数 学
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在下列每小题中，选出一个正
确答案，将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑） 1.已知集合M={1,4},N={1,2,3}，则M∪N等于
A.{1} B.{2,3} C.{2,3,4} D.{1,2,3,4} 2.若复数z满足z(2−i)=1+3i，则z的模等于
A.√2
B.√3
C.2
D.3
3.若数组a=(2,-3,1)和b=(1,x,4)满足条件a·b0，则x的值是
A.-1 B.0 C.1 D.2 4.在逻辑运算中，“A+B=0”是“A·B=0”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
5.从5名男医生，4名女医生中任选5人组成一个医疗小分队，要求其中男医生、女医生均不少于2人，则有所不同的组队方案种树是
A.80 B.100 C.240 D.300
6.过抛物线(𝑦−1)2=4(𝑥+2)的顶点，且与直线x−2y+3=0垂直的直线方程是
A.2x+y-3=0 B.2x+y+3=0 C.x-2y+4=0 D.x-2y-4=0 7.在正方体ABCD−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中（题7图），异面直线𝐴1𝐵与𝐵1𝐶之间的夹角是
A.30° B.45° C.60° D.90°
8.题8图是某项工程的网络图（单位：天），则该工程的关键路径是 A.A→B→D→E→J B.A→B→D→E→K→M C.A→B→D→F→H→J D.A→B→D→G→I→J
9.若函数f(x)=sin𝜔𝑥(𝜔>0)在区间[0,3]上单调递增，在区间[3,2]上单调递减，则ω等于
A.3
2
𝜋
𝜋𝜋
B.2
C.2
3
D.3
10.已知函数f(x)={
2,𝑥∈[0,1]
，则使f(f(x))=2成立的实数x的集合为
𝑥,𝑥∉[0,1]
B. {x|0≤x≤1或x=3} D. {x|0≤x≤2}
A.{x|0≤x≤1或x=2} C. {x|1≤x≤2}
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
11.题11图是一个程序框图，执行该程序框图，则输出的T值是 ▲ .
12.与曲线{
𝑥=6+3√2cos𝜃,
(𝜃为参数)和直线x+y−2=0都相切，且半径最小的圆的的标
𝑦=6+3√2sin𝜃,
1
准方程是 ▲ .
13.已知{𝑎𝑛}是等比数列，𝑎2=2,𝑎5=4，则𝑎8= ▲ . 14.已知αϵ(π，2π)，tan𝛼=−4，则cos(2𝜋−𝛼)= ▲ . 15.已知函数f(x)={
2𝑥−1,𝑥≤2
(𝑎>0且𝑎≠1)的最大值为3，则实数𝑎的取值范围是
4+log𝑎𝑥,𝑥>2
3
▲ .
三．解答题（本大题共8小题，共90分）
16.（8分）若函数f(x)=𝑥2+(𝑎2−5𝑎+3)𝑥+4在(−∞,]上单调递减.
23
（1）求实数a的取值范围；
（2）解关于x的不等式log𝑎(2)3𝑥≥log𝑎8.
1
17.（10分）已知f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x恒有f(x+2)=−f(x)，当x∈[0,2]时，f(x)=𝑥2−2𝑥.
（1）求证：函数f(x)的周期是4；
（2）求f(2017)+f(2018)+f(2019)+f(2020)的值； （3）当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式.
18.（12分）袋中装有5张分别写着1,2,3,4,5的卡片.
（1）若从中随机抽取一张卡片，然后放回后再随机抽取一张卡片，求事件A={两次抽取的卡片上的数相同}的概率；
（2）若从中随机抽取一张卡片，不放回再随机抽取一张卡片.
①求事件B={第二次抽取的卡片上的数大于第一次抽取的卡片上的数}的概率；
②若第一次抽取的卡片上的数记为a，第二次抽取的卡片上的数记为b，求事件C={点（a,b）在圆𝑥2+𝑦2=16内}的概率.
19.（12分）已知函数f(x)=2cos2(√3cos2−sin2)，又在△ABC中，三个角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且f(A)=0. （1）求角A的大小；
（2）若sin𝐵+sin𝐶=1,𝑎=√3，求△ABC的面积.
𝑥
𝑥
𝑥
20.（10分）某地建一座桥，总长为240米 ，两端的桥墩已建好，余下工程需要建若干个桥墩以及各桥墩之间的桥面.经估算，一个桥墩的工程费用为400万元，距离为x米的相邻两桥墩之间的桥面工程费用为（𝑥2+x）万元.假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元.
（1）试写出y关于x的函数关系式；
（2）需要新建多少个桥墩才能使y最小，其最小值是多少？ 21.（14分）已知数列{𝑎𝑛}满足𝑎3=5,𝑎𝑛−𝑎𝑛+1=2𝑎𝑛·𝑎𝑛+1(𝑛∈𝑁+).
（1）求𝑎1，并证明数列{𝑎}为等差数列；
𝑛
1
1
（2）设𝑏𝑛=
211√𝑎+√𝑎𝑛𝑛+1
1
，计算𝑏1+𝑏2+⋯+𝑏12的值；
2
（3）设𝐶𝑛=
1
(2)𝑎𝑛，数列{𝑐𝑛}前n项和为𝑆𝑛，证明𝑆𝑛
<3. 22.（10分）某运输公司在疫情期间接到运送物资的任务，该公司现有9辆载重为8吨的甲型卡车和6辆载重为10吨的乙型卡车，共有12名驾驶员，要求该公司每天至少运送0吨物资.已知每辆甲型卡车每天往返的次数为12次，每辆乙型卡车每天往返的次数为8次.若每辆卡车每天所需成本为甲型卡车240元，乙型卡车360元.问每天派出甲型卡车和乙型卡车各多少辆时，运输公司所花成本最少？并求最小成本.
23.（14分）已知椭圆E:𝑎2+𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)的焦距为2√3，短袖长为2.
（1）求椭圆E的方程；
（2）设A为椭圆的左顶点，过点A的直线l与椭圆交于另一点B. ①若|AB|=
2√6，求直线3
𝑥2
𝑦2
l的斜率k；
⃗⃗⃗⃗ ·⃗⃗⃗⃗⃗ =2，求m的值. ②若点P(0,m)在线段AB的垂直平分线上，且⃗𝑃𝐴𝑃𝐵
