全等三角形讲义讲义

全等三角形

专题一

全等三角形的性质

【知识点 1】能够完好重合的两个三角形叫做全等三角形。

（两个三角形全等是指两个三角形的大小和形状完好相同， 与他们的 地址没相关系。）

【知识点 2】两个三角形重合在一起，重合的极点叫做对应极点；重 合的边叫做

对应边；重合的角叫做对应角。

【例题 1】如图，已知图中的两个三角形全等，填空： (1)AB 与

CA 与 (2) ∠A与

∠ BAC与

是对应边， BC与 是对应边；

是对应角，∠ ABC与

是对应角

是对应边，

B

A

C

是对应角，

D

【方法总结】在两个全等三角形中找对应边和对应角的方法。

(1) 有公共边的，公 共边必然是对应边； (2) 有公共角的，公共角必然是对应角； (3) 有对顶角的， 对顶角是对应角； (4) 在两个全等三角形

中，最长的边对最长的边， 最短的边对最短的边， 最大的角对最大 的角，最小的角对最小的角。

A D

O

C

【练习 1】 如图，图中有两对三角形全等，填空： (1) △ BOD≌

B

E

； (2) △ACD≌ .

【知识点 3】 全等三角形的对应边相等，对应角相等。

（由定义还可知道， 全等三角形的周长相等， 面积相等，对应边上的 中线和高相等，对应角的角均分线相等）

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全等三角形讲义讲义

【例题 2】 （省中考卷第 5 题） 已知图 2 中的两个三角形全等，则∠

（ °

） °

°

°

度数是

【例题 3】（）如图，若 △ABC≌△ A1B1C1 ，且

C1=

A

A 110°， B 40°，则

．

A1

B

C

1 1

B C

A

A

【练习 2】 如图， △ACB≌△ACB ，

）

BCB =30°，

B

则 ACA 的度数为（

A 20° B ．30° C ．35°D ．40°

B

C

【练习 3】如图，△ ABD绕着点 B 沿顺时针方向旋转 90°到△ EBC，

且∠ ABD=90°。

（ 1）△ ABD和△ EBC可否全等若是全等，请指出对应边与对应角。 （ 2）若 AB=3cm,BC=5cm,你能求出 DE的长吗

（ 3）直线 AD和直线 CE有怎样的地址关系请说明原因。

专题二

全等三角形的判断

【知识点 1】SSS：三边对应相等的两个三角形全等。

简写为“边边边”或“

SSS\".

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全等三角形讲义讲义

【例题 1】如图， AB=AD，BC=CD求证：∠ BAC=∠ DAC。

【练习 1】已知：如图， A、C、F、D在同素来线上， AF＝DC， AB＝DE， BC＝EF，求证：△ ABC≌△DEF．

A

C

B

E

F

D

【知识点 2】 SAS:两边和它们的夹角对应相等的两个三角形

全等，

简写为“边角边”或“

SAS\".

【例题 2】已知：如图， AC和 BD订交于点 O，OA=OC，OB=OD．

求证： DC∥AB．

【练习 2】已知：如图， AE∥BF， AB=CD，AE=BF .

求证： △AEC ≌△ BFD

【练习 3】如图，已知 AB⊥BD， ED⊥BD，AB＝CD，BC＝ DE，

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全等三角形讲义讲义

求证： ⊥ ．若将

AC CE CD

其他条件不变，结论

沿

CB

2

AC⊥CE 还成立吗请说明原因．

方向平移获取图 (2)(3)(4)(5)

的状况，

1

【知识点 3】ASA：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全

等，

（能够简写为“角边角”或“

ASA”）

【例题 3】已知：如图，∠ AOD=∠ BOC，∠ A=∠C， O是 AC的中点。 求证：△ AOB≌△ COD．

【练习 4】 1、如图，在四边形 ABCD中， E是 AC上的一点，∠ 1=∠2，∠ 3=∠4，

求证: ∠5=∠6．

A

1 2

D

5 E B

3

C

6

4

2、如图，点 E 在△ ABC的外面，点 D 在 BC边上， DE交 AC于点 F，若∠ 1=∠2 =∠ 3，AC=AE，

求证： AB=AD。

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3、如图，已知：△ ABC中， AB=AC，∠ BAC=90°，分别过 B，C 向过 A 的直线作垂线，垂足为 E，F。

（1）证明：过 A 的直线与斜边 BC不订交时，则有 EF=BE+CF，如图 1。

（2）如图 2，过 A 的直线与斜边 BC订交时，其他条件不变，你能获取什么

结论请给出证明。

【知识点 4】 AAS:两个角和其中一个角的对边对应相等的两

个三角形全等，

( 能够简写为“角角边”或“

AAS” )

这一结论很简单由 ASA推得： 因为三角形的角和等于 180°，因此有两个角分别对应相

等，那么第三个角必对应相等，于是由“角边角”

