浙江省宁波市2019年中考数学试卷
一、选择题（每小题4分，共48分）
1.-2的绝对值为（ ） A.
B. 2 C.
D. -2
【答案】 B
2.下列计算正确的是（ ） A.
B.
C.
D.
【答案】 D
【解析】【解答】解：A、∵a²和 a³不是同类项，∴不能加减，故此答案错误,不符合题意； B、 ∵ C、 ∵ D、 ∵ 故答案为：D
3.宁波是世界银行在亚洲地区选择的第一个开展垃圾分类试点项目的城市，项目总投资 1526000000元人民币数1526000000用科学记数法表示为（ ） A.
【答案】 C 【解析】【解答】解： 故答案为：C 4.若分式
有意义，则x的取值范围是（ ）
。
B.
C.
D.
，∴此答案错误，不符合题意； ，∴此答案错误，不符合题意； ，∴此答案正确，符合题意。
A. x>2 B. x≠2 C. x≠0 D. x≠-2 【答案】 B
【解析】【解答】解：由题意得：x-2≠0，解得：x≠2. 故答案为：B 5.如图，下列关于物体的主视图画法正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】 C
【解析】【解答】解：主视图是从正面看这个几何体得到的正投影，空心圆柱从正面看是一个长方形，加两条虚竖线。 故答案为：C。 6.不等式 A.
的解为（ ）
C.
D.
B.
【答案】 A
【解析】【解答】解：去分母得：3-x﹥2x，移项得：-x-2x﹥-3，合并同类项得：-3x﹥-3，系数化为1得：x﹤1. 故答案为：A
7.能说明命题“关于x的方程x2-4x+m=0一定有实数根”是假命题的反例为（ ） A. m=-1 B. m=0 C. m=4 D. m=5 【答案】 D
【解析】【解答】解：∵b²-4ac=(-4)²-4×1×m≥0， 解不等式得：x≤4， 由一元二次方程的根的判别式可知：当x≤4时，方程有实数根， ∴当m=5时，方程x²-4x+m=0没有实数根。 故答案为：D
8.去年某果园随机从甲、乙、丙、丁四个品种的葡萄树中各采摘了10棵，每棵产量的平均数x（单位：千克）及方差S2（单位：千克2）如下表所示： 甲 乙 丙 丁 x 24 24 23 20 S2 2.1 1.9 2 1.9 今年准备从四个品种中选出一种产量既高又稳定的葡萄树进行种植，应选的品种是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】 B
【解析】【解答】解：∵从平均数可知：甲、乙比丙和丁大，∴排除选项C和D；从方差看，乙的方差比甲的小，∴排除选项A。 故答案为：B
9.已知直线m∥n，将一块含45°角的直角三角板ABC按如图方式放置，其中斜边BC与直线n交于点D.若∠1=25°，则∠2的度数为（ ）
A. 60° B. 65° C. 70° D. 75° 【答案】 C
【解析】【解答】解：设直线n与AB的交点为E。
∵∠AED是△BED的一个外角， ∴∠AED=∠B+∠1， ∵∠B=45°，∠1=25°， ∴∠AED=45°+25°=70° ∵m∥n， ∴∠2=∠AED=70°。 故答案为：C。
10.如图所示，矩形纸片ABCD中，AD=6cm，把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后，分别裁出扇形ABF和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则AB的长为（ ）
A. 3.5cm B. 4cm C. 4.5cm D. 5cm 【答案】 B
【解析】【解答】解：设AB=x，由题意， 得
， 解得x=4. 故答案为：B。
11.小慧去花店购买鲜花，若买5支玫瑰和3支百合，则她所带的钱还剩下10元；若买3支玫瑰和5支百合，则她所带的钱还缺4元.若只买8支玫瑰，则她所带的钱还剩下（ ） A. 31元 B. 30元 C. 25元 D. 19元 【答案】 A
【解析】【解答】解：设玫瑰花每支x元，百合花每支y元，小慧带的钱数是a元，由题意， 得
，
将两方程相减得y-x=7，∴y=x+7, 将y=x+7代入5x+3y=a-10得8x=a-31， ∴若只买8支玫瑰花，则她所带的钱还剩31元。故答案为：A
12.勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周醉算经》中早有记载。如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内.若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（ ）
A. 直角三角形的面积 B. 最大正方形的面积
C. 较小两个正方形重叠部分的面积 D. 最大正方形与直角三角形的面积和 【答案】 C
【解析】【解答】解：根据勾股定理及正方形的面积计算方法可知：较小两个直角三角形的面积之和=较大正方形的面积，所以将三个正方形按图2方式放置的时候，较小两正方形重叠部分的面积=阴影部分的面积，所以知道了图2阴影部分的面积即可知道两小正方形重叠部分的面积。 故答案为：C
二、填空题（每小题4分，共24分）
13.请写出一个小于4的无理数：________ 【答案】 答案不唯一如
，π等
等。 故答案为：不唯一，如
等。
【解析】【解析】解：开放性的命题，答案不唯一，如
14.分解因式：x2+xy=________． 【答案】x（x+y）
【解析】【解答】解：x2+xy=x（x+y）．
15.袋中装有除颜色外其余均相同的5个红球和3个白球.从袋中任意摸出一个球，则摸出的球是红球的概率为________. 【答案】
【解析】【解答】解：
. 故答案为：
.
