2021_2022学年新教材高中数学模块综合测评练习含解析北师大版必修第一册

限时120分钟 分值150分 战报得分______

一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的选项中，只有一个正确选项)

1．已知集合M＝{x|－4B．{－2，－1，0，1，4} D．{－1，0，1}

【解析】选C.2，3，4∉M，由交集运算知M∩N＝{－2，－1，0，1}． 2．命题“∃x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是( ) A．∃x∈R，x3－x2＋1<0 B．∃x∈R，x3－x2＋1≥0 C．∀x∈R，x3－x2＋1>0 D．∀x∈R，x3－x2＋1≤0

【解析】选C.命题：∃x∈R，x3－x2＋1≤0的否定为∀x∈R，x3－x2＋1>0. 3．设a＝20.3，b＝0.32，c＝log20.3，则a，b，c的大小关系是( ) A．cB．a【解析】选A.a＝20.3>1，b＝0.32<1，c＝log20.3<0，所以c4．已知实数02A．1

1

B．

8

C．4

1D．

4

1112x＋1－2x

【解析】选B.因为00，1－2x>0，所以x(1－2x)＝ (2x)(1－2x)≤  22222

111 ＝ ，当且仅当2x＝1－2x时，即x＝ 时取等号，所以x(1－2x)的最大值为 . 848

5．我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解

- 1 -

析式来琢磨函数图象的特征．我们从这个图片中抽象出一个图象如图，其对应的函数可

能是( )

A.f(x)＝1

||x|－1|

B．f(x)＝1

|x－1|

C．f(x)＝1

x2－1

D．f(x)＝

1x2＋1

【解析】选A.由图象知f(x)的定义域为{x|x≠±1}，排除选项B，D，又因为当x＝0时，C选项中f(0)＝－1，不符合图象f(0)＝1，所以排除C.

6．已知函数f(x)＝lg (x2＋ax－a－1)，给出下列论述，其中正确的是( ) A．当a＝0时，f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞) B．f(x)一定有最小值

C．当a＝0时，f(x)的定义域为R

D．若f(x)在区间[2，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是{a|a≥－4} 【解析】选A.对于A，当a＝0时，解x2－1>0 得x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，故A正确；

对于B，当a＝0时，f(x)＝lg (x2－1)，此时x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，x2－ 1∈(0，＋∞)，

此时f(x)＝lg (x2－1)的值域为R，故B错误；

对于C，由A知，f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，故C错误；

- 2 -

对于D，若f(x)在区间[2，＋∞)上单调递增，此时y＝x2＋ax－a－1在[2，＋∞)上单调递增，a

所以对称轴x＝－ ≤2，解得a≥－4，但当a＝－4时，f(x)＝

2lg (x2－4x＋3)在x＝2处无定义，故D错误．

f（x）－f（－x）

7．已知奇函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减，且f(3)＝0，则不等式 <0的

x－2解集是( )

A．(－3，0)∪(0，2)∪(3，＋∞) B．(－∞，－3)∪(0，3)

C．(－∞，－3)∪(0，2)∪(3，＋∞) D．(－3，0)∪(0，3)

【解析】选C.由f(x)为奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减，f(3)＝0得，

f(－x)＝－f(x)，f(x)在(－∞，0)上单调递减，f(－3)＝0，所以当x∈(－∞，－3)时，f(x)>0，当x∈(－f（x）－f（－x）3，0)时，f(x)<0，当x∈(0，3)时，f(x)>0，当x∈(3，＋∞)时，f(x)<0，则 <0，

x－2

2f（x）f（x）>0，f（x）<0

即 <0，则或 ，

x－2x－2<0x－2>0f（x）>0，由解 得x<－3或0f（x）<0，由解 得x>3， x－2>0

所以满足条件的x的范围为(－∞，－3)∪(0，2)∪(3，＋∞).

logax，x>1，8．若f(x)＝是 R上的增函数，则实数a的取值范围为( ) a4－2x－2，x≤1

A．(1，＋∞) B．(8，＋∞) C．[4，8)

D．(1，8)

- 3 -

logax，x>1，

【解析】选C.因为f(x)＝是 R上的增函数， a4－2x－2，x≤1

a

所以4－2>0，

a4－2－2≤log1

a

a>1，

解得4≤a<8，所以实数a的取值范围为[4，8).