，即可证得这两个三角形全等．

AAS”来判断全等，那么必然也

因此两个三角形若是具备两个角和一条边对应相等，就可以判断其相等。

【例题 4】1、以下说法中：①若是两个三角形能够依照“

能够依照“ ASA”来判断它们全等；②若是两个三角形都和第三个三角形不全等，那么这两

个三角形也必然不全等；③要判断两个三角形全等，给出的条件中最少要有一对边对应相 等．正确的选项是（ ） A．①和②

B．②和③

C．①和③

D．①②③

2、已知：如图， AB=AC， BD AC，CE

F，求证： BE=CD．

AB，垂足分别为 D、E，BD、 CE订交于点

C F

B

E

A

D

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【练习 6】 1、如图，在△ ABC中， AD为∠ BAC的均分线， DE⊥ AB于 E，

DF⊥AC于 F，△ ABC面积是 28 cm2 ，AB＝ 20cm， AC＝8cm，求 DE的长．

A

E B

F

D

C

2、△ ABC是等腰直角三角形，∠ ACB＝ 90°， AD是 BC边上的中线，过 C作 AD的垂线，交 AB 于点 E，交 AD于点 F，求证：∠ ADC＝∠ BDE．

C F

A

E

图 9

D

B

【知识点 5】HL:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角

形全等，

（能够简写为“斜边，直角边”或“

HL”）

【例题 5】（1）证明两个直角三角形全等的方法有 （ 2） 依照以下已知条件，能独一画出三角形 ABC的是（

A． AB＝ 3， BC＝ 4， AC＝ 8； B. AB C. ∠ A＝60，∠ B＝45， AB＝4； D.

∠ C＝90， AB＝6

）

＝ 4， BC＝ 3，∠ A＝ 30；

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（ 3）已知：如图△ ABC中， BD⊥AC， CE⊥AB，BD、CE交于 O点，且 BD=CE 求证： OB=OC.

（ 4）如图，∠ ACB=90°，AC=BC，D 为 AB上一点， AE⊥ CD于 E，BF⊥DC交 CD的

延长线于 F．求证： BF=CE．

【练习 2】1、关于以下各组条件，不能够判断△ ABC ≌△ A B C 的一组是 （

）

（A） ∠A=∠A′，∠ B=∠B′， AB=A′B′ （B） ∠A=∠A′， AB=A′B′， AC=A′C′ （C） ∠A=∠A′， AB=A′B′， BC=B′C′ （D） AB=A′B′， AC=A′C′， BC=B′C′ （ 2）

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专题三

角的均分线的性质

【知识点 1】角的均分线：把一个角分成两个相等的角的射 线叫做角的均分线

【例题 1】 1、已知∠ BAC，作∠ BAC的均分线。（尺规作图）

2、直角三角形两锐角的角均分线所交成的角的度数是（

A ． 45°

B

． 135° C ． 45°或 135°

）

．都不对

D

【知识点 2】角的均分线的性质定理： 角均分线上的点到角两边的距离

相等。

【例题 2】1、△ABC中，∠ A＋∠ B＝∠ C，∠ A 的均分线交

到 AB的距离为＿＿＿＿ cm．

BC于点 D，若 CD＝ 8cm，则点 D

2 cm，那么

、如左以下列图，在△ ABC中，∠ ACB

AE DE等于

° BE均分∠ ABC，DE⊥AB于 D，若是 AC =90 , =3

+

cm

cm

cm

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AB AC，AE AF，BE与 CF交于点 D，则①△ ABE≌△ ACF 、如右上图，已知

2 = =

BDF CDE D 在∠ BAC

③ ②△≌△ 的均分线上，以上结论中，正确的选项是

A. 只有① B. 只有② C. 只有①和② D. ①，②与③

3、如图，已知△ ABC 中，E 是 AB 延长线上的一点， AE=AC，AD 均分∠ A，BD=BE。

求证：∠ ABC=2∠C。

【知识点 3】角均分线的判断

方法 1：（角均分线的定义）把一个角分成两个相等的角的射线叫做

角均分线。

方法 2：（角均分线的判判定理）到角两边的距离相等的点在角的平

分线上。（此命题与角的性质定理的已知和结论都不相同）

【例题 3】1、如图中， E 是 AB延长线上一点， AC⊥BC、 AD⊥BD、 AC=AD， 求证：∠ DEA =∠ CEA 。

2、如图， A、B、C 三点在同素来线上，分别以 AB、 BC 为边在直线的同旁作等边三角形 ABD、BCE，连接 AE 交 BD 于 M，连接 CD 交 BE 于 N，连接 MN，求证：△ BMN是等边三角形。

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3、已知：如图， AO 均分∠ EAD和∠ EOD ；求证：① △AOE≌△AOD

②EB=DC

4、如图，已知 BE均分∠ ABC， CE均分∠ ACD，且交 BE于 E．求证： AE均分∠ FAC.