16.如图，某海防响所O发现在它的西北方向，距离哨所400米的A处有一般船向正东方向航行，航行一段时间后到达哨所北偏东60°方向的B处，则此时这般船与哨所的距离OB约为________米。（精确到1米，参考数据：
=1.414，
≈1.732）
【答案】 566
【解析】【解答】解：设AB与正北方向线相交于点C， 根据题意OC⊥AB,所以∠ACO=90°， 在Rt△ACO中，因为∠AOC=45°， 所以AC=OC=
,Rt△BCO中，因为∠BOC=60°，
所以OB=OC÷cos60°=400 =400×1.414≈566（米）。故答案为：566 。
17.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，点D在边BC上，CD=5,BD=13.点P是线段AD上一动点，当半径为6的OP与△ABC的一边相切时，AP的长为________.
【答案】 或
【解析】【解答】解：在Rt△ACD中，∠C=90°，AC=12,CD=5, ∴AD=13； 在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=12,BC=CD+DB=18, ∴AB=6 过点D作DM⊥AB于点M，∵AD=BD=13, ∴AM= 在Rt△ADM中，∵AD=13,AM=
, ∴DM=
；
；
;
∵当点P运动到点D时，点P到AC的距离最大为CD=5＜6，
∴半径为6的⊙P不可能与AC相切；当半径为6的⊙P与BC相切时，设切点为E，连接PE， ∴PE⊥BC,且PE=6，∵PE⊥BC，AC⊥BC,∴PE∥AC,∴△ACD∽△PED，∴PE∶AC=PD∶AD,
即6∶12=PD∶13,∴PD=6.5,∴AP=AD-PD=6.5;当半径为6的⊙P与BA相切时，设切点为F，连接PF， ∴PF⊥AB,且PF=6，∵PF⊥BA，DM⊥AB,∴DM∥PF,∴△APF∽△ADM， ∴AP∶AD=PF∶DM即AP∶13=6∶ 故答案为：
（k>0)的图象交于A，B两点，点A在第一象限点C在x轴正,∴AP=
,综上所述即可得出AP的长度为：
18.如图，过原点的直线与反比例函数y=
半轴上，连结AC交反比例函数图象于点D.AE为∠BAC的平分线，过点B作AE的垂线，垂足为E，连结DE.若AC=3DC，△ADE的面积为8，则k的值为________.
【答案】 6
【解析】【解答】解：连接OE，OD,过点A作AN⊥x轴于点N，过点D作DM⊥x轴于点M， 根据正比例函数与反比例函数的对称性得出OA=OB， ∵BE⊥AE，∴∠AEB=90°，在Rt△ABE中，∵AO=BO，
∴OE=OA,∴∠OEA =∠OAE,∵AE平分∠BAC，∴∠OAE=∠CAE, ∴∠CAE=∠OEA,
∴OE∥AC,∴△ADO的面积=△ADE的面积，∵△ADO的面积=梯形ADMN的面积，∴梯形ADMN的面积=8， ∵AN⊥x轴，DM⊥x轴，∴AN∥DM, ∴△CDM∽△CAN, ∴DM∶AN=CD∶AC=1∶3, ∴设DM为a，则AN=3a,∴A( ∵梯形ADMN的面积=(a+3a) ·MN×
,3a)，D（
，a）∴ON=
,OM=
,MN=OM-ON=
;
=8,∴k=6.故答案为：6
三、解答题（本大题有8小题，共78分)
19.先化简，再求值：
（x-2）（x+2）-x（x-1)，其中x=3.
