2015-2016学年山西省实验中学高一(上)12月月考数学试卷(解析版)

2015-2016学年山西省实验中学高一（上）12月月考数学试卷

一、选择题（共12个小题，每小题4分）

1．（4分）用“辗转相除法”求得459和357的最大公约数是（ ） A．3

B．9

C．17 D．51

2．（4分）已知函数f（x）=x2﹣mx﹣m2，则f（x）（ ） A．有一个零点 B．有两个零点 C．有一个或两个零点 D．无零点

3．（4分）设函数y=x3与y=（）x﹣2的图象的交点为（x0，y0），则x0所在的区间是（ ）

A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）

4．（4分）若关于x的方程ax﹣x﹣a=0有两个解，则实数a的取值范围是（ ） A．（1，+∞） B．（0，1） C．（0，+∞） D．∅ 5．（4分）如图，程序运行后输出的结果为（ ）

A．50 B．5 C．25 D．0

6．（4分）执行如图程序框图（见上图），如果输入的x，t均为2，S=（ ）

第1页（共20页）

A．7 B．6 C．5 D．4

7．（4分）已知函数f（x）=ax2+2ax+4（a＞0），若x1＜x2，x1+x2=0，则（ ） A．f（x1）＜f（x2） B．f（x1）=f（x2）

C．f（x1）＞f（x2） D．f（x1）与f（x2）的大小不能确定

8．（4分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的n的值为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

的图象大致为（ ）

9．（4分）函数y=

A． B． C． D．

10．（4分）设函数f（x）=，若互不相等的实数x1，x2，x3满

足f（x1）=f（x2）=f（x3），则x1+x2+x3的取值范围是（ ）

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A．（] B．（） C．（] D．（）

11．（4分）函数f（x）=

若关于x的方程[f（x）]2+b•f（x）+c=0

恰有5个不同的实数解x1、x2、x3、x4、x5，则f（x1+x2+x3+x4+x5）等于（ ） A．0

B．1

C．lg4 D．3lg2

12．（4分）设奇函数f（x）在[﹣1，1]上是增函数，且f（﹣1）=﹣1，当a∈[﹣1，1]时，（fx）≤t2﹣2at+1对所有的x∈[﹣1，1]恒成立，则t的取值范围是（ ） A．t≥2或t≤﹣2或t=0 C．t＞2或t＜﹣2或t=0

二、填空题（共6个小题，每题4分）

13．（4分）若一次函数f（x）=ax+b有一个零点1，则函数g（x）=bx2﹣ax的零点是 ．

14．（4分）关于x的方程（ k﹣2 ）x2﹣（ 3k+6 ）x+6k=0有两个负根，则k的取值范围是 ．

15．（4分）已知三个函数f（x）=2x+x，g（x）=x﹣2，h（x）=log2x+x的零点依次为a，b，c，则a，b，c的大小关系是 ．

16．（4分）设R上的函数f（x）满足f（x+2）=3f（x），当0≤x≤2时，f（x）=x2﹣2x，则当x∈[﹣4，﹣2]时，f（x）的最小值是 ．

17．（4分）设α，β分别是关于x的方程log2x+x﹣4=0和2x+x﹣4=0的根，则α+β= ．

18．（4分）若函数f（x）=22x+2xa+a+1有零点，求实数a的取值范围．

三、解答题（共3个小题）

19．（8分）（1）把“五进制”数1234（5）转化为“十进制”数，再把它转化为“八进制”数．

（2）用秦九韶算法求多项式f（x）=7x7+6x6+5x5+4x4+3x3+2x2+x，当x=3时的值． 20．（10分）某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．

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B．t≥2或t≤2 D．﹣2≤t≤2

（Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？

（Ⅱ）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？

21．（10分）已知函数f（x）=﹣x2+2ex+m﹣1，g（x）=x+（1）若y=g（x）﹣m有零点，求m的取值范围；

（2）确定m的取值范围，使得g（x）﹣f（x）=0有两个相异实根． （x＞0）．

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2015-2016学年山西省实验中学高一（上）12月月考数

学试卷

参与试题解析

一、选择题（共12个小题，每小题4分）

1．（4分）（2012秋•盐津县期末）用“辗转相除法”求得459和357的最大公约数是（ ） A．3

B．9

C．17 D．51

【分析】用459除以357，得到商是1，余数是102，用357除以102，得到商是3，余数是51，用102除以51得到商是2，没有余数，得到两个数字的最大公约数是51．

