竖直平面内圆周运动的临界问题及应用

竖直平面内的圆周运动是典型的变速运动，高中阶段只分析通过最高点和最低点的情况，经常考查临界状态，其问题可分为以下两种模型. 一、两种模型 模型1：“轻绳类”

绳对小球只能产生沿绳收缩方向的拉力(圆圈轨道问题可归结为轻绳

类)，即只能沿某一

图1 图2

个方向给物体力的作用，如图1、图2所示，没有物体支撑的小球，在竖直平面做圆周运动过最高点的情况：

(1)临界条件：在最高点，绳子(或圆圈轨道)对小球没有力的作用，v0gR

(2)小球能通过最高点的条件：vgR，当vgR时绳对球产生拉力，圆圈轨道对球产生向下的压力. (3)小球不能过最高点的条件：vgR，实际上球还没到最高点就脱离了圆圈轨道，而做斜抛运动. 模型2：“轻杆类”

有物体支撑的小球在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况，如图3所示，(小球在圆环轨道内做圆周运动的情况类似“轻杆类”， 如图4所示，)： (1)临界条件：由于硬杆和管壁的支撑作用，小球恰能到达最高点的临图3 图4

界速度v00

(2)小球过最高点时，轻杆对小球的弹力情况： ①当v0时，轻杆对小球有竖直向上的支持力N，其大小等于小球的重力，即Nmg；

②当0vgR时，因mgNmv2v2R,则NmgmR.

轻杆对小球的支持力N竖直向上，其大小随速度的增

大而减小，其取值范围是mgN0． ③当vgR时，N0；

④当vgR时，则mgNmv2v2R，即NmRmg，

杆对小球有指向圆心的拉力，其大小随速度的增大而

增大，注意 杆与绳不同，在最高点，杆对球既能产生拉力，也能对球产生支持力，还可对球的作用力为零.

小结 如果小球带电，且空间存在电磁场时，临界条件应是小球重力、电场力和洛伦兹力的合力作为向心力，此时临界速度v≠gR(应根据具体情况具体分析)．另外，若在月球上做圆周运动则可将上述的g换成g月，若在其他天体上则把g换成g天体.

二、两种模型的应用

【例1】如图5所示，质量为m的小球从光滑的斜面轨道的A点由静止下滑，若小球恰能通过半径为R的竖直圆形轨道的最高点B而做圆周运动，问A点的高度h至少应为

多少? 【解析】此题属于“轻绳图5

类”，其中“恰能”是隐含条件，即小球在最高点的临界速度是v临界Rg，根据机械能守恒定律得

mghmg2R12mv2临界

把v临界Rg代入上式得：hmin52R． 【例2】如图6所示，在竖直向下的匀强电场中，一个带负电q、质量为m且重力大于所受电场力的小球，从光滑的斜面轨道的A点由静止下滑，若小球恰能通过半径为R的竖直圆形轨道的最高点B而做圆周运动，问A点的高度h至少应为多少?

【解析】此题属于“轻杆类”，带电小球在圆形轨道的最高点B受到三个力作用:电场力FqE，方向竖直向上；重力mg；弹力N，方向竖直向下．由向心力公式，有

mgNqEmv2BR

要使小球恰能通过圆形轨道的最高点B而做圆周运动，说

明小球此时处于临 界状态，其速率图6

vB为

临界速度，临界条件是N0．由此可列出小球的临界

状态方程为mgqEmv2BR ①

根据动能定理，有(mgqE)(h2R)12mv2B ②

解之得：h5min2R 说明 把②式中的mgqE换成mv2BR，较容易求出

h5min2R

【例3】如图6所示，在竖直向下的匀强电场中，一个带正电q、质量为m且重力大于所受电场力的小球，

从光滑的斜面轨道的A点由静止下滑，若小球恰能通过半径为R的竖直圆形轨道的最高点B而做圆周运

动，问A点的高度h至少应为多少?

