概率论与数理统计复习

概率统计综合复习一

一、填空：

1．已知P(A)0.3,P(B)0.5,P(A/B)0.2,则P(AB) _ ___。 2．设某批产品有4%是废品，而合格品中的75%是一等品，则任取一件产品是一等品的概率是 。

13．设P(A1)P(A2)P(A3)，且三事件A1,A2,A3相互，则三事件中至少发生一个

3的概率为 ，三事件中恰好发生一个的概率为 。 4．袋中装有1个黑球和2个白球，从中任取2个，则取得的黑球数X的分布函数

F(x) ，E(X) 。

5．设Xb(4,0.5),Y在区间[0,2] 上服从均匀分布，已知X与Y相互，则

D(X3Y) _ _。

6．设XN(2,2)，且P{X0}0.2,那么P{2X4} _ ___。 7．设随机变量X服从参数为2的泊松分布，用切比雪夫不等式估计：

P{X24} 。

8．设一批产品的某一指标XN(,2)，从中随机抽取容量为25的样本，测得样本方差的观测值s2100，则总体方差2的95%的置信区间为 。

二、单项选择：

1．甲、乙二人射击，A、B分别表示甲、乙击中目标，则AB表示（ ）。

A.两人都没击中 B.至少一人没击中 C.两人都击中 D.至少一人击中

2．设A,B为两个随机事件，且，则下列式子正确的是（ ）

A.P(AB)P(A) B.P(AB)P(A) C.P(B/A)P(B) D.P(BA)P(B)P(A) 3．设X1,X2,X3是来自总体N(,4)的样本，未知参数的下列无偏估计量中最有效的是 （ ）.

A.

11111122111X1X2X3 B. X1X3 C. X1X2X3 D. X1X2X3 424225553334．设某种电子管的寿命X，方差为D(X)a，则10个电子管的平均寿命X的方差D(X)是（ ） A．a B. 10a C. 0.1a D. 0.2a

5．在假设检验问题中，犯第一类错误是指（ ）

A．原假设H0成立，经检验接受H0 B．原假设H0成立，经检验拒绝H0 C．原假设H0不成立，经检验接受H0 D．原假设H0不成立，经检验拒绝H0 三、设一批混合麦种中一、二、三、四等品分别占60%、20%、15%、5%，，四个等级的发芽

率依次为,0.98，0.95，0.9，0.85 求：1．这批麦种的发芽率；2．若取一粒能发芽，它是二等品的概率是多少？

cx,0x1四、已知随机变量X的概率密度函数为f(x) ，求：

0,其它 1．常数c； 2．P{0.4X0.7}； 3．方差D(X)

2e(x2y),x0,y0五、设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数f(x,y) ，

0，其它 1．求X,Y的边缘密度函数；2．判断X,Y是否相互、是否不相关；3．求概率P{XY1}

(1)x,六、设总体X的密度函数为f(x)0,0x1其它，其中0是未知参数，

试求参数 的X1,X2,,Xn是从该总体中抽取的一个样本，x1,x2,,xn是其样本观测值，

最大似然估计量。

七、某电子元件的寿命（单位：小时）服从正态分布，从一批这样的元件中抽取16个样品，

测得样本均值为1050小时，样本标准差为100小时。在显著性水平  =0.05下，是否可以认为该批元件的平均寿命显著地大于1000小时？

111八、设A,B为随机事件，且P(A),P(B/A),P(A/B)，

4321,A发生,1,B发生,令X Y

0,A不发生;0,B不发生.求二维随机变量(X,Y)的联合分布律（列表）

概率统计综合复习二

一 、填空题：

1．已知P(A)0.4,P(B)0.5,P(B/A)0.75,则P(AB) = _ ___。 2．设X～N(3,2)，且P{X6}0.9,那么P{0X3} _ ___。 3．设X～b(3,0.5),Y在区间[0,6] 上服从均匀分布，已知X与Y相互，则D(2XY) =__ __。

4．设随机变量X服从参数为的泊松分布，且已知E[(X1)(X2)]1，则

= 。

5．某射击小组共有20名射手，其中一级射手4人，二级射手8人，三级射手8人；一、二、三级射手能通过选拔进入比赛的概率分别是0.9、0.7、0.4，任选一名射手能通过选拔进入比赛的概率为 。