【解答】解：∵459÷357=1…102， 357÷102=3…51， 102÷51=2，

∴459和357的最大公约数是51， 故选D．

【点评】本题考查辗转相除计算最大公约数，本题是一个基础题，是在算法案例中出现的一个案例，近几年在新课标中出现，学生掌握的比较好，若出现一定会得分．

2．（4分）（2015秋•杏花岭区校级月考）已知函数f（x）=x2﹣mx﹣m2，则f（x）（ ）

A．有一个零点 B．有两个零点 C．有一个或两个零点 D．无零点

【分析】令f（x）=0，则△=m2+4m2≥0，即可得出结论．

【解答】解：令f（x）=0，则△=m2+4m2≥0，∴f（x）有一个或两个零点， 故选：C．

【点评】本题考查函数的零点，考查判别式的运用，属于中档题．

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3．（4分）（2007•山东）设函数y=x3与y=（）x﹣2的图象的交点为（x0，y0），则x0所在的区间是（ ）

A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）

【分析】根据y=x3与y=（）x﹣2的图象的交点的横坐标即为g（x）=x3﹣22﹣x的零点，将问题转化为确定函数g（x）=x3﹣22﹣x的零点的所在区间的问题，再由函数零点的存在性定理可得到答案． 【解答】解：∵y=（）x2=22x

﹣

﹣

令g（x）=x3﹣22﹣x，可求得：g（0）＜0，g（1）＜0，g（2）＞0，g（3）＞0，g（4）＞0，

易知函数g（x）的零点所在区间为（1，2）． 故选B．

【点评】本题主要考查函数的零点和方程的根的关系和零点存在性定理．考查考生的灵活转化能力和对零点存在性定理的理解．

4．（4分）（2014秋•天津期末）若关于x的方程ax﹣x﹣a=0有两个解，则实数a的取值范围是（ ）

A．（1，+∞） B．（0，1） C．（0，+∞） D．∅

【分析】当0＜a＜1时，函数f（x）=ax﹣x﹣a在R上是单调减函数，从而可判断；当a＞1时，作函数y=ax与y=x+a的图象，结合图象可得． 【解答】解：①当0＜a＜1时，

函数f（x）=ax﹣x﹣a在R上是单调减函数， 故方程ax﹣x﹣a=0不可能有两个解； ②当a＞1时，

作函数y=ax与y=x+a的图象如下，

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直线y=x+a过点（0，a），且k=1；

而y=ax过点（0，1），且为增函数，增长速度越来越快； 故函数y=ax与y=x+a的图象一定有两个交点， 综上所述，实数a的取值范围是 （1，+∞）； 故选：A．

【点评】本题考查了分类讨论与数形结合的思想应用，同时考查了函数与方程的关系应用及函数性质的判断与应用，属于中档题．

5．（4分）（2013秋•凯里市校级期末）如图，程序运行后输出的结果为（ ）

A．50 B．5 C．25 D．0

【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出a的值，模拟程序的循环过程，并用表格对程序运行过程中的数据进行分析，不难得到正确的答案． 【解答】解：根据伪代码所示的顺序，

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逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知： 程序在运行过程中各变量的值如下表示： 是否继续循环 a j 循环前/0 1

第一圈 是 1 2 第二圈 是 3 3 第三圈 是 1 4 第四圈 是 0 5 第五圈 是 0 6 第四圈 否 故最后输出的值为：0 故选D．

【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．

6．（4分）（2015秋•杏花岭区校级月考）执行如图程序框图（见上图），如果输入的x，t均为2，S=（ ）

A．7 B．6 C．5 D．4

【分析】根据框图的流程依次计算程序运行的结果，直到k=3不满足条件k≤t，计算输出k的值．

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【解答】解：模拟执行程序，可得 x=2，t=2，M=1，S=3，k=1 满足条件k≤t，M=2，S=5，k=2 满足条件k≤t，M=2，S=7，k=3

不满足条件k≤t，退出循环，输出S的值为7． 故选：A．

【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程依次计算程序运行的结果是解答此类问题的常用方法，属于基础题．

