数列通项公式、前n项和求法总结(全)

1.定义法 —— 直接利用等差或等比数列的定义求通项。

特征：适应于已知数列类型（等差或者等比）．

2例1．等差数列an是递增数列，前n项和为Sn，且a1,a3,a9成等比数列，S5a5．求数列an的通项公式.

变式练习：

1.等差数列an中,a74,a192a9,求an的通项公式

2. 在等比数列{an}中,a2a12,且2a2为3a1和a3的等差中项,求数列{an}的首项、公比及前n项和.

2.公式法

S1n1求数列an的通项an可用公式an求解。

SSn2n1n特征：已知数列的前n项和Sn与an的关系

例2.已知下列两数列{an}的前n项和sn的公式，求{an}的通项公式。

2（1）Snn3n1。 （2）snn1

变式练习：

1. 已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2n2+n，n∈N﹡，数列{bn}满足an=4log2bn+3，n∈N﹡.求an，bn。

2. 已知数列{an}的前n项和Sn

12nkn（kN*）,且Sn的最大值为8，试确定常数k并求an。 2n2n，nN.求数列an的通项公式。 3. 已知数列an的前n项和Sn2

3.由递推式求数列通项法 类型1 特征：递推公式为

an1anf(n)

对策：把原递推公式转化为an1anf(n)，利用累加法求解。 例3. 已知数列an满足a1

11，an1an2，求an。 2nn变式练习：

，a11，求数列{an}的通项公式。 1. 已知数列{an}满足an1an2n1

na1,aa21n1n2.已知数列： 求通项公式

类型2 特征：递推公式为 an1f(n)an 对策：把原递推公式转化为

an1f(n)，利用累乘法求解。 an例4. 已知数列an满足a1

变式练习：

2n，an1an，求an。 3n1n1.已知数列an中，a12，an13an，求通项公式an。

22n2.设an是首项为1的正项数列，且n1an，求数列的通项公式是an 1nanan1an0（=1，2， 3，…）

类型3 特征：递推公式为an1panq（其中p，q均为常数）

对策：（利用构造法消去q）把原递推公式转化为由an1panq得anpan1q(n2)两式相减并整理得

an1anp,构成数列an1an以a2a1为首项，以p为公比的等比数列.求出an1an的通项再转化

anan1为类型1（累加法）便可求出an.

例5. 已知数列an中，a11，an12an3，求an.

变式练习：

1. 数列{an}满足a1=1，3an1an70,求数列{an}的通项公式。

2. 已知数列an满足a1=1，an13an1.证明an1是等比数列，并求an的通项公式。

2

类型4特征：递推公式为an1panf(n)（其中p为常数） 对策：（利用构造法消去p）两边同时除以pn1可得到

an1anf(n)anf(n)bbb，令，则，再转化nn1npnpn1pnpn1pn1n为类型1（累加法），求出bn之后得anpbn

n1例6．已知数列{an}满足an12an43，a11，求数列{an}的通项公式。

n变式练习：已知数列an满足a11，an32an1 (n2)，求an．

二.数列的前n项和的求法总结

1.公式法

（1）等差数列前n项和：Sn（2）等比数列前n项和：

q=1时，Snna1

n(a1an)n(n1)na1d 22q1，Sn例1. 已知log3x

变式练习：

a11qn1q

123n，求xxxx的前n项和. log231.设等比数列an的前n项和为Sn.已知a26,6a1a330,求an和Sn.

2.设{an}是等差数列，{bn}是各项均为正数的等比数列，且a1b11，a3b521，a5b313。 （1）求an，bn； （2）求数列{

bn}的前n项和Sn。 an2.错位相减法

①若数列an为等差数列，数列bn为等比数列，则数列anbn的求和就要采用此法.

②将数列anbn的每一项分别乘以bn的公比，然后在错位相减，进而可得到数列anbn的前n项和. 例2.求12x3x4x……nx

变式练习：

21. 已知数列an的前n项和为Sn,且Sn=2nn,n∈N﹡,数列bn满足an4log2n3n∈N﹡.

b23n1的和

(1)求an,bn;

(2)求数列anbn的前n项和Tn.

2.若公比为c的等比数列an的首项为a11，且满足an（1）求c的值；（2）求数列{nan}的前n项和Sn

an1an2(n3,4,...)。 23.倒序相加法

如果一个数列an，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，则可用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到了一个常数列的和，这种求和方法称为倒序相加法。特征：a1ana2an1... 把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。

Sna1a2……an1an 相加

Snanan1……a2a1 2Sna1ana2an1……a1an……

x2111例3.已知f(x)，则f(1)f(2)ff(3)ff(4)f22341x

变式练习：

122232102L22的和． 1. 求2110222923282101

2. 求sin1sin2sin3sin88sin的值。

222224.裂项相消法

一般地，当数列的通项an相消法求和.

可用待定系数法进行裂项： 设anc (a,b1,b2,c为常数）时，往往可将an变成两项的差，采用裂项

(anb1)(anb2)anb1anb2，通分整理后与原式相比较，根据对应项系数相等得c，从而可得

b2b1cc11=().

(anb1)(anb2)(b2b1)anb1anb2常用裂项形式有：

1111； ② 1(11)； n(n1)nn1n(nk)knnk1111111111112； ③ 22()，kk1(k1)kk(k1)kk1kkk12k1k11111[] ； ④

n(n1)(n2)2n(n1)(n1)(n2)22⑤ 2(n1n)12(nn1)nn1nnn1

① 例4.求数列

变式练习：

1. 在数列{an}中，an

1111，，，…，，…的前n项和S.

n(n2)132435

212n，又bn，求数列{bn}的前n项的和.

anan1n1n1n122. 等比数列an的各项均为正数，且2a13a21,a39a2a6.

(I)求数列an的通项公式.

(II)设 bnlog3a1log3a2log3an,求数列

5.分组求和法

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.一般分两步：①找通向项公式②由通项公式确定如何分组. 例5.求数列2，4，6

变式练习：

1的前项和. bn14111，L，2nn1，L的前n项和Sn． 816211111.求数列1,2,3,4,L的前n项和

392781

n2.若数列an的通项公式an2a3na1(a0)，求an的前n项和

6.记住常见数列的前n项和： ①123...nn(n1); 22②135...(2n1)n;

1n(n1)(2n1). 63572n1例6.求22L(nN)的和． 222222211212312Ln③123...n2222

变式练习：求数列{n(n1)(2n1)}的前n项和.