F

A

E

B

C

D

第二章 轴对称

专题一：轴对称

【基础练习】

1. （2010?日照）已知上面四个汽车标志图案，其中是轴对称图形的图案是 图案代号）．

______________。 （只需填入

2

2. （2008?）如图，正方形 ABCD的边长为 4cm，则图中阴影部分的面积为 3. 以下轴对称图形中，只有两条对称轴的图形是（

）

_____________cm ．

A． B． C． D．

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4. 以下列图7× 6 的正方形网格，点 均为

A 、 B、 C 在格点上．在图中确定格点

D，并画出以 A、 B、C、 D 为极点

)

的四边形，使其为轴对称图形．

( 要求：分别在图①、图②、图③中画出三个互不相同的图形

5. （2009?）如图，△ ABC与△A′B′C′关于直线 l 对称，则∠ B 的度数为（ ）

轴对称的性质：

专题二：线段的垂直均分线

【基础练习】

1. （2010?）如图，△ ABC中， DE垂直均分 AC交 AB于 E，∠A=30°，∠ ACB=80°，则∠ BCE= _____度

（1 题）

题）

（2 题） （4 题） （5

2. （2010?）如图，等腰三角形 ABC中，已知 AB=AC，∠ A=30°， AB 的垂直均分线交 AC 于 D，则∠ CBD的度数为 ___________

3. （2009?黄冈）在△ ABC中， AB=AC，AB 的垂直均分线与 AC 所在的直线订交所获取锐 角为 50°，则∠ B 等于 ____

4. （2009?）如图，在△ ABC中， BC边上的垂直均分线 DE交边 BC于点 D，交边 AB于点 E．若△ EDC的周长为 24，△ ABC与四边形 AEDC的周长之差为 12，则线段 DE 的长为 ___________

5. （2010?）如图，在 Rt△ ABC中，∠ C=90°，∠ B=30°． AB 的垂直均分线 于点 D，交 BC于点 E，则以下结论不正确的选项是（

）

DE 交 AB

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A、AE=BE B 、AC=BE C、 CE=DE D、∠ CAE=∠B 6.

（2010?）以下列图，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息， 要使凉亭到草坪三条边的距离相等， 凉亭的地址应选在（）

A、△ ABC的三条中线的交点 C、△ ABC三条角均分线的交点

B 、△ ABC三边的中垂线的交点

D 、△ ABC三条高所在直线的交点

【知识点】 1. 线段的垂直均分线的作法：

A B

2. 线段的垂直均分线的性质与判断：

_________________________________________________________

【复习检测】

1. （2010?）如图，在四边形

ABCD中， AD∥ BC， E 为 CD的中点，连接 AE、 BE， BE

⊥ AE，延长 AE交 BC的延长线于点 F． 求证：（ 1） FC=AD； （ 2） AB=BC+AD．

A

N

M

B

D

C

2. 如图， AD为△ ABC的角均分线， AD的垂直均分线分别交 AB、AC于 N、M两点，求证： ND∥ AC。

专题三：等腰三角形

【基础练习】

1. （2010?）以下性质中，等腰三角形拥有而直角三角形不用然拥有的是（ A、两边之和大于第三边 C、有两个锐角的和等于

为（

）

B

90°

D

、有一个角的均分线垂直于这个角的对边

、角和等于 180°

1： 4，则这个等腰三角形顶角

2. （2007?）已知一个等腰三角形两角的度数之比为

）

的度数

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A、20°或 100 ° B 、120° 3. 等腰三角形的一个角是

4. 已知等腰三角形的两边长分别为

C 、20°或 120° D 、36°

50°，则别的两个角的度数分别是 __________________________

2 和 5，则它的周长为 ______________________________

）

5. （2010?）以下列图，△ ABC中， AC=AD=BD，∠ DAC=80°，则∠ B 的度数是（ A 、40° B 、35° C 、25° D 、20°

[ 能力提升 ]

6.

（2010?株洲）以下列图的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知

A、 B 是两格

点，若是 C 也是图中的格点，且使得△ ABC为等腰三角形，则点 C的个数是（

）

A、6 B 、7

.