7．（4分）（2011•绵阳一模）已知函数（fx）=ax2+2ax+4（a＞0），若x1＜x2，x1+x2=0，则（ ）

A．f（x1）＜f（x2） B．f（x1）=f（x2）

C．f（x1）＞f（x2） D．f（x1）与f（x2）的大小不能确定

【分析】函数值作差进行比较大小，根据条件判f（x1）﹣f（x2）的正负即可． 【解答】解：由题意，可有f（x1）﹣f（x2）=（ax12+2ax1+4）﹣（ax22+2ax2+4）=a（x1﹣x2）（x1+x2）+2a（x1﹣x2）=a（x1﹣x2）（x1+x2+2） 因为a＞0，x1＜x2，x1+x2=0 所以a＞0，x1﹣x2＜0，x1+x2+2＞0 所以f（x1）﹣f（x2）＜0 即f（x1）＜f（x2）． 故选A．

【点评】本题主要考查：函数值作差进行比较大小，根据条件判式子的正负．

8．（4分）（2014•福建）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的n的值为（ ）

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A．1 B．2 C．3 D．4

【分析】根据框图的流程模拟运行程序，直到不满足条件2n＞n2，跳出循环，确定输出的n值．

【解答】解：由程序框图知：第一次循环n=1，21＞1； 第二次循环n=2，22=4．

不满足条件2n＞n2，跳出循环，输出n=2． 故选：B．

【点评】本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法．

9．（4分）（2015秋•杏花岭区校级月考）函数y=

的图象大致为（ ）

A． B． C． D．

【分析】根据函数的奇偶性和单调性即可判断 【解答】解：y=f（x）=

，定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）

∵f（﹣x）==﹣f（x），

∴y=f（x）为奇函数，

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∴y=f（x）的图象关于原点对称， 又y=

=1+

，

∴函数y=f（x）在（﹣∞，0），（0，+∞）为减函数， 故选：A

【点评】本题考查了函数的图象的识别，关键是掌握函数的奇偶性和单调性，属于基础题

10．（4分）（2015•西安模拟）设函数f（x）=

，若互不相等的

实数x1，x2，x3满足f（x1）=f（x2）=f（x3），则x1+x2+x3的取值范围是（ ） A．（

]

B．（

） C．（

] D．（

）

【分析】先作出函数f（x）=

的图象，如图，不妨设x1＜x2＜

x3，则x2，x3关于直线x=3对称，得到x2+x3=6，且﹣＜x1＜0；最后结合求得x1+x2+x3的取值范围即可． 【解答】解：函数f（x）=

的图象，如图，

不妨设x1＜x2＜x3，则x2，x3关于直线x=3对称，故x2+x3=6， 且x1满足﹣＜x1＜0；

则x1+x2+x3的取值范围是：﹣+6＜x1+x2+x3＜0+6；

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即x1+x2+x3∈（故选D

，6）．

【点评】本小题主要考查分段函数的解析式求法及其图象的作法、函数的值域的应用、函数与方程的综合运用等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．

11．（4分）（2015秋•杏花岭区校级月考）函数f（x）=

若关于x

的方程[f（x）]2+b•f（x）+c=0恰有5个不同的实数解x1、x2、x3、x4、x5，则f（x1+x2+x3+x4+x5）等于（ ） A．0

B．1

C．lg4 D．3lg2

【分析】分情况讨论，当x=2时，f（x）=1，则由f2（x）+bf（x）+c=0得1+b+c=0，求出x1=2；当x＞2时，f（x）=lg（x﹣2），由f2（x）+bf（x）+c=0得[lg（x﹣2）]2+blg（x﹣2）﹣b﹣1=0，解得lg（x﹣2）=1，或lg（x﹣2）=b，从而求出x2和x3；当x＜2时，f（x）=lg（2﹣x），由f2（x）+bf（x）+c=0得[lg（2﹣x）]2+blg（2﹣x）﹣b﹣1=0），解得lg（2﹣x）=1，或lg（2﹣x）=b，从而求出x4和x5，5个不同的实数解x1、x2、x3、x4、x5都求出来后，就能求出f（x1+x2+x3+x4+x5）的值． 【解答】解：当x=2时，f（x）=1，则由f2（x）+bf（x）+c=0得1+b+c=0． ∴x1=2，c=﹣b﹣1．