【解析】此题属于“轻绳类”，题中“恰能”是隐含条件，要使带电小球恰能通过圆形轨道的最高点B而做圆周运动，说明小球此时处于临界状态，其速率vB为临界速度，临界条件是N0．由此可列出小球的临界

状态方程为：mgqEmv2BR ①

根据动能定理，有(mgqE)(h2R)122mvB ②

由上述二式解得：h5min2R 小结 上述两题条件虽然不同，但结果相同，为什么?因为电场力与重力做功具有相同的特点，重力做功仅与初、末位置的高度差有关；在匀强电场中，电场力做功也仅与沿电场力方向的距离差有关．我们不妨可以这样认为，例2中的“等效重力加速度g1”比例1中的重力加速度g减小，例3中的“等效重力加速度g2”比例1中的重力加速度g增大．

例2中vmg2临界Rg1，mg1h12R12mv临界；

例3中v临界Rg2，

mgmg122h22R2mv临界．

把v临界代入各自对应的式子，结果mg1、mg2分图7

别都约去了，故hmin52R． 【例4】如图7所示，一个带正电q、质量为m的电荷，从光滑的斜面轨道的A点由静止下滑，若小球恰能通过半径为R的竖直圆形轨道的最高点B(圆弧左半部分加上垂直纸面向外的匀强磁场)，问点A的高度至少应为多少?

【解析】此题属于“轻绳类”，题中“恰能”是隐含条件，要使小球恰能通过圆形轨道的最高点B，说明小球此时处于临界状态，其速率vB为临界速率，临界条件是N0，由此可列出小球的临界状态方程为

2 mgqvvBBBmR ①

mghmg2R12mv2B， ②

由①式可得: vR24m2gB2mqB(qB)

R因vR24m2gB只能取正值，即vB2mqB(qB)

R22则h2RR24m2gmin8m2gqB(qB)R

【例5】如图8所示，在竖直向下的均匀电场中，一个

带正电q、质量为m的电荷，从光滑的斜面轨道的A点

由静止下滑，若小球恰能通过半径为R的竖直圆形轨道的最高点B(圆弧左半部分加上垂直纸面向外的匀强磁场)，问点A的高度h至少应为多少? 【解析】此题属于“轻绳类”，题中“恰能”是隐含条件，要使小球恰能通过圆形轨道的最高点B，说明小球此时处于临界状态，其速率v图 8

B为临

界速率，临界条件是N0，由此可列出小球的临界状

态方程为 mgqvBqEmv2BBR ①

(mgqE)(h2R)122mvB ②

由①式可得: vR24mB2mqB(qB)(mgqE)R 因vB只能取正值，即

vBR2mqB(qB)24m(mgqE)R 则

2hmin2RR224m8m(mgqE)qB(qB)(mgqE)R 小结 小球受到的洛伦兹力与轨道的弹力有相同的特点，即都与速度v的方向垂直，它们对小球都不做功，而临界条件是N0．

【例6】如图9所示，

ABD为竖直平面内的光滑绝缘轨道，其中AB段是水平的，BD段为半径

R0.2m的半圆，

两段轨道相切于B点，整个轨道处在竖直向下的匀强电图 9

场中，场强大小E5.0103V/m.一不带电的绝缘小球甲，以速度v0沿水平轨道向右运动，与静止在B点带正电的小球乙发生弹性碰撞。已知甲、乙两球的质量均为m1.0102kg，乙所带电荷量q2.0105C，g取10m/s2.(水平轨道足够长，甲、乙两球可视为质点，整个运动过程无电荷转移)

（1）甲乙两球碰撞后，乙恰能通过轨道的最高点D，求乙在轨道上的首次落点到B点的距离； （2）在满足(1)的条件下。求的甲的速度v0；

（3）若甲仍以速度v0向右运动，增大甲的质量，保持乙的质量不变，求乙在轨道上的首次落点到B点的距离范围. 【解析】（1）在乙恰能通过轨道最高点的情况下，设乙到达最高点速度为vD，乙离开D点到达水平轨道的时间为t，乙的落点到B点的距离为x，则

