含参数不等式恒成立问题的求解方法(教师版)

含参数不等式恒成立问题的求解方法

含参数函数、不等式的恒成立问题越来越受到高考命题者的青睐，由于课标高考对导数应用要求加强。这些不等式的恒成立问题往往与导数问题交织在一起，近几年的高考试题中不难看出这个基本的命题趋势。对含参数的不等式，其解题策略主要有：分离参数法、主参换位法、数形结合法、函数性质法、导数分析法、最值定位法、构造函数法等.

一、分离参数法

分离参数法是解决含参数问题的基本方法之一，对待含参数的不等式问题在能够判断出参数的系数正负的情况下，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，只要研究变量表达式的性质就可以解决问题.

例1、 已知函数fx124a在,1上有意义，则a取值范围是 .

xx分析：函数fx在,1上有意义，等价于124a0在区间,1上恒成立，这里参数

xx的系数4>0,故可以分离参数.

解：函数fx在,1上有意义，等价于124a0在区间,1上恒成立，即

xxx1x1x1x1xa，x,1恒成立. 记gx,x,1，因为gx在

4242,1上是增函数，因此gx的最大值是g1. 所以agxmaxg14, 于是a的取值范围

为,. 答案：,.

例2、 已知函数fxm223,mR.

xx33434（1）当m9时，求满足fx1fx的实数x的取值范围；

9（2）若fx对任意的xR恒成立，求实数m的范围；

2 （3）若存在m使fxa对任意的xR恒成立，其中a为大于1的正整数，求a的最小

xx值.

解：（1）当m9时， fx1fx，也就是182639223,所以

xxxx39392430,即,所以x2.

242xxx23x939（2）fx对任意的xR恒成立，等价于m211对

4222xxx2 1

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任意的xR恒成立，所以m1.

（3）存在m使fxax对任意的xR恒成立等价于

xxxxa33am22对任意的xR恒成立，所以只要

4223xxx3aahx2为增函数即可，即函数y2为增函数，因为a为大于1的正整

233数，所以amin4.

点评：afx恒成立等价于afxmax,afx恒成立等价于afxmin.利用分离参数法解决求解不等式恒成立问题，前提条件是参数较易从变量中分离出来，基本的解题步骤一般分三步：（1）分离参数，得到afx（afx）；（2）求函数的最值，得到fxmaxmfxminn; （3）极端原理，即aman，把不等式的恒成立问题转化为求函数的最值问题.

二、数性结合法

数性结合法是一种重要的数学思想方法，其要点是：见数思形，以形附数，已达到解决问题的目的，数性结合法是解决含参数不等式恒成立问题的一种重要方法.

例3、若不等式3x2logax0在x0,内恒成立，求实数a的取值范围。

13解：由题意知：3x2logax在x0,内恒成立， 在同一坐标系内，分别作出函数y3x和ylogax

观察两函数图象，当x0,时，若a1函数ylogax的图象显然在函数y3x图象的下方，所以不成立；

当0a1时，由图可知，ylogax的图象必须过点,或在这个点的上方，则，loga221313113311 33a111 1a 综上得：1a 2727272x例4、已知a0,a1,f(x)xa,当x(1,1)时,有f(x)解：由f(x)xa2x1恒成立，求实数a的取值范围。 211，得x2ax，在同一直角坐标系中做出两个函数的图象，如22 2

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11a及(1)2a1得到a分别等于2221x1x2x和0.5，并作出函数y2及y()的图象，所以，要想使函数xa在区间x(1,1)2212中恒成立，只须y2x在区间x(1,1)对应的图象在yx在区间x(1,1)对应图象

2果两个函数分别在x=-1和x=1处相交，则由12的上面即可。当a1时,只有a2才能保证，而0a1时，只有a1才可以，所以21a[,1)(1,2]。

2点评：对一些不等式两边均是式子且函数模型较明显，函数图象较容易作出的问题，可考虑作出函数图象，利用函数图象的直观性解决函数、不等式恒成立问题.

三、函数性质法

对于涉及抽象函数或较为复杂的函数的恒成立问题，要充分利用函数的性质，必要时可利用导数工具分析函数的单调性，通过单调性的分析确立函数值的变化情况，找到参数满足的不等式，使问题的到解决.

