2015杭州市高三一模数学(理科)试卷精选(解析版)

1.若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是（ ）

A.24cm3 B.40cm3 C.36cm3 D.48cm3 【解答】由该几何体的三视图，知该几何体是具有公共边CD的两个等腰梯形ABCD和A1B1CD组成的几何体，体积的计算，利用分割法，过D，C作DG⊥A1B1，CH⊥A1B1，DE⊥AB，CF⊥AB，则左右四棱锥的底面为矩形，长为4，宽为2，高为3，棱柱的底面三角形，底边为4，高为3，棱柱的高为4，所以它的体积V=VD-A1AEG+VEDG-FCH+VC-BFHB1=

111³（2³4）³3+（³4³3）³4+³（2323³4）³3=8+2+4+8=40（cm3）.

故选：B

2.设a，b∈R，则“2a+2b=2a+b”是“a+b≥2”的（ ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

【解析】若a=0，b=3，满足a+b≥2但2a+2b=1+8=9，2a+b=8，则2a+2b=2a+b不成立， 若2a+2b=2a+b，则2a+b=2a+2b≥222=22abab，即(2a+b)2≥4(2a+b)，解得2a+b≥4或2a+b≤0（舍去），

即a+b≥2成立，即“2a+2b=2a+b”是“a+b≥2”的充分不必要条件，

故选：A

3.设函数f(x)=e|lnx|(e为自然对数的底数).若x1≠x2且f(x1)=f(x2)，则下列结论一定不成立的是（ ）

A. x2f(x1) ＞1 B. x2f(x1) =1 C. x2f(x1) ＜1 D.x2f(x1)＜x1f(x2)

【分析】作出f(x)的图象，对选项分0＜x1＜1＜x2，0＜x2＜1＜x1，由于f(x1)=f(x2)，则有x2x1=1，一一讨论即可得到结论.

elnxx,x1【解答】f(x)=e|lnx|=lnx1，作出y=f(x)的图象，

，0＜x＜1ex若0＜x1＜1＜x2，则f(x1) =

1＞1，f(x2)=x2＞1，则x2f(x1) ＞1，则A可能成立； x11＞1，f(x1)= x1＞1，则x2f(x1)= x2x1=1，则B可能成立； x2若0＜x2＜1＜x1，则f(x2)=

对于D.若0＜x1＜1＜x2，则x2f(x1) ＞1，x1f(x2)=1，则D不成立； 若0＜x2＜1＜x1，则x2f(x1)=1，x1f(x2)＞1.则D成立. 故有C一定不成立. 故选：C.

x2y24.设F为双曲线C:221(a0,b0)的右焦点，过点F且斜率为-1的直线l与双曲线C的两条渐近

ab线分别交于A，B两点，若AB3AF，则双曲线C的离心率e=（ ）

A.

105 B. C. 325 D.

34 3【分析】设出过焦点的直线方程，与双曲线的渐近线方程联立把A，B表示出来，再由AB3AF，求

1

出a，b，c，然后求双曲线的离心率.

x2y2【解答】设F(c，0)，则过双曲线221(a0,b0)的右焦点F作斜率为-1的直线为：y=-(x-c)，而

ab渐近线的方程是：ybx， aycxycxacbcacbc由得：B(，)，由得：A(，)， bbababababyxyxaaAB=(

2abc2abcbcbc，)，=(，)， AFa2b2a2b2abab2abcbc53422=-3²，即有b=a，则c==a， aba2b2ab33由AB3AF，则

则e=

c34=.故选：D. a32，则k=（） 55.为锐角△ABC的外心（三角形外接圆圆心），APK(ABAC)（k∊R）.若cos∠BAC=

A.

5532 B. C. D.

771414[解答]如图所示，取BC的中点D，连接PD，AD，则PD⊥BC，ABAC2AD， ∵满足APK(ABAC)（k∊R），∴AP2KAD，∴A，P，D三点共线，∴AB=AC. ∴cos∠BAC=cos∠DPC=

DPDP2555=，∴AP=AD.∴2k=，解得k=. PCPA57714故选:A.

6.函数f(x)(x∊R)是以4为周期的奇函数，当x∊(0，2)时，f(x)=ln(x2-x+b).若函数f(x)在区间[-2，2]上有5个零点，则实数b的取值范围是（）

A.-1≤b≤1 B.

