六年级奥数列方程解应用题含答案

知识框架

方程，是一种顺向的“程序”，即设出未知数之后，完全可以根据题目叙述，把各个量翻译出来，找出等量关系划等号即可.

一、 列方程解应用题的要点

（1） 设出

用哪个未知量表示题目中提到的其他量比较方便，就选择哪个未知量作为未知数. 如果只设一个不能进行有效的表达，就再设一两个. （2） 翻译

用设出的未知数，逐个对应地翻译题目中提到的其他各个量. （3） 等量

按照题目所述，找出并构建等量关系.

等量中很容易忽视的是“不变量”和“相同量”，一定要敏感.

【提示】有时虽然设出未知数之后等式列出来了，但方程不好解. 此时，可考虑重设未知数、重列方 程或采取其他方法，甚至可以考虑先把问题的目标表达式找出来，“设而不求”——不占而屈人之兵.

二、 列方程解应用题的优势和局限性

关系比较复杂的问题，使用方程，通常可以达到事半功倍的效果.

但需要注意的是，方程“单飞”有时无力，需要结合线段图、列表法等，能够发挥更加明显的作用.

重难点

（1） 重点：未知数的选设，其他量的表达，等量关系的寻找

（2） 难点：未知数的选设，等量关系的寻找，不定方程和不定方程组解的讨论

例题精讲

一、 列一般方程解应用题

【例 1】 已知足球、篮球、排球三种球平均每个35元.篮球比排球每个贵10元，足球比排球每个贵8元.

问：每个篮球多少元？

【考点】列方程解应用题 【难度】1星 【题型】解答

【解析】 设每个排球x元，则每个篮球为x+10元，每个足球x+8元，由已知列方程：

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x+x+8+x+10=35×3， 解得x=29.

所以每个篮球x+10=29+10=39元.

【答案】29

【巩固】 有一些糖，每人分5块多10块；如果现有的人数增加到原人数的1.5倍，那么每人4块就少2

块.问这些糖共有多少块?

【考点】列方程解应用题 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 设开始共有x人，

5x+10=4×1.5x-2， 解得x=12，

所以这些糖共有12×5+10=70块．

【答案】70

【例 2】 一个分数 ，分子与分母的和是122，如果分子、分母郡减去19，得到的分数约简后是 ．那

么原来的分数是多少?

【考点】列方程解应用题 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 方法一：设这个分数为

15a19a191a==,，则分子、分母都减去19为

(122a)19103a5122a33 即5a-95=103-a,解得a33,则122-33=．所以原来的分数是

方法二：设这个分数为变化后为

aa19，那么原来这个分数为，并且有5a5a1933． (a19)(5a19)=122, ，解得.=14．所以原来的分数是

【答案】

33 被8除后余7，最后得到的一个商是a．如下右图中的短除式表明：这个自然数被17除余4，所得的商被17除余15，最后得到的一个商是a的2倍．求这个自然数．

【巩固】 如下左图中的短除式所示，一个自然数被8除余1，所得的商被8除余1，再把第二次所得的商

【考点】列方程解应用题 【难度】2星 【题型】解答

【解析】 由题意知8a78181172a174,整理得512a+457=578a+259，即66a=198，

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a=3．

于是，[(80+1)×8+1]× 8+1=1993．

【答案】1993

【例 3】 一条船往返于甲、乙两港之间，由甲至乙是顺水行驶，由乙至甲是逆水行驶.已知船在静水中的

速度为8千米/时，平时逆行与顺行所用的时间比为2∶1.某天恰逢暴雨，水流速度为原来的2倍，这条船往返共用9时.问：甲、乙两港相距多少千米？

【考点】列方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 设甲、乙两港相距x千米，原来水流速度为a千米/时根据题意可知，逆水速度与顺水速度的比为

2∶1，即

（8-a）∶（8＋a）＝1∶2，于是有8+a=2(8-a),解得a=

8 3再根据暴雨天水流速度变为2a千米/时，则有

xx9

82a82a把a=

8代入，得3x8823x88239

解得x=20.

