错误． 故选：C．

【点睛】本题考查了二次函数的图象以及一次函数图象与系数的关系，根据a、b的正负确定一次函数图象经过的象限是解题的关键．

知识点三 二次函数的图象与系数的关系

二次函数yaxbxc(a0)的系数与图象的关系

(1)a的符号由抛物线yaxbxc的开口方向决定：开口向上a0 ，开口向上a0； (2)b的符号由抛物线yaxbxc的对称轴的位置及a的符号共同决定：对称轴在y轴左侧a,b同号，对称轴在y轴右侧a,b异号；

(3)c的符号由抛物线yaxbxc与y轴的交点的位置决定：与y轴正半轴相交c0，与y轴正半轴相交c0

【典例3】(2019•永康市模拟)已知二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，有下列4个结论 ①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③a﹣b+c＜0；④2a+b＜0；其中正确的结论有( )

2222

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A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

【点拨】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．

【解析】解：①图象开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴在y轴右侧，能得到：a＜0，c＞0，﹣0，b＞0，则abc＜0，故错误．

②图象与x轴有2个交点，依据根的判别式可知b2﹣4ac＞0，故正确． ③如图所示，当x＝﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0，故正确． ④对称轴x＝﹣

＜1，又a＜0，则2a+b＜0，故正确．

＞

综上所述，正确的结论有3个． 故选：C．

【点睛】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．

【变式训练】(2019•宁波二模)已知二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点(﹣2，0)，(x1，0)，且1

＜x1＜2，与y轴的正半轴的交点在(0，2)的下方，下列结论：

①a＜b＜c；②2a+c＞0；③4a+c＜0；④2a﹣b+1＞0． 其中正确结论的个数为( ) A．1

B．2

C．3

D．4

【点拨】采用形数结合的方法解题，根据抛物线的开口方向，对称轴的位置判断a、b、c的符号，把两根关系与抛物线与x的交点情况结合起来分析问题． 【解析】解：

①因为图象与x轴两交点为(﹣2，0)，(x1，0)，且1＜x1＜2， 对称轴x＝则对称轴﹣＜﹣

＝﹣

，

＜0，且a＜0，

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∴a＜b＜0，

由抛物线与y轴的正半轴的交点在(0，2)的下方，得c＞0，即a＜b＜c，故①正确； ②设x2＝﹣2，则x1x2＝，而1＜x1＜2， ∴﹣4＜x1x2＜﹣2， ∴﹣4＜＜﹣2，

∴2a+c＞0，4a+c＜0，故②③正确；

④由抛物线过(﹣2，0)，则4a﹣2b+c＝0，而c＜2，则4a﹣2b+2＞0，即2a﹣b+1＞0，故④正确． 综上可知正确的有4个， 故选：D．

【点睛】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与X轴的交点，二次函数与系数的关系等知识点的理解和掌握，能根据图象确定与系数有关的式子的符号是解题的关键．

知识点五 二次函数的图象与几何变换

1.二次函数的平移 (1) 平移步骤：

k； ① 将抛物线解析式转化成顶点式yaxhk，确定其顶点坐标h，k处，具体平移方法如下： ② 保持抛物线yax2的形状不变，将其顶点平移到h，向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位2y=ax2y=ax2+k向右(h>0)【或左(h<0)】平移|k|个单位向右(h>0)【或左(h<0)】平移 |k|个单位向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位向右(h>0)【或左(h<0)】平移|k|个单位y=a(x-h)2向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位y=a(x-h)2+k

(2) 平移规律

在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”．

概括成八个字“左加右减，上加下减”．

2.二次函数图象的对称 (1)关于x轴对称

yax2bxc关于x轴对称后，得到的解析式是yax2bxc；

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yaxhk关于x轴对称后，得到的解析式是yaxhk；

22(2)关于y轴对称

yax2bxc关于y轴对称后，得到的解析式是yax2bxc；

yaxhk关于y轴对称后，得到的解析式是yaxhk；

22(3)关于原点对称

yax2bxc关于原点对称后，得到的解析式是yax2bxc； yaxhk关于原点对称后，得到的解析式是yaxhk； 4. 关于顶点对称

22b2 yaxbxc关于顶点对称后，得到的解析式是yaxbxc；

2a22yaxhk关于顶点对称后，得到的解析式是yaxhk．

22 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线(或表达式已知的抛物线)的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．

