参数估计习题及答案

二、计算题

1、设总体X具有分布密度f(x;)(1)x,0x1，其中1是未知参数，

X1,X2,Xn为一个样本，试求参数的矩估计和极大似然估计.

解：（1）因E(X)x(α1)xdx(α1)xα1dx001a1α1a21α1 x|0α2α2ˆ1α令E(X)X

ˆ2αˆ2X1为的矩估计 α1Xxn)

（2）因似然函数L(x1,x2,xn;)(1)n(x1x2nnlnLnlnLnln(1)lnxi，由lnxi0得，

1i1i1ˆ(1的极大似量估计量为αnlnXi1n)

iex,x02、设总体X服从指数分布 f(x) ，X1,X2,Xn是来自X的样

其他0,本，（1）求未知参数的矩估计；（2）求的极大似然估计.

解：（1）由于E(X)1 ，令

1ni1X1ˆ1 ，故的矩估计为XX（2）似然函数L(x1,x2,,xn)ennxi

lnLnlnxii1dlnLnnxi0di1故的极大似然估计仍为

n

xi1ni1。 X,Xn为取自X的一组简单随机样本,

4、设总体X服从泊松分布P(), X1,X2,（1）求未知参数的矩估计；（2）求的极大似然估计.

ˆX，此为的矩估计。 解：（1）令E(X)X （2）P{Xxi}xixi!e,xi0,1,2,

n似然函数L(x1,x2,,xn)P{X1x1,,Xnxn}P{Xixi}i1nxii1enix!i1n

xidlnLlnLxilnnlnxi. i1n0di1i1nnnxi1ninx

故的极大似然估计仍为X。

P52

第七章 参数估计 ----点估计的评价标准

一、填空题

1、 设X1,X2,X3是取自总体X的一个样本，则下面三个均值估计量

ˆ1X1155X33111131ˆ2X1X2ˆ3X1X2X3都是总X2X3,u,u10234123412ˆ2 最有效. 体均值的无偏估计，则 2、 设X1,X2,Xn是取自总体N(0,2)的样本，则可以作为2的无偏估计量是( A ).

1n2A、Xi

ni11n2Xi B、n1i11nC、Xi

ni11nXi D、n1i1二、计算题

1、设X1,X2,Xn为从一总体中抽出的一组样本，总体均值已知，用

1n(Xi)2去估计总体方差2，它是否是2的无偏估计，应如何修改，n1i1才能成为无偏估计.

1n1nn22(X)]E(X)22 解：因E[iin1i1n1i1n11n1n22(Xi)不是的无偏估计.但(Xi)2是2的无偏估计. n1i1ni12、设X1,X2,Xn是来自总体N(,)的一个样本，若使C(Xi1Xi)2为22i1n1的无偏估计，求常数C的值。 解：

E[C(Xi1Xi)]C[E(Xi1Xi)2]2i1i1n1n1C[EXi1n12i1EX2EXi1EXi]C[222222]

2ii1n12(n1)C22C1

2(n1)P54

第七章 参数估计 ----区间估计

一、选择题

1、设总体X~N(,2)，2未知，设总体均值的置信度1的置信区间长度

l，那么l与a的关系为( A ).

A、a增大，l减小 C、a增大，l不变

B、a增大，l增大 D、a与l关系不确定

2、设总体X~N(,2)，且2已知，现在以置信度1~估计总体均值，下列做法中一定能使估计更精确的是( C ).

A、提高置信度1，增加样本容量 容量

C、降低置信度1，增加样本容量 容量

B、提高置信度1，减少样本D、降低置信度1，减少样本

二、计算题

3、某车间生产自行车中所用小钢球，从长期生产实践中得知钢球直径

X~N(,2)，现从某批产品里随机抽取6件，测得它们的直径(单位：mm)为：

14.6，15.1，14.9，14.8，15.2，15.1，置信度10.95(即0.05)

(1)若20.06，求的置信区间 (2)若2未知，求的置信区间 (3)求方差2，均方差的置信区间. 解：(1)2已知，则的置信区间为(xZ2n,xZ2n)，

n6,0.05,Z1.96

2代入则得的置信区间(14.75,15.15) (2)2未知，则的置信区间为(Xt2SS,Xt)，n6,0.05 nn2查表得t0.052.447，代入得的置信区间为(14.71,15.19)

2(3)

2(n1)S22~2(n1)

(n1)S2(n1)S2的置信区间(2,2)

(n1)(n1)2120.05,n6 代入得2的置信区间为：(0.0199,0.3069)。 均方差的置信区间为(0.0199,0.3069)(0.1411,0.2627)

4、 设从正态总体X中采用了n = 31个相互的观察值 , 算得样本均值

X58.61及样本方差 S2(5.8)2, 求总体X的均值和方差的90%的置信区间

解：10.9,0.05,10.95,n31,s5.8, t0.05(30)1.6973 22的 90%的置信区间为 :

(Xt(n1)2s)(56.84,60.38) n20.95(30)18.49 ，S2 = 33.

20.05(30)43.77(n1)s2(n1)s2 的 （1-a）%的置信区间为 : 2,2(n1)1(n1)2223033.3033.8218.49即 43.77,23.1254.6

2的 90%的 置 信 区 间 为 : (23.1 , 54.6)

5、 设 某 种 灯 泡 的 寿 命 X服 从 正 态 分 布 N( , 2 ) ,  , 2未 知 , 现 从 中 任 取 5个灯 泡 进 行 寿 命 测 试 (单 位 : 1000小 时 ), 得 :

10.5 , 11.0 , 11.2 , 12.5 , 12.8 ,

求方差及均方差的90%的置信区间 .

15152解：xxi11.6,S(xix)20.995

5i14i1

10.9,20.05,120.95,n14

22x0.05(4)9.488,x0.95(4)0.711.

40.99540.9950.419,5.598

9.4880.711

 2及  的 90%的置信区间为 (0.419 , 5.598) 及 (0.419,5.598)(0.7,2.366)

6、 二正态总体N(1 , 12) , N(2 , 22)的参数均未知 ,依次取容量为 n1=10 , n2=11的二样本 ,测得样本均值分别为x11.2,x22.8，样本方差

20.29, 分别为 S120.34,S2(1) 求二总体均值差12的90%的置信区间。（2）求二总体方差比90%的置信区间。

解：10.9,2（1）sw20.05,n119,n2110

90.34100.290.3137，t0.05(19)1.729，

1912的90%的置信区间为12的90%的置信区间(x1x2t(n1n22)SW21111,x1x2t(n1n22)SW)n1n2n1n221111,1.22.81.7290.3137)10111011(1.22.81.7290.3137(2.0231,1.1769)22（2）F0.05(9,10)3.021/2的 90%的置信区间为

S12(,2F(n11,n21)S2F21S12) 2(n1,n1)S1222S120.3411F0.95(9,10)1.17 2F0.05(10,9)3.14， S20.29212/2的 90%的置信区间为 : (1.171,3.021.173.14)(0.39,3.67)