【答案】20

【巩固】 如图，沿着边长为90米的正方形，按逆时针方向，甲从A出发，

每分钟走65米，乙从B出发，每分钟走72米.当乙第一次追上甲时在 正方形的哪一条边上？

【考点】列方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 设追上甲时乙走了x分.依题意，甲在乙前方3×90=270（米），故有72x＝65x+270.解得

x2702701在这段时间内乙走了722777（米）.由于正方形边长为90米，共四条边，故由 7.77，

可以推算出这时甲和乙应在正方形的DA边上. 【答案】DA边上

二、 列一般方程组解应用题

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【例 4】 用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身16个，或制盒底43个，一个盒身和两个盒底配成一个

罐头盒，现有150张铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底，才能使盒身与盒底正好配套？

【考点】列方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 设用x张铁皮制盒身，y张铁皮制盒底.

xy150  解得

16x243y【答案】86；

x86 y所以86张铁皮制盒身，张铁皮制盒底.

【巩固】 运来三车苹果，甲车比乙车多4箱，乙车比丙车多4箱，甲车比乙车每箱少3个苹果，乙车比丙

车每箱少5个苹果，甲车比乙车总共多3个苹果，乙车比丙车总共多5个苹果，这三车苹果共有多少个?

【考点】列方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 设乙车运x箱，每箱装y个苹果，列表如下：

车别 箱数 每箱苹果数 根据上表可列出如下方程组： （x+4）（y-3）-xy=3 xy-（x-4）（y+5）=5

化简为： 4y-3x=15, ①

 5x-4y=15,

甲 x＋4 y－3 乙 x y 丙 x－4 y＋5 ②

①+②，得：2x=30，于是x=15． 将x=15代人①或②，可得：y=15．

所以甲车运19箱，每箱12个；乙车运15箱，每箱15个；丙车运11箱，每箱20个． 三车苹果的总数是：12×19＋15×15＋20×11=673(个)．

【答案】673

【例 5】 有甲、乙、丙、丁4人，每3个人的平均年龄加上余下一人的年龄分别为29，23，2l和17．这

4人中最大年龄与最小年龄的差是多少?

【考点】列方程解应用题 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 设这些人中的年龄从大到小依次为x、y、z、w，

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①+②+③十④得：2(x+y+z+w)=90， 则

xyzw=15…………………………………………⑤

32x14 , x=21； 32z2， z=3； 3①-⑤得：

④-⑤得：

所以最大年龄与最小年龄的差为xw =21—3=18(岁) 【答案】18

三、 列不定方程或不定方程组解应用题

【例 6】 新发行的一套邮票共3枚，面值分别为20分、40分和50分，小明花5.00元买了15张.问：其

中三种面值的邮票各多少张？

【考点】列方程解应用题 【难度】2星 【题型】解答

【解析】 根据题意，设面值20分的x张，面值40分的y张，面值50分的z张，可列方程得

x6xyz15解得y7 20x40y50z500z2所以20分的6张，40分的7张，50分的2张

【答案】6；7；2

【巩固】 某次数学竞赛准备了22支铅笔作为奖品发给获得一、二、三等奖的学生，原计划一等奖每人发

6支，二等奖每人发3支，三等奖每人发2支.后来又改为一等奖每人发9支，二等奖每人发4支，三等奖每人发1支.问：获一、二、三等奖的学生各几人？

【考点】列方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 根据题意，设一等奖x人，二等奖y人，三等奖z人，可列方程得

x16x3y2z22解得y2 9x4yz22z5所以，一等奖1人，二等奖2人，三等奖5人.

