精选教课教课设计设计 | Excellent teaching plan
教师学科教课设计
[ 20 –20 学年度 第__学期 ]
任教课科： _____________ 任教年级： _____________
任教老师： _____________
xx 市实验学校
育人如同春风化雨，授业不惜蜡炬成灰
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基本不等式（第一课时）
一、教课目的
1．经过两个研究实例，指引学生从几何图形中获取两个基本不等式，认识基本不等式
的几何背景，领会数形联合的思想；
2．进一步提炼、完美基本不等式，并从代数角度给出不等式的证明，组织学生剖析证
明方法，加深对基本不等式的认识，提高逻辑推理论证能力；
3．联合课本的研究图形，指引学生进一步研究基本不等式的几何解说，增强数形联合
的思想；
4．借助例 1 试试用基本不等式解决简单的最值问题，经过例
运用基本不等式
2 及其变式指引学生领悟
ab
a b 的三个条件（一正二定三相等）在解决最值中的作用，提
2
升解决问题的能力，领会方法与策略．
以上教课目的联合了教课实质，
将知识与能力、 过程与方法、 感情态度价值观的三维目
标融入各个教课环节．
二、教课要点和难点
要点：应用数形联合的思想理解基本不等式，
并从不一样角度研究不等式 ab
ab
的
2
证明过程；
难点： 在几何背景下抽象出基本不等式，并理解基本不等式．
三、教课过程：
1．着手操作，几何引入
如图是 2002 年在北京召开的第
24 届国际数学家大会会标，会标
是依据我国古代数学家赵爽的“弦图”设计的，该图给出了迄今为止对勾股定理最早、最简短的证明，表现了以形证数、形数一致、代数和几何是密切联合、互不行分的．
研究一 ：在这张“弦图”中能找出一些相等关系和不等关系吗？
在正方形 ABCD 中有 4 个全等的直角三角
形．设直角三角形两条直角边长为
a, b ，
那么正方形的边长为
a 2 b 2 ．于是，
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4 个直角三角形的面积之和
S1 2ab ，
正方形的面积 S2 a 2 b 2 ． 由图可知 S2
S1 ，即 a2 b2
2ab ．
研究二： 先将两张正方形纸片沿它们的对角线折成两个等腰直角
三角形，再用这两个三角形拼接结构出一个矩形（两边分别等于两个
直角三角形的直角边，剩余部分折叠）．假定两个正方形的面积分别
为 a 和 b （ a b ），观察两个直角三角形的面积与矩形的面积，你能发现一个不等式吗？
经过学生着手操作，研究发现：
ab
a b
2
2．代数证明，得出结论
依据上述两个几何背景，初步形成不等式结论： 若 a,b R ，则 a 2 b2
2ab ．
若 a,b
R ，则 ab
a
b ．
2
学生商讨等号取到状况， 教师演示几何画板， 经过展现图形动画， 关系中的相等条件，进而进一步完美不等式结论：
（ 1）若 a, b R ，则 a2
b 2 2 ab ；（ 2）若 a, b R ，则 ab
请同学们用代数方法给出这两个不等式的证明． 证法一（作差法）：
a2
b 2 2ab ( a b)2 0
a 2 b2
2 ab ，当 a b 时取等号．
（在该过程中，可发现 a, b 的取值能够是全体实数）
证法二（剖析法）：因为
a, b R ，于是
要证明
a
b
ab ，
2
只需证明 a b 2 ab ，
即证a
b
2 ab 0 ，
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b
a
使学生直观感觉不等
a b
2
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即 ( a
b )2
0 ，该式明显建立，因此
a b 2
ab ，当 a
b 时取等号．
得出结论，展现课题内容 基本不等式 : 若 a,b
R ，则 R ，则 a 2
ab
a b
2
（当且仅当 a b 时，等号建立）
若 a,b
b 2
2ab （当且仅当 a
b 时，等号建立）
深入认识：
称 ab 为 a, b 的几何均匀数；称
a b
2
为 a, b 的算术均匀数
基本不等式
ab
a
b
又可表达为：
2
两个正数的几何均匀数不大于它们的算术均匀数 3．几何证明，相见益彰
研究三： 如图， AB 是圆 O 的直径，点 C 是 AB 上一点， AC
a ， BC b ．过点 C 作
垂直于 AB 的弦 DE ，连结 AD, BD ．
D
依据射影定理可得：
CD AC BC 斜边 OD，
ab
A
因为 Rt 于是有
B
COD 中直角边 CD
ab
a b 2
O C
E
当且仅当点 C 与圆心 O 重合时，即 a 故而再次证明：
当 a 0, b 0 时， ab
b 时等号建立．
a b
2
（当且仅当 a
b 时，等号建立）
（进一步增强数形联合的意识，提高思想的灵巧性） 4．应用举例，稳固提高
例 1. （ 1）用篱笆围一个面积为 100 平方米的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？
（2）一段长为 36 米的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、
宽为多少时，菜
园的面积最大，最大面积是多少？
（经过例 1 的解说，总结概括利用基本不等式求最值问题的特点
, 实现积与和的转变）
关于 x, y
R ，
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（ 1）若 xy
p （定值），则当且仅当 a b 时， x y 有最小值 2 p ；
（ 2）若 x y s （定值），则当且仅当 a b 时， xy 有最大值
s
2
． 4
还锻炼了他们的思想，
（鼓舞学生自己研究推导， 不只可使他们加深基本不等式的理解，
培育了勇于研究的精神．）
例 2. 求 y x
1
( x 0) 的值域．
x
变式 1. 若 x
2 ，求 x
1 的最小值． x 2
利用几何画板展现
在运用基本不等式解题的基础上，
y
x
1 ( x 0) 的函数图象， 使学
x
生再次感觉数形联合的数学思想．
并经过例 2 及其变式指引学生领悟运用基本不等式
ab
a
b 2
的三个条件（一正
二定三相等）在解决最值问题中的作用，提高解决问题的能力，领会方法与策略．
练一练（自主练习）：
1. 已知 x
0, y 0 ，且 2
x R ，且 x y
8 1 ，求 xy 的最小值． y
2. 设 x, y
2 ，求 3 x 3 y 的最小值．
5．概括小结，反省提高
2基本不等式：若 a, b R ，则 a
b 2 2ab （当且仅当 a ab
b 时，等号建立） b 时，等号建立）
若 a, b R ，则
a b
2
（当且仅当 a
（ 1）基本不等式的几何解说（数形联合思想）；
（ 2）运用基本不等式解决简单最值问题的基本方
法．媒体展现，浸透思想： 若将算术均匀数记为 z
1
x y2
，几何均匀数记为 z2xy
利用电脑 3D 技术，在空间坐标系中向学生展现基本不等式的几何背景：
平面 z
1
x y
2
在曲面 z2
xy 的上方
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6．部署作业，课后延拓
（ 1）基本作业：课本 P100 习题 A 组 1、 2 题
（ 2）拓展作业：请同学们课外到阅览室或网上查找基本不等式的其余几何解说，整理并互相沟通．
（ 3）研究作业：
现有一台天平， 两臂长不相等， 其余均精准， 有人说要用它称物体的重量，
只需将物体
放在左右托盘各称一次， 则两次所称重量的和的一半就是物体的真切重量．
这类说法对吗？
并说明你的结论．
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