重点讲解
(三角形梯形中位线)
知识归纳 知识结构 重难点分析 解题思想 释疑解难 学法建议
知识归纳
1．三角形的中位线
定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半．
作用：从位置关系看，可以证两直线平行；从数量关系看，可以证线段的相等或倍分． 2．梯形的中位线
定义：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线． 定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．
作用：可以证明两直线平行；可以证明一条线段是另两条线段的和． 3．梯形的面积等于中位线与高的积．．
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知识结构
本节首先给出了中位线的概念，在中位线概念的基础上又给出三角形的中位线和梯形中位线两个概念，并对中位线的性质进行证明（运用同一法证明三角形中位线性质和添加辅助线转化成三角形中位线问题证明梯形中位线性质）以及应用．
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重难点分析
本节的重点是中位线定理.三角形中位线定理和梯形中位线定理不但给出了三角形或梯形中线段的位置关系，而且给出了线段的数量关系，为平面几何中证明线段平行和线段相等提供了新的思路.
本节的难点是中位线定理的证明.中位线定理的证明教材中采用了同一法，同一法学生初次接触，思维上不容易理解，而其他证明方法都需要添加2条或2条以上的辅助线，添加的目的性和必要性，同以前遇到的情况对比有一定的难度.
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解题思想
1．注意区别三角形中位线与中线，避免概念混淆. 2．学会构造全等三角形证明三角形和梯形的中位线定理.
3．灵活运用三角形中位线定理和梯形中位线定理证明求解几何问题.
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释疑解难
1． 三角形中位线定理的证明方法的关键
三角形中位线定理的证明方法关键在于添加辅助线．其证明方法很多，除教科书上的方法以外，还可用下面的方法来证明：
①如图所示，延长中位线DE至F，使 ，连结CF，则 ，有AD
FC，所以FC BD，则四边形BCFD是平行四边形，DF BC，因为 ，所以
DE
．
②如图所示，延长DE至F，使
，连结CF、DC、AF，则四边形ADCF为平行四边
形，有AD CF，所以FC BD，那么四边形BCFD为平行四边形，DF BC，因为 ，
所以DE
．
③如图所示，过C作
交DE的延长线于F，则
，有FC AD，
那么FC BD，则四边形BCFD为平行四边形，DF BC，因为 ，所以DE
．
2．怎样认识梯形中位线
梯形中位线是连结两腰中点的线段，而不是连结两底的线段．梯形中位线定理的证明，关键是如何添加辅助线，把梯形中位线转化为三角形的中位线．
3．怎样理解中位线定理
三角形中位线定理和梯形中位线定理都有一个特点：在同一个题设下，有两个结论，一个结论表明位置关系的，另一个结论是表明数量关系的，在应用这两个定理时，不一定同时需要两个结论．
4．怎样认识平行线等分线段定理与中位线定理的关系
在学习了梯形、三角形中位线概念之后，可以把平行线等分线段定理的两个结论分别看成是梯形、三角形中位线的判定定理．
5．怎样计算不规则的多边形面积
对于不规则的多边形面积计算问题，我们可以采取作适当的辅助线把它们分割成三角形、平行四边形或梯形，然后利用这些较熟悉的面积公式来计算任意多边形的面积．
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学法建议
1．学习中要注意概念间的区别．
（1）三角形的中位线与三角形的中线是两条不同的线段，一条是两边中点的连线段，一条是一个顶点与对边中点间的线段．
（2）梯形的中位线与梯形两底中点的连线段不是同一概念． 2．在学习中要注意定理间的联系．
（1）平行线等分线段定理的两个推论，可分别看成是梯形、三角形中位线的判定定理； （2）当梯形上底长为零时，梯形的中位线定理就与三角形中位线定理一致，因此三角形中
位线定理可以看成是梯形中位线定理的特例.
3．在学习中要注意三角形中位线定理的其余几种证法和梯形中位线定理的证法，从中学习三角形、梯形的转化思想，积累作辅助线的经验 ．