【典例4】(2019秋•柯桥区期中)把抛物线y＝x2+4先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，所得的抛物线表达式为( ) A．y＝(x+1)2+7

B．y＝(x﹣1)2+7

C．y＝(x﹣1)2+1

D．y＝(x+1)2+1

【点拨】原抛物线的顶点坐标为(0，2)，根据平移规律得平移后抛物线顶点坐标为(﹣1，1)，根据抛物线的顶点式求解析式．

【解析】解：抛物线y＝x2+4的顶点坐标为(0，4)，

向左平移1个单位，再向下平移3个单位顶点坐标为(﹣1，1)， ∴平移后抛物线解析式为y＝(x+1)2+1 故选：D．

【点睛】本题考查了抛物线的平移与抛物线解析式的联系．关键是把抛物线的平移转化为顶点的平移，利用顶点式求解析式．

【典例5】(2019•温岭市一模)将抛物线y＝x2﹣2x﹣3沿x轴折得到的新抛物线的解析式为( )

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A．y＝﹣x2+2x+3

B．y＝﹣x2﹣2x﹣3

C．y＝x2+2x﹣3

D．y＝x2﹣2x+3

【点拨】抛物线线上的点沿x轴折得到的新抛物线的坐标与原坐标的横坐标相同，纵坐标互为相反数． 【解析】解：将抛物线y＝x2﹣2x﹣3沿x轴折得到的新抛物线的解析式为：﹣y＝x2﹣2x﹣3，即y＝﹣x2+2x+3． 故选：A．

【点睛】考查了二次函数图象与几何变换，将抛物线y＝x2﹣2x﹣3沿x轴折得到的新抛物线的开口方向与原抛物线的开口方向相反．

【变式训练】

1．(2019秋•瑞安市期中)将抛物线y＝3x2先向左平移一个单位，再向上平移两个单位，两次平移后得到的抛物线解析式为( ) A．y＝3(x+1)2+2 C．y＝3(x﹣1)2+2

B．y＝3(x+1)2﹣2 D．y＝3(x﹣1)2﹣2

【点拨】按照“左加右减，上加下减”的规律，进而得出平移后抛物线的解析式即可．

【解析】解：抛物线y＝3x2先向左平移一个单位得到解析式：y＝3(x+1)2，再向上平移2个单位得到抛物线的解析式为：y＝3(x+1)2+2． 故选：A．

【点睛】此题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减． 2．(2019秋•台州期中)将抛物线y＝x2﹣6x绕原点旋转180度，则旋转后的抛物线解析式为( ) A．y＝(x﹣3)2+9 C．y＝﹣(x+3)2+9

B．y＝(x+3)2+9 D．y＝﹣(x﹣3)2+9

【点拨】当抛物线y＝x2﹣6x＝(x﹣3)2﹣9绕原点旋转180°后抛物线的顶点坐标为(﹣3，9)，并且开口方向相反，于是根据顶点式写出旋转后的抛物线解析式．

【解析】解：抛物线y＝x2﹣6x＝(x﹣3)2﹣9的顶点坐标为(3，﹣9)，

由于抛物线y＝x2﹣6x绕原点旋转180度后抛物线的顶点坐标为(﹣3，9)，并且开口方向相反， 则所得抛物线解析式为y＝﹣(x+3)2+9． 故选：C．

【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．

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3．(2019春•西湖区校级月考)抛物线y＝3x2可由下列哪一条抛物线向左平移1个单位，再向上平移2个单位所得( ) A．y＝3(x﹣1)2﹣2 C．y＝3(x+1)2+2

B．y＝3(x+1)2﹣2 D．y＝3(x﹣1)2+2

【点拨】根据二次函数图象的平移规律(左加右减，上加下减)求得抛物线y＝3x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位所得的解析式即可解答．