C 、8 D 、 9

7（2010?）如图，在 Rt △ ABC中，∠ ACB=90°， AB=2BC，在直线 BC或 AC上取一点 △ PAB为等腰三角形，则吻合条件的点 A、4个

B

、5个

P，使得

P 共有（

D

） 、7个

C

、6个

8. （2010?）如图， AD是△ ABC的

边

BC上的高，由以下条件中的某一个就能推出△

ABC是

等腰三角形的是

________________．（把所有正确答案的序号都填写在横线上）

①∠ BAD=∠ACD；②∠ BAD=∠ CAD；③ AB+BD=AC+CD；④ AB-BD=AC-CD． 9. （2010?）如图，在△ ABC中，点 D、 E 分别在边 AC、AB上， BD=CE，∠ DBC=∠ ECB．求证： AB=AC

10. 已知，如图，△ ABC中， ∠ ABC =45 o ，CD⊥ AB与 D，BE均分 ∠ABC ，且 BE⊥ AC于 E，

与 CD订交于点 F，H 是 BC边的中点，连接 DH与 BE订交于点 G。 （ 1）求证： BF=AC （ 2）求证：

CE

1

2

（ 3） CE与 BG的大小关系怎样试证明你的结论。

BF

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【知识点】

A

A

D

F

E

G

B

C

B

H

C

1．如图：等腰三角形的性质： _________________________________________

等腰三角形的判断： _______________________________________________

2 ． 等 腰 三 角 形 的 三 线 合 一 ：__________________________________________________________

整式的乘除与因式分解

整式的乘除及因式分解

备课资料 一、整式容的特点： 容简洁、脉络清楚、操作性强

① 同底数幂的分层练习

同底数幂的计算法规：

练习一： 25

22 5m 55 a 3 a 2

x 2 ( x5 )

2 24 23

xm x3 m 1

练习三：

1、 x3 xa x2a 1 x31 ，求 a ．

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全等三角形讲义讲义

2、 2

m

4 ， 2n

16 ，求 2m n ．

3、 x 3 m ， x5 n ，用含有 m、 n 的代数式表示 x14 ．

练习四：

1、 an 1 a m 2 a7 且 m 2n 1 ，求 m n ．

2、计算 (-x)2 n+1 - (- x)2 n

3、计算 ( y - x) 2n+1 - ( x - y) 2 n

②幂的乘方分层练习

计算法规：

例 1：（ 1）（ 103

）

5

2

（2）[（ ）3] 4

（3）[ （－ 6）3] 4

3

（ 4）（ x2） 5

（ 5）－（ a2） 7

（ 6）－（ as ）3

3

4

2

2

n

n

2

（ 7）（ x ） ·x

（ 8）2（ x ） －（ x ）

（ 9）例 2

2 4

3 3

4 4

4 2

3

2 3

1. （3 a ）（ a ）－（－ a）（ a ） （－ 2a ）（－ a）（ a ） 1.计算 232

3

2m

8 =x ，则

m=______3

m 2

×4×8

2．若（ x ）12

m

2m

9m3 若 [ （ x ） ] =x ，则 m=_______ 4 若 x ·x =2，求 x

的值。

5 若 a2n=3，求（ a3n） 4 的值。

③积的乘方分层练习计算法规 ;

例 1计算：

3

2

(1) （－ 3x）

(2) （－ 5ab）

2

2

3 2 4

(3) （xy ） (4)

（－ 2xy z ）

例 2

计算：

3

4

2 4

4

2

(1) a a a+（ a ） （－ a ）

3 2

3

3 3

2

7

(2)

2（ x ） x －（ 3x ） （ 5x ） x (3)

(anb3n ) 2 ( a2b6 )n

C．并能正确、灵便地运用三个幂的运算性质解决相关的计算和化简问题

1.

( 2) 2011 ×(1.5) 2012 ×(-1)2011 3

2. ( 1) 2009 882009

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2

3 7（x ） ]

[

全等三角形讲义讲义

5. 若 A

23333 , B 32222 ,C 51111 ．则 A 、 B 、 C 按大小排序为

6. 若 a 7

8

756， b 8 ，则 56

（用 a 、 b 的代数式表示） ；

7. 已知 2x

5 y 3 0 ，求 4x 32 y 的值；

第二部分：单项式乘以单项式、单项式乘以多项式、多项式乘以多项式

. （2 课时）

一、 单项式乘以单项式：

单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，关于只在一个

单项式里含有的字母， 则连同它的指数作为积的一个因式 . 为了防范出现系数与 指数的混淆，同底数幂的乘法性质与幂的乘方性质的混淆等错误， 同学们在初学本节解题时，应该按法规把计算步骤写全，渐渐进行计算

1．计算以下各题： （ 1） 4 y (

2xy 2 )

5 2

(2)

（ 1 a3 )2 ( 4ab2 )3 ( ab2 )

2

（4）

（ 3）

（

1 3

10) (9 10 )

3 3

（

n 1 n 2 3 2x y )

(

1

n 2 2

x y )

8

2．判断以下运算可否正确，错误的指出错的原因并恩赐改正。

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全等三角形讲义讲义

（ 1） 9y 7 9 y 7 18y14 （ 3） 2x3 4x5

（ 2） 3a2 2a3 6a6

8x8

2

3

（ 4） ( a2 ) ( 4a 3 ) 2 16a8

23．已知代数式 （ 2ab c)

求当 a

2

3

( ab) ( a3 c5 ) ( a 2b2c 2 )4 ， 2 2

3 时这个代数式的值。 7

11

, b

3.5, c

二、 单项式乘以多项式

n

a

mm

以数形结合的思想引入：

m(a +n) = ma +mn

单项式与多项式相乘法规：就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加 .