55511≤b≤ C.-1＜b＜1或b= D.＜b≤1或b= 44444【解析】由题意知，f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)=0，即0是函数f(x)的零点，因为f(x)是定义在R

上以4为周期的周期函数，所以f(-2)=f(2)，且f(-2)=-f(2)，则f(-2)=f(2)=0，即±2也是函数f(x)的零点， 因为函数f(x)在区间[-2，2]上的零点个数为5，且当x∊（0，2）时，f(x)=ln(x2-x+b)， 所以当x∊（0，2）时，x2-x+b＞0恒成立，且x2-x+b=1在（0，2）有一解，

14b014b0512即121或00b10，解得＜b≤1或b=

44()b122222b10故选：D.

7.设函数f(X)=x|x-2|，则当x∈(0，2)时，函数f(x)的最大值等于_____，若x0是函数g(x)=f(f(x))-1的所有零点中的最大值，且x0∈(k，k+1)(k∈z)，则k=____.

【解答】当x∈(0，2)时，f(x)=x|x-2|=x(2-x)=-(x-1)2+1≤1； 作函数f(x)=x|x-2|的图象如下，

解x|x-2|=1得，x=1或x=1+2；又∵x0是函数g(x)=f(f(x))-1的所有零点中的最

2

大值，∴f(X0)=1+2；

且f(2)=0＜1+2，f(3)=3＞1+2；故k=2.

故答案为：1，2.

8.已知抛物线C:y2=2px(p＞0)，过点G(3p，0)的直线l与抛物线C交于A，B两点（点B在第四象限），O为坐标原点，且∠OBA=90°，则直线l的斜率k=_____.

13kp3k2p【解答】设直线l:y=k(x-3p)，直线OB:y=-x，联立可得B(2，2)(k＞0)，

kk1k13kp223k2p

代入y=2px可得(2)=2p³2，∴k=.

k12k1

2

故答案为：

2. 2d1的取值范围是______. d29.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，其中ABCD是正方形，AA1＞AB.设点A到直线B1D的距离和到平面DCB1A1

的距离分别为d1，d2，则

【分析】设AB=a，AA1=b(b＞a)，利用长方体中的垂直关系和面积相等求出d1，连接A1D、过A作AE⊥A1D，利用长方体中的垂直关系、线面垂直的判定定理和定义，得到d2=AE，利用面积相等求出d2，化简

d1后d2da2设t=2，求出0＜t＜1，化简后利用基本不等式和函数的单调性求出1的范围.

d2b【解答】设AB=a，AA1=b，由AA1＞AB得b＞a，在Rt△AB1D中，由三角形面积相等得，点A到直线B1D

ADAB1aa2b2的距离d1=，连接A1D，过A作AE⊥A1D，由CD⊥平面ADD1A1得，CD⊥AE，又

22B1D2abAE⊥A1B，则AE⊥平面DCB1A1，所以AE为点A到平面DCB1A1的距离，则d2=AE=

ADAA1ab，

22A1Dabd1a(a2b2)a2b2所以==，上式分子分母同除以b2得，

d2ab2a2b2b2a2b2a212d1da2t1b=，设t=2,则0＜t＜1，代入上式可得1=， 2bd2d2t1a2221b111(t)2t1t2t11t1111224=1[t11]≥设y=== (1)=1，

112222t12242t1t4(t)2223

当且仅当t+

1=2114(t)2=

时取等号，此时t=0，因为0＜t＜1，函数y在(0，1)上是增函数，

当t=1时，y=

22323d123，所以1＜y＜，∈(1，). 333d3223). 33=2cosA. 2故答案为：(1，

10.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知cos2A+（1）求角A的大小；

（2）若a=1，求△ABC的周长l的取值范围. 【解答】（1）cos2A+即cosA=

33=2cosA.即2cos2A-1+=2cosA，即有4cos2A-4cosA+1=0，(2cosA-1)2=0， 221，（0＜A＜π），则A=； 23（2）由正弦定理可得b=

asinBsinB2asinC2sinB，c=sinC，

sinAsinA3332则l=a+b+c=1+

22(sinBsinC)，由A=，B+C=，

333233-B)=sinB+cosB=3sin(B+)， 3262251，则＜B+＜，＜sin(B+)≤1，即有2＜l≤3. 362666则sinB+sinC=sinB+sin(

即有l=1+2sin(B+

6)，由于0＜B＜

则▷ABC的周长l的取值范围为（2，3].

11.已知四边形ABCD是矩形，BC=kAB(k∈R)，将△ABC沿着对角线AC翻折，得到△AB1C，设顶点B1在平面ABCD上的投影为O.

（1）若点O恰好落在边AD上， ①求证：AB1⊥平面B1CD；

②若B1O=1，AB＞1.当BC取到最小值时，求k的值.

（2）当k=3时，若点O恰好落在△ACD的内部(不包括边界)，求二面角B1-AC-D的余弦值的取值范围.