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【答案】1；2；5

【例 7】 工程队要铺设78米长的地下排水管道，仓库中有3米和5米长的两种管子.问：可以有多少种不

同取法？

【考点】列方程解应用题 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 根据题意，设3米管子x根，5米管子y根，可列方程得3x5y78

x26x21x16x11x6x1解得或或或或或

y9y0y12y3y6y15所以共有6种取法.

【答案】6

【巩固】 用1分、2分和5分硬币凑成1元钱，共有多少种不同的凑法？ 【考点】列方程解应用题 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 根据题意，设5分有x个，2分有y个，1分有z个，可列方程得

5x2yz100

5分取20个，有1种.

5分取19个，2分有3种取法（2个、1个、0个），共3种. 5分取18个，共6种.（同上） 5分取17个，共8种. 5分取16个，共11种. ......

根据规律不难求出共有

1+3+6+8+11+13+16+18+21+23+26+28+31+33+36+38+41+43+46+48+51 =18+58+98+138+178+51 =490+51 =541

【答案】541

【例 8】 某单位的职工到郊外植树，其中有男职工，也有女职工，并且有寺的职工各带一个孩子参加．男

职工每人种13棵树，女职工每人种10棵树，每个孩子种6棵树，他们一共种了216棵树．那么其中有多少名男职工?

【考点】列方程解应用题 【难度】4星 【题型】解答

【解析】 设男职工x人，孩子y人，则女职工3y-x人(注意，为何设孩子数为y人，而不是设女工为y人)，

那么有13x103yx6y=216，化简为3x36y=216，即x12y=72．

x12x24x36x48x60有. y5y4y3y2y1

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x12但是，女职工人数为3yx必须是自然数，所以只有时，3yx3满足．

y5那么男职工数只能为12名.

【答案】12

【巩固】 一居民要装修房屋，买来长0.7米和O.8米的两种木条各若干根．如果从这些木条中取出一些接

起来，可以得到许多种长度的木条，例如：O.7+O.7=1.4米，0.7+0.8=1.5米．那么在3.6米、3.8米、3.4米、3.9米、3.7米这5种长度中，哪种是不可能通过这些木条的恰当拼接而实现的?

【考点】列方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 设0.7米，0.8米两种木条分别x，y根，则0.7x+0.8y=3.4，3.6……，即7x+8y=34，36，37，

38，39. 将系数，常数对7取模，有y≡6，l，2，3，4(mod 7)，于是y最小分别取6,1,2，3，4．但是当y取6时，8×6=48超过34，x无法取值．

所以3.4米是不可能通过这些木条的恰当拼接而实现的．

【答案】3.4

【例 9】 某人在公路上行走，往返公共汽车每隔4分就有一辆与此人迎面相遇，每隔6分就有一辆从背

后超过此人.如果人与汽车均为匀速运动，那么汽车站每隔几分发一班车？

【考点】列方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 设汽车站每隔x分发一班车，某人的速度是v1，汽车的速度为v2，依题意得

由①、②，得

将③代入①，得

x＝4.8

所以汽车站每隔4.8分钟发一班车 【答案】4.8

【巩固】 某地收取电费的标准是：若每月用电不超过50千瓦时，则每千瓦时收5角；若超过50千瓦时，

则超出部分按每千瓦时8角收费.某月甲用户比乙用户多交3元3角电费，这个月甲、乙各用了多少千瓦时电？

【考点】列方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答

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【解析】 根据题意可知，因为3元3角既不是5角的整数倍，也不是8角的整数倍.所以甲用的电超过50

千瓦时，乙用的电没有超过50千瓦时，设甲用的电超过50千瓦时的部分为x千瓦时电，乙用的电与50千瓦时相差y千瓦时电，可列方程得8x5y33解得x1 y5所以甲用了50+1=51（千瓦时）的电，乙用了50-5=45（千万时）的电.