1ex,x06．设总体X的分布函数 F(x) (0)，则X的密度函数

x00f(x) 。 且E(X) ，又X1,X2,,Xn为来

自X的样本，则的矩估计量是 。

7．设X1,X2,,Xn为一随机变量序列，若存在常数a，使对0，有 ，则称随机变量序列{Xn}依概率收敛于a。

ˆ是的两个无偏估计量，如果 ，则称ˆ较ˆ有效。 8．若ˆ1、212二 、单项选择题：

1. 设在每次试验中，事件A发生的概率为p(0p1)，q1p，则在n次重复试验

中，事件A至少发生一次的概率是（ ）

A、pn B、qn C、1pn D、1qn

2．设随机变量X服从正态分布N(,2)，则随的增大，概率PX （ ）

A、单调增大 B、单调减小 C、保持不变 D、非单调变化

3．设 X1,X2,,X9是从正态总体X～N(1,32)中抽取的一个样本，（ ）

则有 表示样本均值，

A、

B、

C、

D 、

三、某厂生产的每件产品直接出厂的概率为0.7，需进一步调试的概率为0.3；经调试后可出厂的概率为0.8，被认定不合格的概率为0.2。设每件产品的生产过程相互，试求该厂生产的m件产品，（1）全部能出厂的概率； (2) 其中至少有二件不能出厂的概率。

cey四、设随机变量X与Y的联合密度函数为f(x,y)00xy其它， .(1) 求常数 c ； (2) 求X与Y各自的边缘密度函数； (3) X与Y是否相互？为什么？ (4) 求P{XY2}。

五、已知二维随机变量(X,Y)的联合分布律， 求方差D(X)；写出Y的分布函数； 求相关系数XY，并判断X与Y是否不相关

Y X 0 1 -1 0.3 0.1 0 0.3 0.2 1 0 0.1 x1(0x1),六、设总体X的密度函数为f(x)，其中未知，X1,X2,,Xn是从该总

（其他）.0体中抽取的一个样本，试求 的最大似然估计。

七、 某电子产品的一个指标服从正态分布，从某天生产的产品中抽取16个产品，测得该指标

的样本均值为2.11，样本标准差为0.216。

(1) 取显著性水平  =0.05，是否可以认为该指标的平均值显著地大于2？

(2) 求该指标的方差的 0.95 的置信区间。

（t0.025(15)2.1315,t0.05(15)1.7531,t0.05(16)1.745920.025(15)27.488,20.975(15)6.262 ）

八、设X为连续型随机变量，若X的密度函数f(x)在x0时恒为零，且数学期望E(X)存在，

试证：对任意常数a （a0），有 P{Xa}

E(X) a

概率统计复习题三

一、填空题

1．已知P(A)111,P(B|A),P(A|B),则P(AB) ． 4322．设P(A)0.4，P(B)0.3，P(AB)0.6，则P(AB) ．

3．已知，A, B两个事件满足条件P(AB)P(AB)，且P(A)p，则P(B) 。 4．设A、B是随机事件，P(A)0.7，P(B)0.5，P(AB)0.3，则P(AB) ，

P(BA) ，P(B|A) ．

5．若BA，且P(A)11，P(B)，则P(B|A) ． 466．设A、B为随机事件，已知P(A)0.5，P(B)0.6，P(B|A)0.4，则

P(AB) ．

7．设A、B相互，P(A)0.6，0P(B)1，则P(A|B) ．

8．设一批产品有12件，其中2件次品，10件正品，现从这批产品中任取3件，若用X表示取出的3件产品中的次品件数，则PX2 ．

2x,0x1,9．设随机变量X的概率密度为f(x)用Y表示对X的3次重复观察

其他,0,1X中事件出现的次数，则PY2 。

210．设随机变量X的分布律为

X -2 0 2 P 0.4 0.3 0.3 E(X2) 。

11．设随机变量X的概率密度为

A,1xf(x)x3其他0,

则 A = 。

12．若二维随机变量（X, Y）的区域(x,y)|x2y2R2上服从均匀分布，则（X，Y）的密度函数为

13．设总体X~N(,2),X1,X2,,Xn是来自总体X的样本，则E(X) ，

D(X) 。

14．设(X1,X2,,Xn)是总体N(,2)的样本，则当常数k 时，

ˆk(XiX)2是参数2的无偏估计量． 2i1n15．设总体X~N(,2),2为已知，为未知，X1,X2,,Xn为来自总体的样本，则参数的置信度为1的置信区间为 。

16．设一次试验中事件A发生的概率为p，又若已知三次试验中A至少出现一次的概率等于

37，则p 。． 17．随机变量k在[0，5]上服从于均匀分布，则方程4x24KxK20有实根的概率为 。

A(1ex),x018．设随机变量X的分布函数为F(x) ，则A 。

0x0x10,0.4,1x119．设随机变量X的分布函数为F(x)，则X的分布律为 。

0.8,1x33x1,A20．连续型随机变量X的概率密度函数为(x)x2,x100则P{X90} 。

0,x10021．设随机变量X的分布律为P{Xk}1(k1,2,)，则P{X2} 。 k2122．设随机变量X的概率密度函数为f(x)x,1xe则其分布函数为

其他0,F(x) 。

Y~N(3,1)，23．已知随机变量X~N(1,1)，且X、则Z~ 。 ZX2Y，Y相互，

24．设X表示10次重复射击中命中目标的次数，每次命中目标的概率为0.4，则

E(X2)= 。

225．设X，Y相互，X~N(0,3)，Y~(2)，则D(3X2Y) 。

26．设nA是n次试验中事件A发生的次数，p是事件A在每次试验中发生的概率，则

nAlimP{|p|}= 。 对于任意的0，nn227．若X1，…，X10是取自总体X~N(10,10)样本，X为样本均值，则

X~ ．

228．设总体X~N(,2)，X1，X2，…，Xn是来自X的样本，未知，H0:20的检

验统计量为 。

29．设X1，X2，…，Xn是来自总体N(,2)，用2X2X1，X及X1作总体参数的估计

1量时，最有效的是 ．

30.设总体X~N(,2)，2未知，检验假设H0:0的检验统计量为 。 二、选择题

1．已知随机变量X服从二项分布,且E(X)2.4,D(X)1.68,则二项分布的参数

n,p的值为( ). (A)n4,p0.6; (B)n8,p0.3;