当x＞2时，f（x）=lg（x﹣2）， 由f2（x）+bf（x）+c=0，

得[lg（x﹣2）]2+blg（x﹣2）﹣b﹣1=0，

解得lg（x﹣2）=﹣b﹣1，x2=12或lg（x﹣2）=﹣b﹣1，x3=2+10﹣b﹣1．

当x＜2时，f（x）=lg（2﹣x），由f2（x）+bf（x）+c=0得[lg（2﹣x）]2+blg（2﹣x）﹣b﹣1=0，

解得lg（2﹣x）=1，x4=﹣8或lg（2﹣x）=b，x5=2﹣10﹣b﹣1．

∴f（x1+x2+x3+x4+x5）=f（2+12+2+10b﹣8+2﹣10b）=f（10）=lg|10﹣2|=lg8=3lg2． 故选D

【点评】这是一道比较难的对数函数综合题，解题时按照题设条件求出关于x的方程f2（x）+bf（x）+c=0的5个不同的实数解x1、x2、x3、x4、x5，然后再求出

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f（x1+x2+x3+x4+x5）的值．

12．（4分）（2012•井冈山市模拟）设奇函数f（x）在[﹣1，1]上是增函数，且f（﹣1）=﹣1，当a∈[﹣1，1]时，f（x）≤t2﹣2at+1对所有的x∈[﹣1，1]恒成立，则t的取值范围是（ ） A．t≥2或t≤﹣2或t=0 C．t＞2或t＜﹣2或t=0

B．t≥2或t≤2 D．﹣2≤t≤2

【分析】根据题意，由f（x）的奇偶性与单调性分析可得f（x）在[﹣1，1]最大值是1，由此可以得到1≤t2﹣2at+1，变形可得t2﹣2at≥0对于a∈[﹣1，1]恒成立，因其在a∈[﹣1，1]时恒成立，可以改变变量，以a为变量，利用一次函数的单调性转化求解；综合可得答案．

【解答】解：根据题意，f（x）是奇函数且f（﹣1）=﹣1，则f（1）=1， 又由f（x）在[﹣1，1]上是增函数，则f（x）在[﹣1，1]上最大值为f（1）=1， 若当a∈[﹣1，1]时，f（x）≤t2﹣2at+1对所有的x∈[﹣1，1]恒成立， 则有1≤t2﹣2at+1对于a∈[﹣1，1]恒成立，即t2﹣2at≥0对于a∈[﹣1，1]恒成立，

当t=0时显然成立

当t≠0时，则t2﹣2at≥0成立，又a∈[﹣1，1] 令g（a）=2at﹣t2，a∈[﹣1，1]

当t＞0时，g（a）是减函数，故令g（1）≥0，解得t≥2 当t＜0时，g（a）是增函数，故令g（﹣1）≥0，解得t≤﹣2 综上知，t≥2或t≤﹣2或t=0； 故选A．

【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的应用，涉及函数恒成立问题；难点在于运用转化思想将t2﹣2at≥0恒成立转化为﹣2ta+t2≥0恒成立，进而由一次函数的性质分析得到答案．

二、填空题（共6个小题，每题4分）

13．（4分）（2016秋•红花岗区校级月考）若一次函数f（x）=ax+b有一个零点1，

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则函数g（x）=bx2﹣ax的零点是 0，﹣1 ．

【分析】由函数f（x）=ax+b有一个零点1，可得：a+b=0，（a≠0），代入方程bx2﹣ax=0，可得答案．

【解答】解：∵函数f（x）=ax+b有一个零点1， ∴a+b=0，即b=﹣a，（a≠0），

则方程bx2﹣ax=0可化为：﹣ax2﹣ax=0， 解得：x=﹣1，或x=0，

故函数g（x）=bx2﹣ax的零点bx2﹣ax=0的根是0，﹣1， 故答案为0，﹣1

【点评】本题考查的知识点是函数的零点，难度不大，属于基础题．

14．（4分）（2015秋•杏花岭区校级月考）关于x的方程（ k﹣2 ）x2﹣（ 3k+6 ）x+6k=0有两个负根，则k的取值范围是 ．

【分析】利用方程的根与系数之间的关系进行转化列出关于k的不等式，通过求解不等式确定出k的取值范围，注意进行等价转化．

【解答】解：方程（ k﹣2 ）x2﹣（ 3k+6 ）x+6k=0有两个负根⇔

，

因此得出k的取值范围是故答案为

．

．

【点评】本题考查一元二次方程方程根与系数的关系，考查韦达定理的应用，关键要列出关于字母k的取值范围，通过求解不等式组确定出所求的取值范围．

15．（4分）（2015秋•杏花岭区校级月考）已知三个函数f（x）=2x+x，g（x）=x﹣2，h（x）=log2x+x的零点依次为a，b，c，则a，b，c的大小关系是 a＜c＜b ．