【答案】51；45

【例 10】 某校师生为贫困地区捐款1995元．这个学校共有35名教师，14个教学班．各班学生人数相同

且多于30人不超过45人．如果平均每人捐款的钱数是整数，那么平均每人捐款多少元？

【考点】列方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 设每班有a(30＜a≤45)名学生，每人平均捐款x元(x是整数)，依题意有：x(14a+35)=1995．于是

14a+35|1995．又3l＜a≤45，所以469＜14a+35≤665，而1995=3×5×7×19，在469与665之间它的约数仅有665，故14a+35=665，x=3，平均每人捐款3元．

【答案】3

【巩固】 一次数学竞赛有A、B、C三道题，25名参赛者每人至少答对了一题．在所有没有答对A的

学生中，答对B的人数是答对C的人数的两倍，只答对问题A的人数比既答对A又至少答对其他一题的人数多1．又已知在所有恰好答对一题的参赛者中，有一半没有答对A．请问有多少学生只答对B?

【考点】列方程解应用题 【难度】4星 【题型】解答

【解析】 设不只答对A的为x人，仅答对B的为y人，没有答对A但答对B与C的为z人．

25xy 解得：3，

z233xyz,x6,

x=7时，y、z都是正整数，所以x7,y6,z2. 故只答对B的有6人． 【答案】6

课堂检测

【随练1】 有一队伍以1.4米/秒的速度行军，末尾有一通讯员因事要通知排头，于是以2.6米/秒的速度从

末尾赶到排头并立即返回排尾，共用了10分50秒.问：队伍有多长？

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【考点】经济问题 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 设通讯员从末尾赶到排头用了x秒，依题意得

2.6x-1.4x=2.6（650-x）+1.4（650-x）

解得x＝500

所以队伍长为（2.6-1.4）×500=600（米）

【答案】600

【随练2】 六（1）班举行一次数学测验，采用5级计分制（5分最高，4分次之，以此类推）.男生的平均

成绩为4分，女生的平均成绩为3.25分，而全班的平均成绩为3.6分.如果该班的人数多于30人，少于50人，那么有多少男生和多少女生参加了测验？

【考点】列方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 设该班有x个男生和y个女生，于是有

4x+3.25y=3.6（x+y），

化简后得8x=7y.从而全班共有学生

在大于30小于50的自然数中，只有45可被15整除，所以

推知x＝21，y=24. 【答案】21；24

【随练3】 (1)将50分拆成10个质数之和，要求其中最大的质数尽可能大，则这个最大质数是多少?

(2)将60分拆成10个质数之和，要求其中最大的质数尽可能小，则这个最大的质数是多少?

【考点】列方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 (1)首先确定这10个质数或其中的几个质数可以相等，不然10个互不相等的质数和最小为

2+3+5+7+11+13+17+19+23+29，显然大于50． 所以，其中一定可以有某几个质数相等． 欲使最大的质数尽可能大，那么应使最小的质数尽可能小，最小的质数为2，且最多可有9个2，那么最大质数不超过50—2×9=32，而不超过32的最大质数为31． 又有502228个22331，所以满足条件的最大质数为31．

(2)最大的质数必大于5，否则10个质数的之和将不大于50． 所以最大的质数最小为7，为使和为60，所以尽可能的含有多个7． 60÷7=8……4，60=7+7+7+8个7+7+4，而4=2+2，恰好有60=7+7+7+8个7+7+2+2．即8个7与

2个2的和为60，显然其中最大的质数最小为7．

【答案】31；7

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【随练4】 在同一路线上有4个人：第一个人坐汽车，第二个人开摩托车，第三个人乘助力车，第四个人

骑自行车，各种车的速度是固定的，坐汽车的12时追上乘助力车的，14时遇到骑自行车的，而开摩托车的相遇是16时．开摩托车的遇到乘助力车的是17时，并在18时追上了骑自行车的，问骑自行车的几时遇见乘助车的?