【说明】 (1) 单项式与多项式相乘，其实质就是乘法分配律的应用 乘

(3) 每一项带着前面的符号乘

以下三个计算中，哪个正确哪个不正确错在什么地方

(1)3 a(b-c+ a)=3 ab-c+ a

(2)-2x(x

2

2

.

(2) 在应用乘法分配律时，要注意单项式分别与多项式的每一项相

-3x+2)=-2x 3-6x 2+4x

3

2

(3)2m(m -mn+1)=2m-2m n+2m

322

1 化简计算 . （1） ( x y 2x y

5xy3

6y 4 )

1 x 2 y 2

（ 2）

5x xy y 2

3

2

1

2xy x 2 xy

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全等三角形讲义讲义

2. 先化简，再求值：ab 3 b 2a b

1 b 2 2

3a2 b3 , a

1

, b 1.

2

3. 解以下方程： 2x 3x 6 5x x 2 x x 1 8

当

4.

时，代数式 a 3 的值为 ，则 时，这个代数式的值为

x=2 x +bx-7 5 x=-2

.

2 3 2

5. 设 m+m-1=0，求 m+2m+2004 的值 .

6. 要使 x(x 2 +a)+3x-2b=x 3+5x+4 成立，则 a,b 的值分别为多少

7. 若 n 为自然数，试说明 n(2n+1)-2n(n-1) 的值必然是 3 的倍数 .

三、 多项式乘以多项式：

以数形结合的思想引入：

(m +b)(n +a) = mn +ma +bn +ba

n

n

a

mm

bb

a

多项式与多项式相乘法规：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加 .

【说明】 多项式相乘的问题是经过把它转变成单项式与多项式相乘的问题来解决的，浸透了转变的数学思想 .

( a+b)(m+n)=( a+b)m+(a+b)n=am+bm+an+bn. 计算时是第一把 ( a+b) 看作一个整体，作为单项式，利用单项式与多项式相乘的乘法法规计算

1．计算：

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全等三角形讲义讲义

（3x 1（)x 2)

（ 1）

（ x-8 y)（ x y)

（2）

22

（ 3）（2n 1（)2n 2) (3n 1)( n 1)

2．先化简再求值。

（ 1）（3a -b（)5

b 3a)，其中 a 1，b 3.

（3xy 3)（ xy 1 )，其中 x

2 3 （ 2 ）

11

， y 2 2 3

3． （ 1）解方程：

x( x2 x 1) x( x 1)2 (x 1)(3 x)

解不等式：（3x 4)(4 x 5) 2x(6 x 5)

（ 2）

4. 要使多项式 x3 2x2 3x 7 与 2x2

ax b 的积不含 x3 项和 x 项，则 a

；

b

．

65

5. 2 x 3x

4x4 7 x3 2x 5

3x5

x3 2x2

3x 8 张开式中

x8 与 x4 的系数分别

为

；

6. 比大小 7.

A = (x +2) 2

, B =( x +1)( x +3),

a，他们的积为（

三个连续的偶数，中间一个是 ）

8. 借助书 148页 2题和 150页 12 题找规律：

(ax +b)(cx +d ) = (ac) x2 +(ad +bc)x +(bd )

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全等三角形讲义讲义

第三部分：乘法公式（

2 课时，平方差、完好平方各一节）

进一步发展学生的符号感和推理能力、归纳能力．

目标：经历研究乘法公式的过程，

① 会研究乘法公式并掌握公式的结构特点，能运用公式进行简单的计算．

（ 1）（ x＋ 1）（ x－ 1） =_______________ ；

（ 2）（ m＋ 2）（ m－ 2） =_______________ ；

1. 平方差公式的研究

计算以下多项式的积，你能发现什么规律

（ 3）（ 2x＋ 1）（ 2x－ 1） =_____________.

上面各式中，相乘的两个多项式之间有什么特点它们相乘的结果有什么规律

2. 完好平方公式的研究

计算以下各式，你能发现什么规律

（ 1）（ p＋ 1） 2=（ p＋ 1）（ p－ 1） =_______________ ；

（ 2）（ m＋ 2） 2=________________ ；

（ 3）（ p－ 1） 2=（ p－ 1）（ p－ 1） =______________ ；

（ 4）（ m－ 2） 2=______________.