例5、函数fx的定义域为R,，对于任意实数x1,x2，都有fx1x2fx1fx2，当x0时，fx0，且不等式fcos23f4m2mcos0对所有恒成立，求实数m的取值范围.

解：令x1x20，则f0f00f0f0，所以f00.

由题意，对于任意实数xR，f0fxxfxfx0，即fxfx，故fx是奇函数.

对于任意实数x1x2R，则x2x10，所以fx2x1fx2fx10， 即fx2fx1，则fx是增函数.

由题意，得fcos23f4m2mcosf2mcos4m，

又fx是增函数，则原不等式等价于cos232mcos4m对所有恒成立，分离参数，

2cos22cos22得m的最大值是422，故实数m2cos4，由于2cos2cos2cos的取值范围是422, 例6、已知函数fxax33211x1（xR，其中a0），若在区间,上，fx0 222恒成立，求a的取值范围.

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解：fx3ax23x3xax1，令fx0，解得x0或x以下分两种情况讨论： ①若

1. a11，则0a2，当x变化时，fx,fx的变化情况如下表所示 a2 x fx fx 当x12,0 + 0 0 极大值 10, 2- 5a1110 ,时，fx0等价于 f0 即 8222 f0 解得5a5，因此0a2 ②①若0125a0. 811，则a2，当x变化时，fx,fx的变化情况如下表所示 a2x 10 1111 ,00,, a2aa2fx + 0 极大值 - 0 极小值 + fx 当x5a1110 ,时，fx0等价于 f0 即 8222110 120.

2aa f解得

22a5或a（舍去），因此2a5 22综合①②，可知a的取值范围为0,5.

点评：利用函数性质法求解恒成立问题，主要的解题步骤是研究函数的性质，根据函数的奇偶性，周期性，对称性，单调性等性质，找到参数满足的不等式. 在对于复杂函数的单调性讨论时往往要用到导数， 其一般的解题思路是先通过对函数求导，判断导函数的符号，从而确定函数再所给区间上的单调性，找到在指定区间上函数值的变化趋势，通过函数值的变化趋势，根据区间的端点值、函数的极值确定参数

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所满足的不等式或不等式组，基本的数学思想是等价转化.

四、构造函数法

有些不等式恒成立问题可以和函数建立直接联系，通过构造函数式，利用函数的有关性质解决问题.

2例7、若不等式2x1mx1对满足m2的所有m都成立，求x的取值范围。 2解：构造函数fmmx12x1，对满足m2的m，fm0恒成立，

2x212x10f201713 解得： x222f202x12x10例8、已知函数fxax取值范围.

解：令gxfxlnxaxa112a（a0），若fxlnx在1,上恒成立，求a的xa112alnx，x1,， x1aax1xa11ax2xa1a则g10，gxa2， 22xxxx① 当

1a11a1a1，即0a时，若1x，则gx0，gx在1,上是减函数， a2aa所以存在x1,使gxg10，即fxlnx，故fxlnx在1,上不恒成立. ② 当

1a11，即a时，若x1，则gx0，gx在1,上是减增函数， a2所以存gxg10，即fxlnx，故fxlnx在1,上不恒成立. 综上所述，所求a的取值范围为,.

点评：对于fxgx型或fxgx型含参数的不等式的恒成立问题，在不等号两边的表达式形式较为复杂的情况下，可以考虑通过构造函数Fxfxgx，然后根据这个函数在指定区间上的性质，得到关于参数的不等式

最值定位法

五、最值定位法

有些不等式的恒成立问题需要根据不等式两端的最值进行定位，转换为不等式两端的最值之间的不等式，确立参数所满足的不等式，从而求解参数的范围.

12例9、已知函数fxlnx13x1，gxx22bx4，若对任意x10,2，44xx21,2，不等式fx1gx2恒成立，求实数b的取值范围.

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分析：问题等价于fminx1gmaxx2,x10,2,x21,2

131134xx231，所以fx2解：因为fxlnxx，令fx0， 244xx44x4x得x24x30，解得1x3，故函数fx的单调递增区间是1,3，单调递减区间是0,1和

3,，故在区间0,2上，fminxf11.