(C)n7,p0.3; (D)n5,p0.6.

2．设随机变量X~N(0,1),Y2X1,则Y服从（ ）．

（A）N(1,4); （B）N(0,1); （C）N(1,1); （D）N(1,2)．

3．设总体X~N(,2),X1,X2,,Xn是总体X的样本，下列结论不正确的是（ ）． （A）（C）

X/nXS/n~N(0,1)； （B）~t(n1)； （D）

12(Xi1i1ni)2~2(n1)； X)2~2(n1)．

12(Xi4．设总体X~N(,2),X1,X2,,Xn是来自总体X的样本，则P{X/n0.025}（ ）． （A）0.975； （B）0.025； （C）0.95； （D）0.05． 5. 设随机变量X,Y相互，X~N(0,1),Y~N(1,1)，则( ).

(A)P(XY0)1/2； (B)P(XY1)1/2； (C)P(XY0)1/2； (D)P(XY1)1/2．

6. 设(X1,X2,,Xn)为总体N(1,22)的一个样本，X为样本均值，则下列结论中正确的是（ ）。

1n（A）~t(n)； （B）(Xi1)2~F(n,1)；

4i12/nX11n（C）~N(0,1)； （D）(Xi1)2~2(n)

4i12/nX1

7．随机事件A和B相互，且P(A)，P(B)，则A和B中仅有一个发生的概率为（ ）． A．

561213B．

23C．

12D．

138．若AB互斥，且P(A)0，P(B)0，则下列式子成立的是（ ）．

A．P(A|B)P(A)

B．P(B|A)0

D．P(B|A)0

C．P(AB)P(A)P(B)

9．设P(A)0.6，P(B)0.8，P(B|A)0.8，则下列结论中正确的是（ ）．

A．事件A、B互不相容 C．事件A、B相互

B．事件A和B互逆 D．AB

10．设事件A、B互不相容，且P(A)p，P(B)q，则P(AB)（ ）．

A．q(1p)

B．q

C．0

D．pq

11．设随机变量X的概率密度函数f(x)A．

1

(1y2)1，则Y3X的概率密度函数为（ ）． 2(1x) B．

39 C．

(9y2)(9y2)D．

27

(9y2)12．设（X，Y）的联合密度函数为f(x,y)则A=（ ）． A．3

B．

13A(xy),0x1,0y2

0其他C．2 D．

12213．设随机变量X、Y相互，且X~N(1,12)，Y~N(2,2． )，则ZX2Y~（ ）

A．N(12,1222)

2C．N(122,1242)

2B．N(12,122)

2D．N(122,1222)

14．若X，Y满足D(XY)D(XY)，则必有（ ）．

A．X、Y相互 C．X、Y不相关

B．D(XY)D(XY)0

D．D(X)0

15．设总体X~N(2.42)，X1，X2，…，Xn是来自总体的样本，X为样本均值，则（ ）．

A．

X2~N(0,1) 4B．

X2X2X2~N(0,1) D．~N(0,1) C．~N(0,1)

124/n16．总体X~N(,2)，为已知，Xi(i1,2,,n)为来自X的样本，X、S2分别是样本均值和样本方差，则（ ）是统计量．

A．

X/n

(n1)S21n2B．(Xi) C． 2ni1 D．

S

217．设X~N(1,12)，Y~N(2,2)，X、Y相互，X1，X2，…，Xn和Y1，Y2，…，

1． Yn2分别为X和Y的样本，则有（ ）

A．XY~N(12,) B．XY~N(12,212212n122n2)  22122122XY~N12,C．XY~N12,nn D．n1n21218．设总体X~N(,12)，X1、X2是X的样本，则下式中不是总体参数的无偏估计量的是（ ）．

A．ˆ21113X13X2 B．ˆ212X12X2 C．ˆ13X15110X2

D．ˆ1344X14X2 19．设随机变量X和Y都服从标准正态分布,则( )

A. XY服从标准正态分布． B. X2Y2服从2分布． C. X2服从2分布． D. X2Y2服从F分布．

20．若随机变量X和Y的协方差Cov(X,Y)=0，则下列结论中正确的是（ A. X与Y相互； B. D(X+Y)=D(X)+D(Y)； C. D(X-Y)=D(X)－D(Y)； D. D(XY)=D(X)D(Y)。

）。