上面各式中，相乘的两个多项式之间有什么特点它们相乘的结果有什么规律

② 掌握公式的结构特点，能运用公式进行简单的计算．

平方差公式

（ a＋ b）（ a－b） =a2－ b2

（－ a＋ b）（－ a－ b） =（ ） 2－（

）2

（ b＋ a）（－ b－ a） =（ ） 2－（ ） 2

（ b－ a）（－ b－ a） =（ ） 2－（ ） 2

20 / 29

全等三角形讲义讲义

完好平方公式

(a b)2 a 2 2ab b2 (a b) 2 a2 2ab b2

或合并为：

(a

b) 2 a2 2ab b2

③ 认识乘法公式的几何背景，领悟数形结合的思想方法

④ 添括号法规，领悟整体思想

a ＋（ b＋c） =a＋ b＋ c；a－（ b＋ c） =a－ b－ c.

（ 1）（ a＋ b＋c）（ a-b-c ） =

(x 2y

（2）

3

)(x 2y+ 3)

2

2

（ 3） （ a＋ b＋ c） 2. ⑤围绕下述变形方式的典型考题

(a +b)2 - (a - b)2 = 4ab

（ 1） x-y=4 ，xy=2, 求 x+y

（ 2）已知 x2-3x+1=0 ，求 一、 平方差公式

和

2

1．运用平方差公式计算以下各题

（ 1）（3x 5 y（)3x -5 y)

2

（2）

（4 x 7 y （) 4x - 7 y )

（2x3 3y4（)3 y4 2x3 )

（ 3）

（4）（ ab

2)（ 2 - ab)

（x 5)（x - 5)（x2 25） （ 6）（a b

（ 5）

c（) - b a c)

2 2 2 2 2

（ 7）（3x

y （)y -3 x ) -9 x（y x）x y

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全等三角形讲义讲义

2．计算以下各题 （ 1） 10001 9999

（2） 900 9

11

3

（3）（5a

2 2

b2 )2 （5a3 b2 ) 2

a 3 a 2 9 3 a 81 a 4 6561

（ 4 ）

二、 完好平方公式

1．运用完好平方公式计算

（ 1） 3x 5

2

2

（ 2）

3 a b 5

2

1 2

（ 3） 2m 3n 5c

2

2．运用完好平方公式计算： （ 1） 2

（ 2） 2 （ 3） 2005 2 4010 2006 2006 2

3．（ 1）已知 a2

ka 1 是一个完好平方式，求

4

k 的值

（ 2）已知 a

2

a k 是一个完好平方式，求

9 是一个完好平方式，求

k 的值 k 的值

（ 3）已知 ka 2 12a

4．注意公式的结构特点，防范公式运用的混淆： （ 1） (a （ 3） (a

b) 2 与 ( a b) 2 相等吗（ 2） (a b) 2 与 a2

b) 2 与 (b a)2 相等吗 b) 2 与 a2 b2 相等吗

2 2

2

2

b2

相等吗（ 4） (a

5．利用公式计算

（ 1） 2x

3 2x 3（4x2

9）

（ 2） x 3y

（3y x）

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全等三角形讲义讲义

2

2

（ 3） (a -3 b 2c)( a 2c 3b)

（4） 5x 2 y （5x 2y）

6、完好平方公式涉及的分类谈论思想

（ 1） m为何值时， x2 - 4x+m2是完好平方式 （ 2） m为何值时， 4x2 -mx+9 是完好平方式 (3) m 、 x 为何值时，完好平方式 4x2-mx+1 等于 1

7、配方法

（ 1）填空： x 2

6x

____ _____ 2 ； y 2

4y ____

_____ 2 ； m 2

10m ____

_____ 2 ； n 2 2n ____

_____ 2 ．

规律： ______________________________ ．

（ 2） a

2

6am 9m

2

2m

bb

10 ，求 m ．

3

ab 2

（ 3） x 2

y2 10x 12 y 61 0 ，求 x y ．

（ 4）代数式 x2 4x

5 有最大或是最小值吗

（ 5）说明 x2

x 1 ＞ 0．

（ 6）已知： a 、 b 、 c 是△ ABC的三边，且满足

a2 b 2 c2

ab bc

ac ，

求证：△ ABC为等边三角形 .

三 . 乘法公式提升练习：

(1) 已知 x-y=3 ,xy=2 ,求 x2＋ y2、（ x＋y） 2

的值。

（ 2）已知实数

a， b 满足 ( a b)2 1,(a b) 2 25, 求 a 2 b2 ab 的值；

(3) 若是二次三项式

x2-6x+m2

是一个完好平方式，那么

m的值是多少

（ 4）若

x 1 x 3 x 4 x 8 m 是完好平方式，求 m 的值；

（ 5）已知代数式 x2

y2 6x 4 y 20 ，试问 x 、 y 为何值时，这个代数式取最小值，并求出这个最小值

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全等三角形讲义讲义

(6) 试说明：对一的确数， x+2x+3>0

2

（ 7）若

则 xy 的值等于多少

y 2 4 y 4

x y 1 0

（ 10）求 B、C的值，使下面的恒等式成立：x2

2

3x 2 x 1B x 1 C

第四部分：整式的除法（

2 课时）

一、知识点

1． 同底数幂的除法

若

a

0, ,

m n都是正整数，且 m

a0 （1 a 0）.