2vD1mgqE2 ① 2R(mgqEm)t ② R2mxvDt ③

联立①②③得x0.4m

（2）设碰撞后甲、乙的速度分别为v甲、v乙，根据动量守恒定律和机械能守恒定律有 mv0mv甲mv乙 ④

121212mv0mv甲mv乙 ⑤ 222联立④⑤得 v乙v0 ⑥

22mv乙由动能定理，得mg2RqE2RmvD ⑦

2v2示，由牛顿第二定律，有: mgFm

LFL解得：v2gLgL m可见vAgL是杆对小球

m的作用力F在推力和拉力之

间突变的临界速度．

(3)杆长L0.5m时，临界速度v0gL2.2m/s，

11图11 图12

2vA杆对小球有推力FA，有mgFAm，vA0.4m/sL22联立①⑥⑦得v5(mgEq)R0m25m/s ⑧

（3）设甲的质量为M，碰撞后甲、乙的速度分别为vM、vm，根据动量守恒定律和机械能守恒定律有

Mv0MvMmvm ⑨

1Mv211202Mv22mv2Mm ⑩

联立⑨⑩得v2Mv0mMm ○

11 由○

11和M≥m，可得 v0≤vm＜2v0 ○12 设乙球过D点时速度为v'D，由动能定理得

mg2RqE2R1'2122mvD2mvm ○

13 联立⑧○12○13得2m/s≤v'D＜8m/s ○14 设乙在水平轨道上的落点距B点的距离x'，有 x'v'Dt ○

15 联立②○14○15得：0.4m≤x'＜1.6m

【例7】如图10所示，杆长为L，一端固定一质量为m的小球，杆的质量忽略不计，整个系统绕杆的另一端在竖直平面内做圆周运动．g10m/s2求：

(1)小球在最高点A的速度vA为

多少时，才能使杆和小球m的作用

力为零?

图 10

(2)小球在最高点A时，杆对小球的作用力F为拉力和推力时的临界速度分别是多少?

(3)若m0.5kg，L0.5m，vA0.4m/s，则在最高点A和最低点B，杆对小球m的作用力多大?

【解析】此题属于“轻杆类”．若杆和小球m之间无相互作用力，那么小球做圆周运动的向心力仅由重力

mg提供，根据牛顿第二定律，有：mgmv2AL

解得vAgL (2)若小球m在最高点A时，受拉力F，受力如图11

v2所示，由牛顿第二定律，有: Fmgm1L

解得vgLFL1mgL 若小球m在最高点A时，受推力F，受力如图12所

则FA4.84N．由A至B只有重力做功，机械能守

恒．设B点所处水平面为参考平面,则

12mv2mg2L12A2mvB, 解得v2BvA4gL4.5m/s．

在最低点B，小球m受拉力FFv2BB，由BmgmL

解得Fv2BBmgmL25.3N．

【例8】如图13所示，光滑的圆管轨道AB部分平直，

BC部分是处于竖直平面内半径为R的半圆，

圆管截面半径r，有质量为m、半径比r略小的光滑小球以水平初速度度v0射入圆管.

(1)若要小球能从C端出来，初速v0多大?

(2)在小球从C端出来瞬间，对管壁压力有哪几种典型 情况，初速度 v 0 各应满足什么条件

? 图13

【解析】本题综合考查了竖直平面内圆周运动临界问题；属于“轻杆类”．

(1)小球恰好能到达最高点的条件是vC0，由机械能

守恒，初速度应满足：12mv20mg2R，即v04gR．

要使小球能从C端出来，需vC0，所以入射速度v04gR．

(2)在小球从C端出来瞬间，对管壁压力有以三种典型情况：

①刚好对管壁无压力，此时重力恰好充当向心力，即

2 mgmvCL.

由机械能守恒定律，知12mv220mg2R12mvC

联立解得: v05gR 2②对下管壁有压力，应有mgmvCL，相应的入射速度

v0应满足4gRv05gR．

③对上管壁有压力，此时应有mgmv2CL，相应的入射

速度v0应满足v05gR 小结 本题中的小球不能做匀速圆周运动，它的合力除最高点与最低点过圆心外，其他条件下均不过圆心，因而在一般位置处，它具有切向加

速度.