【答案】 解：原式=x2-4-x2+x =x-4当x=3时，原式=3-4=-1
20.图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有5个小等边三角形已涂上阴影，请在余下的空白小等边三角形中，按下列要求选取一个涂上阴影：
（1）使得6个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形。 （2）使得6个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形。
（请将两个小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形） 【答案】 （1）解：画出下列其中一种即可
（2）解：画出下列其中一种即可
21.今年5月15日，亚洲文明对话大会在北京开幕.为了增进学生对亚洲文化的了解，某学校开展了相关知识的宣传教育活动。为了解这次宣传活动的效果，学校从全校1200名学生中随机抽取100名学生进行知识测试（测试满分100分，得分均为整数），并根据这100人的测试成绩， 制作了如下统计图表。
由图表中给出的信息回答下列问题：
（1）m=________，并补全额数直方图________；
（2）小明在这次测试中成绩为85分，你认为85分一定是这100名学生知识测试成绩的中位数吗?请简要说明理由；
（3）如果80分以上（包括80分）为优秀，请估计全校1200名学生中成绩优秀的人数.
【答案】 （1）20；
（2）解：不一定是，理由：将100名学生知识测试成绩从小到大排列，第50名与 第51名的成绩都在分数段80sa<90中，但它们的平均数不一定是85分 （3）解：
×1200=60（人）.
答：全校1200名学生中，成绩优秀的约有660人 【解析】【解答】解：（1）m=100-10-15-40-15=20（人）, 故答案为：20.
补全频数直方图如下：
22.如图，已知二次函数y=x2+ax+3的图象经过点P(-2，3）.
（1）求a的值和图象的顶点坐标。
（2）点Q（m，n)在该二次函数图象上.
①当m=2时，求n的值；
②若点Q到y轴的距离小于2，请根据图象直接写出n的取值范围.
【答案】 （1）解：把P（-2，3）代入y=x2+ax+3，得3=（-2）2-2a+3， 解得a=2. ∵y=x2+2x+3=(x+1）2+2，∴顶点坐标为（-1，2）
（2）解：①把x=2代入y=x2+2x+3，求得y=11， ∴当m=2时，n=11.②2≤<11
23.如图，矩形EFGH的顶点E，G分别在菱形ABCD的边AD，BC上，顶点F、H在菱形ABCD的对角线BD上.
（1）求证：BG=DE；
（2）若E为AD中点，FH=2，求菱形ABCD的周长。 【答案】 （1）证明：在矩形EFGH中，EH=FG，EH//FG.
∴∠GFH=∠EHF.∵∠BFG=180°-∠GFH，∠DHE=180°-∠EHF,∴∠BFG=∠DHE. 在菱形ABCD中，AD//BC.∴∠GBF=∠EDH.∴△BGFS△DEH(AAS).∴BG=DE （2）解：如图，连结EG.
在菱形ABCD中，AD BC.∵E为AD中点，∴AE=ED.∵BG=DE，∴AE BG.
∴四边形ABGE为平行四边形。∴AB=EG. 在矩形kGH中，EG=FH=2.∴AB=2. ∴菱形的周长为8.
【解析】（1）证明：在矩形EFGH中，EH=FG，EH//FG.
∴∠GFH=∠EHF.∵∠BFG=180°-∠GFH，∠DHE=180°-∠EHF,∴∠BFG=∠DHE. 在菱形ABCD中，AD//BC.∴∠GBF=∠EDH.∴△BGF△DEH(AAS).∴BG=DE （2）解：如图，连结EG.
在菱形ABCD中，AD BC.∵E为AD中点，∴AE=ED.∵BG=DE，∴AE BG.
∴四边形ABGE为平行四边形。∴AB=EG.在矩形EFGH中，EG=FH=2. ∴AB=2.∴菱形的周长为8.
24.某风景区内的公路如图1所示，景区内有免费的班车，从入口处出发，沿该公路开往草甸，途中停靠塔林（上下车时间忽略不计）.第一班车上午8点发车，以后每隔10分钟有一班车从入口处发车.小聪周末到该风景区游玩，上午7：40到达入口处，因还没到班车发车时间，于是从景区入口处出发，沿该公路步行25分钟后到达塔林。离入口处的路程y（米）与时间x（分)的函数关系如图2所示.