, mn n 则 a a

m n

.a

2． 零指数幂

3． 单项式的除法法规（略）

4． 多项式除以单项式的法规（略）

四、练习

1、（ 1）（ —） 0 =__________________。（ 2）函数 y=（x— 4） 0 + 0 2x-1 则 x=

2、若（ a— 4） =1, 则 a

2

自变量取值围是

3、若 3 =1,

_______________.

______________.

4、已知 am =5,a n =7, 则 am+n =______________, a m- n =________.

5、若 3 =6,9 =2,

m

n

_______.

求 3

2m-4n+1

的值 .

5

、 x

3

x 2 x 5

6、 8abc÷(-2ab)

353

7. 4 a b

7

1 3

3 a b

8.(3x y-xy + xy) ÷(

22

11

2

xy) 9.(4a

3

b-6a 2b2+2ab2 ) ÷ (-2ab)

2

10、 [(x-y)

2

+(x+y)(x- y)] ÷2x.

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全等三角形讲义讲义

222

11 、 5ab2- ｛ 2a2b- 〖3ab- （ ab-2a b）〗÷（ - ab）｝

先化简，再求值

12、

xy 2 xy 2 2x2 y2

4 xy ，其中 x

10 ， y

1 25

13、已知 2x-y=10, 求〖（ x2 +y2） - （ x-y ） 2+2y（ x-y ）〗÷ 4y 的值。

14、已知一个多项式除以 6x2 +3x-5 ，商为 4x-5 ，余数为 -8 ，求这个多项式。

第五部分：因式分解（ 一、知识点

3 课时）

1. 因式分解的意义。

2. 因式分解的方法 : 提公因式法 ; 运用公式法 . 二、中考课标要求

考点

课标要求

知识与技术目标

了 解

理 解

掌 握

灵便应用

因式分解

因式分解的意义

与整式乘法的差异与联系

∨ ∨

因式分 解的方法

提公因式法 运用公式法

∨ ∨

∨ ∨

三、中考知识梳理

1. 区分因式分解与整式的乘法

它们的关系是意义上正好相反

, 结果的特点是因式分解是积的形式

.

, 整式的乘法是和的

形式 , 抓住这一特点 , 就不简单混淆因式分解与整式的乘法

2. 因式分解的两种方法的灵便应用

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全等三角形讲义讲义

关于给出的多项式 , 第一要观察可否有公因式

观察运用公式还是分组

, 有公因式的话 , 第一要提公因式 , 尔后再

. 分解因式要分解到不能够分解为止.

（分组分解法与十字相乘法讲不讲到什么程度） 四、易错点

3ax 2 6axy

+

2

+

3ay 2

2

（ 1）公因式提得不完好：

=3(ax

+2axy +ay

（ 2）提公因式时漏项也许符号出错：

3x 5xy + x

+

2

)

22

3x y +6 xy

2

(

= x3x +5y

)

a3b

ab

（ 3）分解不完好：

ab a2 1

（ 4）看法不清，部分分解： a2 - b2+1=（ a+b）（ a-b ）+1

（ 5）看法不清，分解完又乘开

五、典型题目

1、以下各式从左到右的变形

, 属于因式分解的是 ( ) (a-b+1)=a 2-ab+b; =a(a-1)-2

+9b2=(-2a+3b)(2a+3b);

=(x-2)

2

-9

2、若 x2＋ mx＋25 是一个完好平方式，则

m的值是（

）

（ A）20

(B) 10 (C)

± 20 (D)±10

3、已知 x2+ax-12 能分解成两个整系数的一次因式的乘积，

则吻合条件的整数

A、3个 B 、4个C

、6个 D 、8个

4、若 x2+kx － 6 有一个因式是 (x － 2) ，则 k 的值是 ;

5、若 x2＋ mx＋n 能分解成 ( x+2 ) (x – 5) ，则 m= ,n=

;

6、因式分解

（ 1） 27 a2 75

（ 2） 4x2 y2 16xy 2 16 y 2（ 3） m2 (x y) n 2 ( x y)

（ 4） 4x4 8x 2 4

(5) 2(x 2

y2 ) 2 8x 2 y2

（6） 10a(x-y)

2

－ 5b(y － x)

(7).a n+1－4an＋ 4an-1 (8).x

2

(2x － y) － 2x＋ y

(9).x(6x

－1) －1

(10).2ax － 10ay＋ 5by ＋ 6x

2

1

2

2

2

(11).1 － a － ab－4 b

(12).(x

＋ x)(x ＋ x－ 3) ＋2

1

1

7、已知 x+y=1, 那么 2 x 2+xy+ 2

y 2 的值为 _______.