【解析】解：抛物线y＝3x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位y＝3(x﹣1)2﹣2． 故选：A．

【点睛】本题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．

知识点四 二次函数的图象上点的特征

【典例5】(2019秋•柯桥区期中)点(﹣2，y1)(﹣3，y2)是抛物线y＝﹣(x+1)2+m上的点，则y1，y2的大小关系为( ) A．y1＞y2

B．y1＜y2

C．y1＝y2

D．无法确定

【点拨】先根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，然后根据二次函数的性质得到y1、y2的大小关系．

【解析】解：∵二次函数的解析式为y＝﹣(x+1)2+m， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝﹣1， ∴当x＜﹣1时，y随x的增大而增大， ∵﹣1＞﹣2＞﹣3， ∴y1＞y2． 故选：A．

【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．

【变式训练】

1．(2019秋•鹿城区校级月考)二次函数y＝x2﹣x﹣12与y轴的交点坐标为( ) A．(﹣3，0)

B．(6，0)

C．(0，﹣12)

D．(2，16)

【点拨】根据图象与y轴相交的特点可求出坐标．

【解析】解：由图象与y轴相交则x＝0，代入得：y＝﹣12， ∴与y轴交点坐标是(0，﹣12)； 故选：C．

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【点睛】考查了二次函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标适合解析式．

2．(2019•婺城区一模)当x＝a和x＝b(a≠b)时，二次函数y＝2x2﹣2x+3的函数值相等、当x＝a+b时，函数y＝2x2﹣2x+3的值是( ) A．0

B．﹣2

C．1

D．3

【点拨】先找出二次函数y＝2x2﹣2x+3的对称轴为直线x＝，求得a+b＝1，再把x＝1代入y＝2x2﹣2x+3即可．

【解析】解：∵当x＝a或x＝b(a≠b)时，二次函数y＝2x2﹣2x+3的函数值相等， ∴以a、b为横坐标的点关于直线x＝对称，则∴a+b＝1， ∵x＝a+b， ∴x＝1，

当x＝1时，y＝2x2﹣2x+3＝2﹣2+3＝3， 故选：D．

【点睛】题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的对称性和对称轴公式，是基础题，熟记性质和得出a+b＝2是解题的关键．

3．(2019秋•瑞安市期中)若抛物线y＝ax2(a≠0)过点(﹣1，4)，则a的值是( ) A．4

B．﹣4

C．2

D．﹣2

＝，

【点拨】把(﹣1，4)代入y＝ax2(a≠0)，即可求a的值． 【解析】解：把(﹣1，4)代入y＝ax2(a≠0)中， 4＝a•(﹣1)2 ∴a＝4． 故选：A．

【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，准确求值是解题的关键．

4．(2019秋•台州期中)在抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a上有A(﹣0.5，y1)、B(2，y2)和C(3，y3)三点，若抛物线与y轴的交点在正半轴上，则y1、y2和y3的大小关系为( ) A．y1＞y2＞y3

B．y2＞y1＞y3

C．y3＞y1＞y2

D．y2＞y3＞y1

【点拨】先求出a＜0和对称轴是直线x＝1，根据二次函数的性质得出当x＞1时，y随x的增大而减小，再根据点的坐标和二次函数的性质比较即可．

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【解析】解：∵抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a与y轴的交点在正半轴上， ∴﹣3a＞0， ∴a＜0，

即抛物线的开口向下，

∵抛物线的解析式是y＝ax2﹣2ax﹣3a， ∴对称轴是直线x＝﹣

＝1，

∴当x＞1时，y随x的增大而减小，

∴点A(﹣0.5，y1)关于直线x＝1的对称点的坐标是(2.5，y1) ∵图象过点(2.5，y1)、B(2，y2)和C(3，y3)， 又∵2＜2.5＜3， ∴y2＞y1＞y3， 故选：B．

【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的图象函数性质，能熟记二次函数的性质是解此题的关键．

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