（1）求第一班车离入口处的路程y（米）与时间x（分）的函数表达式 （2）求第一班车从人口处到达塔林所蓄的时间。
（3）小聪在塔林游玩40分钟后，想坐班车到草甸，则小聘最早能够坐上第几班车?如果他坐这班车到草甸，比他在塔林游玩结束后立即步行到草甸提早了几分钟?（假设每一班车速度均相同，小聪步行速度不变）
【答案】 （1）解：由题意得，可设函数表达式为：y=kx+b（k≠0). 把（20，0），（38，2700）代入y=kx+b，得 解得
).（注：x
，
∴第一班车离入口处的路程y（米）与时间x(分）的函数表达式为y=150x-3000（ 的取值范围对考生不作要求）
（2）解：把y=1500代入y=150x-3000，解得x=30， 30-20=10（分）。 ∴第一班车到塔林所需时间10分钟.
（3）解：设小聪坐上第n班车. 30-25+10（n-1）≥40，解得n≥4.5，
∴小聪最早坐上第5班车.等班车时间为5分钟，坐班车所需时间：1200+150=8(分）， ∴步行所需时间：1200+（1500+25）=20(分）20-（8+5）=7(分）。 ∴小聪坐班车去草甸比他游玩结束后立即步行到达草甸提早7分钟。
25.定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线.
（1）如图1，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，E，F分别是BD，AD上的点. 求证：四边形ABEF是邻余四边形。
（2）如图2，在5×4的方格纸中，A，B在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形ABEF，使AB是邻余线，E，F在格点上，
（3）如图3，在（1）的条件下，取EF中点M，连结DM并延长交AB于点Q，延长EF交AC于点N.若N为AC的中点，DE=2BE，QB=3，求邻余线AB的长。 【答案】 （1）解：∵AB=AC，AD是△ABC的角平分线，
∴AD⊥BC.∴∠ADB=900.∴∠DAB+∠DBA=90°.∴∠FAB与∠EBA互余.∴四边形ABEF是邻余四边形
（2）解：如图所示（答案不唯一）
（3）解：∵AB=AC，AD是△ABC的角平分线，
∴BD=CD.∵DE=2BE，∴BD=CD=3BE.∴CE=CD+DE=5BE.∵∠EDF=90°，M为EF中点，∴DM=ME. ∴∠MDE=∠MED.∵AB=AC，∴∠B=∠C.∴△DBQ∽△AECN.∵ ∵QB=3，∴NC=5.∵AN=CN，∴AC=2CN=10.∴AB=AC=10. 【解析】【解析】（1） 解：∵AB=AC，AD是△ABC的角平分线， ∴AD⊥BC. ∴∠ADB=90° ∴∠DAB+∠DBA=90°. ∴∠FAB与∠EBA互余. ∴四边形ABEF是邻余四边形 26.如图1，
O经过等边△ABC的顶点A，C（圆心O在△ABC内），分别与AB，CB的延长线交于点D，
E，连结DE，BF⊥EC交AE于点F.
（1）求证：BD=BE.
（2）当AF：EF=3:2，AC=6时，求AE的长。 （3）设
=x,tan∠DAE=y.
①求y关于x的函数表达式；
②如图2，连结OF,OB，若△AEC的面积是△OFB面积的10倍，求y的值 【答案】 （1）证明：∵△ABC为等边三角形， ∴∠BAC=∠C=60 .
∵∠DEB=∠BAC=60 ,∠D=∠C=60 ∴∠DEB=∠D. ∴BD=BE
（2）解：如图，过点A作AG⊥EC于点G.
∵△ABC为等边三角形，AC=6， ∴BG=
BC=
BG=2.∴EG=BE+BG=3+2=5.
.
AC=3.∴在Rt△ABG中，AG=
BG=3
.∵BF⊥EC，∴BF∥AG.
∵AF:EF=3:2,∴BE=
∴在Rt△AEG中，AE=
（3）解：①如图，过点E作EH⊥AD于点H.
∵∠EBD=∠ABC=60°,∴在Rt△BEH中， ∴
=sin60 = .∴
BE=(2x+
)BE.
∵BG=xBE.∴AB=BC=2BG-2xBE.∴AH-AB+BH=2xBE+
∴在Rt△AHE中,tan = y=
②如图，过点O作OM⊥EC于点M. 设BE=a.∵ ∴BM=EM-BE=ax- ∴
∴CG=BG=xBE=x.∴EC=CG+BG+BE=a+2ax.∴AM=
a∵BF∥AG∴△EBF∽△EGA.
EC=
a+ax.
∵AG= BG= ax∴BF= AG=
∴△OFB的面积= ∴△AEC的面积=
∵△AEC的面积是△OFB的面积10倍 ∴
∴
解得 ∴