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a 的个数是 ( )

全等三角形讲义讲义

8、若│m- 1│+y2=_______.

( n

5) 2 =0,m=_______,n=______, 此 将 m x 2-n y 2 分解因式得 m x 2-n

9、已知 a+b=5,ab=3, 求代数式 a3b-2 a 2 b 2+a b 2 的 .

(1) 因式分解 (ac+bd)-(bc+ad)

(2) 利用 (1) 題，求 (567 ×565+562×561) -(56 2×565+567×561) 之

10. 已知 m 2 n 2 ， n2

m 2 m

n ，求 m3

2mn

n3 ．

14. 以下因式分解的 程，再回答所提出的 ：

1+x+x(x+1)+x(x+1)2=(1+x)[1+x+x(x+1)] =(1+x)2(1+x) =(1+x)3 (1) 上述分解因式的方法是

，共 用了

2008

次 .

， 需 用上述方法

(2) 若分解 1+x+x(x+1)+x(x+1) 是. .

六：分 分解法：

22

a 1 b 2ab ； （1）

2+⋯ + x

x 1

次， 果

x2 2xy y 2 2x 2 y 1；

a2 4a 4 b2

（ 2） 已知正数 a、 b、 c 足 ab+a+b=bc+b+c=ca+c+a=3 ，求（ a+1）（ b+1）（ c+1）的 。七、 的十字相乘法（也许拓展）

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全等三角形讲义讲义

第六部分： 小结及补充练习 1、图①是一个边长为

( m n) 的正方形，小颖将

←

m

n

m

n

图①中的阴影部分拼成图②的形状，由图①和图②

能考据的式子是（

）

m

→← →

n

图①

图②

A． (m n)2 C． (m n) 2

(m 2mn

n)2 4mn m2 n2

B D

． (m n)2 ． (m

(m2 n2 ) 2mn n) m2 n2

【答案】 B

n)(m

2、如图，边长为 ( m+3) 的正方形纸片剪出一个边长为

矩形 ( 不重叠无缝隙 ) ，若拼成的矩形一边长为 A． 2m+3

C． +3

m 的正方形此后余部分又剪拼成一个

3，则另一边长是（

）

m

B． 2m+6

D． +6

m

+3 m

3

m

(第8题)

【答案】 A

3、有若干面积分虽为 a2 ,b2 , ab 的正方形和长方形纸片，阳阳从中抽取了 1 面积为 a2 的正

方形纸片， 4 面积为 ab 的长方形纸片，若他想拼成一个大正方形，则还需要抽取面积

为 b 2 的正方形纸片 A． 2

【答案】 B

B．4 C． 6 D． 8

4、如图，在边长为 a 的正方形中，剪去一个边长为 b 的小正方形（ a＞b） , 将余下部分拼

成一个梯形，依照两个图形阴影部分面积的关系，能够获取一个关于 A. a C. a2

2

2

a、b 的恒等式为

b b2

a2 (a

2ab b2 B. b)( a b) D.

a b

a2 2ab b2 b)

a2 ab a(a

【答案】 C

5、将图甲中阴影部分的小长方形变换到图乙地址，你能依照两个图形的面积关系获取的数

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全等三角形讲义讲义

学公式是

．

22 aabab【答案】（＋）（－）＝ b ．

6、（ a+b）（ a2－ab+b2） =a3－ a2b+ab2+a2b－ab2+b3=a3+b3，即（ a+b）（ a2－ ab+b2） =a3+b3．

我 把等式①叫做多 式乘法的立方公式。

以下 用 个立方公式 行的 形不正确 的是

．．．

（ A）（ x+4y）（ x2－ 4xy+16y2）=x3+y3 （ B）（ 2x+y）（ 4x2－ 2xy+y2） =8x3 +y3 （ C）（ a+1）（ a2＋ a+1） =a3+1

（ D） x3+27=（ x+3）（ x2－ 3x+9）【答案】 D 7、已知 P

A.P Q

8、 察等式：① 9

7 m 1, Q m 15

B.

2

8

m （ m 任意 数） ， P、Q的大小关系 （

）

15

C.

P Q P Q

D.

不能够确

定

【答案】 C

1 2

4，② 25

1 4 6 ，③ 49

1 6 8

2 n

⋯依照 种 律写出第

n 个等式：

． 【答案】

1 2 1 2

n

n 个 案用

(2 2)

n

9、如 ，用火柴 出一列正方形 案，若按 种方式 下去， 出第

根

火柴棍（用含

n 的代数式表示）

【答案】 2n( n＋ 1)

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