【考点】经济问题 【难度】4星 【题型】解答

【解析】 设汽车、摩托车、助力车、自行车的速度分别为a，b，c，d，设在12时骑自行车的与坐汽车的

距离为x，骑自行车的与开摩托车的之间的距离为y．有

(①+③)×2一(②+④)，得 3x10(cd)，即x

10(cd) 3101，所以t15． 33 设骑自行车的在t时遇见骑助力车的，则 x(t12)(cd),即t12 所以骑自行车的在15时20分遇见骑助力车的． 【答案】15时20分

家庭作业

【作业1】 甲、乙、丙、丁四人今年分别是16、12、11、9岁.问：多少年前，甲、乙的年龄和是丙、丁年

龄和的2倍？

【考点】列方程解应用题 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 设x年前，甲乙的年龄和是丙、丁年龄和的2倍.

16+12-2x=2×(11+9-2x), 解得x=6.

所以，6年前，甲、乙的年龄和是丙、丁年龄和的2倍.

【答案】6

【作业2】 铁路旁的一条与铁路平行的小路上，有一行人与骑车人同时向南行进，行人速度为3.6千米/时，

骑车人速度为10.8千米/时，这时有一列火车从他们背后开过来，火车通过行人用22秒，通过骑车人用26秒，这列火车的车身总长是多少？

【考点】列方程解应用题 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 设这列火车的速度是x米/秒，依题意列方程，得

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（x-1）×22=（x-3）×26. 解得x=14.所以火车的车身长为

（14-1）×22=286（米）.

【答案】286

【作业3】 小明玩套圈游戏，套中小鸡一次得9分，套中小猴得5分，套中小狗得2分.小明共套了10次，

每次都套中了，每个小玩具都至少被套中一次，小明套10次共得61分.问：小明至多套中小鸡几次？

【考点】列方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 设套中小鸡x次，套中小猴y次，则套中小狗（10-x-y）次.根据得61分可列方程 9x+5y+2（10-x-y）=61， 化简后得7x=41－3y.

显然y越小，x越大.将y=1代入得7x=38，无整数解；若y=2，7x=35，解得x=5. 【答案】5

【作业4】 袋子里有三种球，分别标有数字2，3和5，小明从中摸出几个球，它们的数字之和是43.问：小

明最多摸出几个标有数字2的球？

【考点】列方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 根据题意，设摸出标有数字2的x个，摸出标有数字3的y个，摸出标有数字5的z个，可列方

程得2x3y5z43，x最大为所求.

x20解得y1所以，摸出标有数字2的最多为20个.

z0【答案】20

【作业5】 小花狗和波斯猫是一对好朋友，它们在早晚见面时总要叫上几声表示问候.若是早晨见面，小花

狗叫两声，波斯猫叫一声；若是晚上见面，小花狗叫两声，波斯猫叫三声.细心的小娟对它们的叫声统计了15天，发现它们并不是每天早晚都见面，在这15天内它们共叫了61声.问：波斯猫至少叫了多少声？

【考点】列方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 根据题意，设白天见面的次数为x，晚上见面的次数为y，可列方程得

3x5y61

白天见面最多时，波斯猫叫声最少.即x最大为所求. 解得【答案】27

【作业6】 小明买红、蓝两支笔，共用了17元．两种笔的单价都是整数元，并且红笔比蓝笔贵．小强打算

用35元来买这两种笔(也允许只买其中一种)，可是他无论怎么买，都不能把35元恰好用完．那

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x12所以，波斯猫至少叫125327（声）.

y5么红笔的单价是多少元?

【考点】列方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 如下表

先枚举出1．

再依次考虑：

首先，不能出现35的约数．否则只买这种笔就可以刚好用完35元，所以含有7，5，1的组合不可能．然后，也不能出现35—17=18的约数．否则先各买一支需17元，那么再买这种笔就可以花去18元，一共花35元．所以含有9，6，3，2的组合也不可能．

所以，只有13+4的组合可能，经检验13x+4y=35这个不定方程确实无自然数解．所以红笔的单价为13元．

【答案】13

所有可能的单价如表

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