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【分析】根据函数解析式判断出f（x）=2x+x，g（x）=x﹣2，h（x）=log2x+x都是单调递增函数，运用函数零点定理判断a，b，c的范围即可得a，b，c的大小． 【解答】解：由于f（﹣1）=

=

＜0，f（0）=1＞0，

故f（x）=2x+x的零点a∈（﹣1，0）． ∵g（2）=0∴g（x）的零点b=2； ∵h（）=

=

，h（1）=1＞0 ），

∴h（x）的零点c∈（

由于函数f（x）=2x+x，g（x）=x﹣2，h（x）=log2x+x均是定义域上的单调增函数， ∴a＜c＜b．

故答案为：a＜c＜b．

【点评】本题考查了函数的单调性，在求解函数零点的范围问题中的应用，结合函数零点定理判断即可．

16．（4分）（2007秋•江阴市校级期中）设R上的函数f（x）满足f（x+2）=3f（x），当0≤x≤2时，f（x）=x2﹣2x，则当x∈[﹣4，﹣2]时，f（x）的最小值是 ﹣ ．

【分析】定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）=3f（x），可得出f（x﹣2）=f（x），由此关系求出求出x∈[﹣4，﹣2]上的解析式，再配方求其最值． 【解答】解：由题意定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）=3f（x）， 任取x∈[﹣4，﹣2]，则f（x）=f（x+2）=f（x+4） 由于x+4∈[0，2]，当x∈[0，2]时，f（x）=x2﹣2x， 故f（x）=f（x+2） =f（x+4）

=[（x+4）2﹣2（x+4）]

=[x2+6x+8]=[（x+3）2﹣1]，x∈[﹣4，﹣2]

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当x=﹣3时，f（x）的最小值是﹣． 故答案为：﹣．

【点评】本题考查函数的最值及其几何意义，解题的关键是正确正解定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）=3f（x），且由此关系求出x∈[﹣4，﹣2]上的解析式，做题时要善于利用恒等式．

17．（4分）（2014秋•江津区校级期中）设α，β分别是关于x的方程log2x+x﹣4=0和2x+x﹣4=0的根，则α+β= 4 ．

【分析】分别作出函数y=log2x，y=2x，y=4﹣x的图象相交于点P，Q．利用log2α=4﹣α，2β=4﹣β．而y=log2x（x＞0）与y=2x互为反函数，直线y=4﹣x与直线y=x互相垂直，

点P与Q关于直线y=x对称．即可得出．

【解答】解：分别作出函数y=log2x，y=2x，y=4﹣x的图象，相交于点P，Q． ∵log2α=4﹣α，2β=4﹣β．

而y=log2x（x＞0）与y=2x互为反函数，直线y=4﹣x与直线y=x互相垂直， ∴点P与Q关于直线y=x对称． ∴α=2β=4﹣β． ∴α+β=4． 故答案为：4．

【点评】本题考查了同底的指数函数与对数函数互为反函数的性质、相互垂直的直线之间的关系，属于难题．

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18．（4分）（2015秋•杏花岭区校级月考）若函数f（x）=22x+2xa+a+1有零点，求实数a的取值范围．