解：（1）①证明：∵点B1在平面ABCD上的射影为O，点O恰好落在边AD上，∴平面AB1D⊥平面ACD，又CD⊥AD，∴CD⊥平面AB1D，∴AB1⊥CD，又∵AB1⊥CB1，∴AB1⊥平面B1CD. ②作矩形ABMN，使得B1在MN上，设AB=x，BC=y，则NB1=x21，

4

∵AB1⊥B1D，∴△ANB1∽△B1MD，∴B1D=

MDAB1B1Nxx12，

x21∴y=B1C=x2=x2122≥2，当且仅当x=2时取等号，y有最小值，k=2；

x1x12

（2）作BF⊥AC，交AC于E，交AD于F，当点O恰好落在△ACD的内部（不包括边界），点O恰好在线段EF上，又∵B1E⊥AC，EF⊥AC，∴∠B1EF为二面角B1-AC-D的平面角，∴cos∠B1EF=

1EO∈(0，)，

3B1E故二面角B1-AC-D的余弦值的取值范围为(0，

1). 312.设数列｛an｝的前n项和为Sn，若Sn+an=n(n∊N*). （1）求数列｛an｝的通向公式； （2）求证：

111123n2. 2a12a22a32an1. 211(an-1-1)，a1-1=-. 22[解答]（1）当n=1时，a1+a1=1，解得a1=

Sn+an=n，当n≥2时，Sn-1+an-1=n-1，可得an+an-an-1=1，∴an-1=∴数列｛an-1｝是等比数列，an-1=-（2）证明：∵

11n11³()，∴an=1-n. 222111， nnn12an2121n11111111223n12n1=2(1n)2. ∴

12a12a22a32an2222121∴

111123n2 2a12a22a32an13.在直角坐标系xoy中，设点A(-1，0)，B(1，0)，Q为△ABC的外心.已知CG2OG0，OG∥AB. （1）求点G的轨迹T的方程；

（2）设经过F(0，2)的直线交轨迹T与E，H，直线EH与直线l:y=

32交于点M，点P是直线y=2上2异于点F的任意一点.若直线PE，PH，PM的斜率分别为k1，k2，k3，问是否存在实数t，使得若存在，求t的值；若不存在，说明理由.

11t+=，k1k2k32xyy2y解：（1）设C(x，y)，CG2OG0，则G(，)，Q(0，)，根据|QA|=|QC|，可得x+=1(y≠0). 3333（2）当直线EF的斜率不存在时，t=2.

5

当直线EF的斜率存在时，设斜率为k，则直线EH的方程为y=kx+2，点M的坐标为(

232，). 2k2把直线方程代入椭圆方程可得(k2+3)x2+22kx-1=0，设E(x1，y1)，H(x2，y2)，P(a，2)(a≠0). 则x1+x2=

x1ax1a111x2a1122k，xx=，∴==，=，=2a. 1222k3k1y12k2k3kkx1kx2k3又∵

xax2a211t+=，∴1+=22a.

kk1k2k3kx1kx2

故存在常数t=2满足条件.

x(xa),(x0)14.已知实数a＞0，函数f(x)9

x(xa),(x0)40（1）若函数f(x)在区间(-b，b)(b＞0)上存在最小值，求b的取值范围；

（2）对于函数f(x)，若存在区间[m，n](n＞m)，使{y|y=f(x)，x∈[m，n]}=[m，n]，求a的取值范围，并写出满足条件的所有区间[m，n].

【分析】（1）画出函数f(x)的图象，由图象可得，函数f(X)在区间(-b，b)(b＞0)上存在最小值，最小值为

aa²（22a2a2-a）=-，令f(x)=-(x＜0)，求出x，即可得到b的范围；

44（2）画出直线y=x，求出交点，通过图象观察，当x＜0时，递增，再由x＞0的最小值，解不等式a-

40≤9a2-，即可得到a的范围，进而区间[m，n]. 4【解答】（1）画出函数f(x)的图象，由图象可得，函数f(X)在区间(-b，b)(b＞0)上存在最小值，则最小值为

aa2aa29a2²（-a）=-，令-x(xa)(x0)，解得x=-， 2234404即有

a2a＜b≤； 239x(xa)x，可得x=0， 40（2）当区间[m，n]⊆(-∞，0)，即为增区间，由-或a-

404040，由a-＜0，可得0＜a＜.

9994040208a2则区间[m，n]为[a-，0]，再由x(x-a)=x，解得x=0或a+1，由a-≤-，解得-≤a≤.

99334840.则区间[m，n]为[a-，a+1].

39404040综上可得a的范围是0＜a＜，区间为[a-，0]，[a-，a+1].

999但a＞0，则有0＜a≤

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