2对于函数gxx22bx4xbb24，x1,2

2当b1时，gmaxxg12b5. 当1b2时，gmaxxgbb24. 当b2时，gmaxxg24b8.

故问题等价于 b1 或 1b2 或 b2

 解得b1112b5 b24 4b8 2221414，综上所述，所求b的取值范围为,. 22 点评：对于任意的x1a,b，x2m,n，不等式fx1gx2恒成立，等价于函数fx在

区间a,b上的最小值大于或等于函数gx在区间m,n上的最大值，确立参数所满足的不等式，从而求解参数的范围.

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含参数不等式恒成立问题的求解方法训练题

1、当x1,2时，不等式x1logax恒成立，则a的取值范围是 2提示：数形结合，答案1,2

2、若当P(m,n)为圆x2(y1)21上任意一点时，不等式mnc0恒成立，则c的取值范围是（ ） A.12c21 B.21c21

21

C.c21 D.c答案：D

3、已知函数fxlgx解：根据题意得：x2a2，若对任意x2,恒有fx0，试确定a的取值范围. xa21在x2,上恒成立， x即：ax3x在x2,上恒成立，

392设fxx3x，则fxx

24当x2时，fxmax2 所以a2

x2x 4、已知x,1时，不等式12aa40恒成立，求a的取值范围。

2解：令2t，

xx,1 t0,2 所以原不等式可化为：a2at1， 2t要使上式在t0,2上恒成立，只须求出ftt1在t0,2上的最小值即可. 2tt111111ft2

tttt24ftminf22211, t233132 aa a 442225、若x2,2时，不等式xax3a恒成立，求a的取值范围.

解：设fxxax3a，则问题转化为当x2,2时，fx的最小值非负.

2（1） 当a72即：a4时，fxminf273a0 a又a4所以a不存在； 23 7

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aa2a（2） 当22即：4a4时，fxminf3a0 6a2 又

2244a4 4a2 a（3） 当2 即：a4时，fxminf27a0 a7又a47a4

2综上所得：7a2

6、当x,3时，logax1恒成立，求实数a的取值范围. 解：

131logax1

a3111（1） 当a1时，xa，则问题转化为,3,a 11 a3

a3aa31a111130a （2） 当0a1时，ax，则问题转化为,3a,a33a13a综上所得：0a1或a3 327、若不等式(m1)x(m1)x20的解集是R，求m的范围.

解：要想应用上面的结论，就得保证是二次的，才有判别式，但二次项系数含有参数m，所以

要讨论m-1是否是0.

（1）当m-1=0时，元不等式化为2>0恒成立，满足题意； （2）m10时，只需m10(m1)8(m1)022，所以，m[1,9).

8、在ABC中，已知f(B)4sinBsin(数m的范围. 解析：由

4B)cos2B,且|f(B)m|2恒成立，求实2Bf(B)4siBsni2(n)co2Bs2siBn1,0B,siBn(0,1]，

42f(B)(1,3]，|f(B)m|2恒成立，2f(B)m2，

mf(B)2即恒成立，m(1,3]

mf(B)29、（1）求使不等式asinxcosx,x[0,]恒成立的实数a的范围.

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解析：由于函asinxcosx2sin(x3),x[,]，

4444显然函数有最大值2，a（2）求使不等式asinxcosx,x2.

(0,)恒成立的实数a的范围。

42解析：我们首先要认真对比上面两个例题的区别，主要在于自变量的取值范围的变化， 这样使得ysinxcosx的最大值取不到2，即a取2也满足条件，所以a 10、已知函数fxxlnx （1）求fx的最小值；

（2）若对所有x1都有fxax1，求实数a的取值范围. 答案：（1）当x2.

11时，fx取最小值；（2）a,1 ee2 11、已知函数fx1x2ln1x （1）求fx的单调区间；

（2）若对任意的x1,e1时，不等式fxm恒成立，求实数m的范围. 答案：（1）函数的递增区间为0,，递减区间为1,0

（2）me2时，不等式fxm恒成立

21e 9