【分析】f（x）=22x+2xa+a+1=（2x）2+2xa+a+1，再由△=a2﹣4（a+1）≥0得a≥2+2

或a≤2﹣2

；从而讨论对称轴即可．

【解答】解：f（x）=22x+2xa+a+1=（2x）2+2xa+a+1， △=a2﹣4（a+1）≥0； 解得，a≥2+2若a≤2﹣2

，

或a≤2﹣2

；

则y=t2+ta+a+1的对称轴x=﹣＞0， 故数f（x）=22x+2xa+a+1有零点； 若a≥2+2y=a+1＜0； 故矛盾；

综上所述，a≤2﹣2

．

，则

【点评】本题考查了函数的零点的位置的判断，属于基础题．

三、解答题（共3个小题）

19．（8分）（2015秋•杏花岭区校级月考）（1）把“五进制”数1234（5）转化为“十进制”数，再把它转化为“八进制”数．

（2）用秦九韶算法求多项式f（x）=7x7+6x6+5x5+4x4+3x3+2x2+x，当x=3时的值． 【分析】（1）首先把五进制数字转化成十进制数字，用所给的数字最后一个数乘以5的0次方，依次向前类推，相加得到十进制数字，再用这个数字除以8，倒序取余．

（2）把所给的函数式变化成都是一次式的形式，逐一求出从里到外的函数值的值，最后得到当xx=3时的函数值．

【解答】解：（1）1234（5）=1×53+2×52+3×51+4×50=194 ∵194÷8=24…2 24÷8=3…0 3÷8=0…3

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∴194=302（8）

即把“五进制”数1234（5）转化为“十进制”数，再把它转化为“八进制”数得到302． 即1234（5）=194（10）=302（8）…6分

（2）f（x）=（（7x+6）+5）x+4）x+3）x+2）x+1）x V0=7，

V1=7×3+6=27， V2=27×3+5=86， V3=86×3+4=262， V4=262×3+6=7， V5=7×3+2=2369， V6=2369×3+1=7108， V7=7108×3+0=21324， ∴f（3）=21324

即当x=3时，函数值是f（3）=21324…10分．

【点评】（1）本小题考查进位制之间的转化，本题涉及到三个进位制之间的转化，实际上不管是什么之间的转化，原理都是相同的．

（2）本题看出用秦九韶算法来解决当自变量取不同值时，对应的函数值，本题也可以用来求某一个一次式的值，本题是一个基础题．

20．（10分）（2003•北京）某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．

（Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？

（Ⅱ）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？

【分析】（Ⅰ）严格按照题中月租金的变化对能租出车辆数的影响列式解答即可； （Ⅱ）从月租金与月收益之间的关系列出目标函数，再利用二次函数求最值的知识，要注意函数定义域优先的原则．作为应用题要注意下好结论．

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【解答】解：（Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时， 未租出的车辆数为所以这时租出了88辆车．

（Ⅱ）设每辆车的月租金定为x元， 则租赁公司的月收益为整理得

．

，

，

所以，当x=4050时，f（x）最大，最大值为f（4050）=307050，

即当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为307050元．

【点评】本题以实际背景为出发点，既考查了信息的直接应用，又考查了目标函数法求最值．特别是二次函数的知识得到了充分的考查．在应用问题解答中属于非常常规且非常有代表性的一类问题，非常值得研究．

21．（10分）（2016春•普宁市校级期中）已知函数f（x）=﹣x2+2ex+m﹣1，g（x）=x+

（x＞0）．

（1）若y=g（x）﹣m有零点，求m的取值范围；

（2）确定m的取值范围，使得g（x）﹣f（x）=0有两个相异实根． 【分析】（1）由基本不等式可得g（x）=x+范围；

（2）令F（x）=g（x）﹣f（x）=x+﹣2e=（x﹣e）（围．

【解答】解：（1）∵g（x）=x+（当且仅当x=

≥2

=2e；

+x2﹣2ex﹣m+1，求导F′（x）=1﹣

+2x

≥2

=2e，从而求m的取值

+2）；从而判断函数的单调性及最值，从而确定m的取值范

，即x=e时，等号成立）

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∴若使函数y=g（x）﹣m有零点， 则m≥2e；

故m的取值范围为[2e，+∞）； （2）令F（x）=g（x）﹣f（x） =x+

+x2﹣2ex﹣m+1，

+2x﹣2e=（x﹣e）（

+2）；

F′（x）=1﹣

故当x∈（0，e）时，F′（x）＜0，x∈（e，+∞）时，F′（x）＞0； 故F（x）在（0，e）上是减函数，在（e，+∞）上是增函数， 故只需使F（e）＜0， 即e+e+e2﹣2e2﹣m+1＜0； 故m＞2e﹣e2+1．

【点评】本题考查了基本不等式的应用及导数的综合应用，同时考查了函数零点的判断与应用，属于中档题．

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