【例9】如图14所示，一内壁光滑的环形细圆管位于竖直平面内，环的半径R(比细管的半径大得多)，在圆管中有两个直径与细管内径相同的小球A、B，质量分别

为mA、mB，沿环形管顺时针运动，

图 14 当A球运动到最低点时，速度为vA，B球恰到最高点，若要此时圆管的合力为零，B的速度vB为多大？ 【解析】本题综合考察了竖直平面内圆周运动临界问题的分析，属于“轻杆类”．在最低点对A球进行受力分析，如图15所示，应用牛顿第二定律有

Nv2AAmAgmAR

由牛顿第三定律，球A对管有向下的压力

图15 图16

NA'NA，

根据题意NA'NB',即球B对对管有向上的压力NB'，球B受力情况，如图16所示，由牛顿第三定律，管对球B有向下的压力NB,NB'NB，对球B应用牛顿第二定律，有：Nv2BmBgmBR,由于NANB

联立可得vmAv2mABmA(1)gR BmB三、小球在凸、凹半球上运动

如图17所示，小球在凸半球上最高点运动时： (1)当0vgR，小球不会脱离凸半球且能通过凸半球的最高点．

(2)当vgR，因轨道对小球不能产生弹力，故此时小球将刚好脱离轨道做平抛运动．

图17 图18

(3)当

vgR，小球已脱离凸半球最高点做平抛运动． 如图18所示，小球若通过凹半球的最低点时速度只要v0即可．

由以上分析可知，通过凸(或凹)半球最高点(或最低点)的临界条件是小球速度0vgR(或v0)． 【例10】如图19所示，汽车质量为1.5104kg，以不变速率通过凸形路面，路面半径为15m，若汽车安全行驶，则汽车不脱离最高点的临界速度为多少?若汽车

达到临界速度时将做何种运动?水平运动位移为多少?

【解析】(1)此题属于“轻绳类”，即轨道只能沿某一方向给物体作用力，临界条件为汽车对轨道压力N0，则汽

车不脱离最高点的临界速度图19

为vmgmv200，则有：R，可

得v0gR；

(2)当v0gR时，汽车在轨道最高点仅受重力作用，且有初速度gR，故做平抛运动，则 R12gt2，xv0t,可得:x2R． 【例11】小明站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为m的小球，甩动手腕，使球在竖直平面内做圆周运动．当球某次运动到最低点时，绳突然断掉，球飞离水平距离d后落地，如图20所示．已知握绳的手离地面高度为d，手与

图 20

球之间的绳长为34d，重力加速度为g．忽略手的运动半径和空气阻力．

（1）求绳断时球的速度大小v1和球落地时的速度大小v2．

（2）问绳能承受的最大拉力多大？

（3）改变绳长，使球重复上述运动。若绳仍在球运动到最低点时断掉，要使球抛出的水平距离最大，绳长应为多少？最大水平距离为多少？ 【解析】（1）设绳断后球飞行时间为t，由平抛运动规律，有：竖直方向

14d12gt2 水平方向 dv1t，得：v12gd 由机械能守恒定律，有：1mv221222mv31mg(d4d)，得：v252gd （2）设绳能承受的最大拉力为T，这也是球受到绳的

最大拉力大小，球做圆周运动的半径为R34d

由向心力公式，有Tmgmv2111R，解得T3mg

（3）设绳长为l，绳断时球的速度大小为v3，绳承受

的最大拉力不变，

有Tmgmv328l，得v33gl 绳断后球做平抛运动，竖直位移为dl，水平位移为

x，时间为t1，有：dl12gt21，xv3t1 得：x4l(dl)3， 当ld23时，x有极大值 xmaxd 23总结 竖直平面内圆周运动两种模型的临界问题，其关键是分清属于“轻绳”类还是“轻杆”类，“轻绳”只能对物体产生沿绳收缩方向的拉力，在最高点对物体拉力为零是临界条件，即F拉0；在最高点，“轻杆” 对物体既可以产生拉力，也可以产生支持力，还可以对物体的作用力为零，杆与物体之间的作用力为零是临界条件，即N0．

在处理带电小球在竖直平面内做圆周运动时，一定要区分“几何最高点”与“力学最高点”不一定是对应的，上面总结的“轻绳类\"和“轻杆类”规律必须是“力学最高点”．