二、选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分)

9．定义在(－∞，＋∞)上的偶函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且f(x)在[－1，0]上是单调递增的，则( )

A．f(x)是周期函数

B．f(x)的图象关于x＝1对称 C．f(x)在[0，1]上是单调递增的 D．f(x)在[1，2]上是单调递减的 【解析】选AB.由于f(x＋1)＝－f(x)，

所以f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，周期为2，故A正确；

由于f(2－x)＝f(－x)＝f(x)，图象关于直线x＝1对称，故B正确；

偶函数在定义域内关于坐标原点对称的区间上的单调性相反，故C不正确； 根据周期性，函数在[1，2]上的单调性与[－1，0]上的单调性相同，故D不正确．

10．机器人(Robot)是一种能够半自主或全自主工作的智能机器，它具有感知、决策、执行等基本特征，可以辅助甚至替代人类完成危险、繁重、复杂的工作，提高工作效率与质量，服务人类生活，扩大或延伸人的活动及能力范围．为了研究A，B两专卖店的机器人销售状况，统计了2020年2月至7月A，B两店每月的营业额(单位：万元)，得到如下的折线图，则下列说法正确的是( )

- 4 -

A．根据A店的营业额折线图可知，该店营业额的平均值在[34，35]内 B．根据B店的营业额折线图可知，其营业额总体呈上升趋势 C．根据A，B两店营业额的折线图，可得A店的营业额极差比B店大 D．根据A，B两店营业额的折线图，可得B店7月份的营业额比A店多 【解析】选ABD.根据A店的营业额折线图可知该店营业额的平均值为

14＋20＋26＋45＋＋36

≈34.17，故A正确；根据B店的营业额折线图可知，其营业额总体

6呈上升趋势，故B正确；A店营业额的极差为－14＝50，B店营业额的极差为63－2＝61，故A店营业额的极差比B店小，故C错误；由折线图可知，B店7月份的营业额比A店多，故D正确．

11．定义域和值域均为[－a，a]的函数y＝f(x)和y＝g(x)的图象如图所示，其中a>c>b>0，给出下列四个结论正确的是( )

A．方程f[g(x)]＝0有且仅有三个解 B．方程g[f(x)]＝0有且仅有四个解 C．方程f[f(x)]＝0有且仅有八个解

- 5 -

D．方程g[g(x)]＝0有且仅有一个解

【解析】选AD.对于A，设t＝g(x)，则由f[g(x)]＝0，得f(t)＝0，

当f(t)＝0时，则t＝g(x)有三个不同的值，由于y＝g(x)是减函数，所以有三个解，所以A正确； 对于B，设t＝f(x)，则由g[f(x)]＝0，即g(t)＝0，解得t＝b， 因为c>b>0，所以f(x)＝b只有3个解，所以B不正确；

对于C，设t＝f(x)，若f[f(x)]＝0，即f(t)＝0，则t＝－b或t＝0或t＝b，则 f(x)＝－b或f(x)＝0或f(x)＝b，

因为a>c>b>0，所以每个方程对应着3个根，所以共有9个解，所以C错误； 对于D，设t＝g(x)，若g[g(x)]＝0，即g(t)＝0，所以t＝b， 因为y＝g(x)是减函数，所以方程g(x)＝b只有1解，所以D正确．

12．函数f(x)的定义域为D，若存在区间[m，n]⊆D使f(x)在区间[m，n]上的值域也是[m，n]，则称区间[m，n]为函数f(x)的“和谐区间”，则下列函数存在“和谐区间”的是( ) A．f(x)＝x 1

C．f(x)＝x＋

x

B．f(x)＝x2－2x＋2

1

D．f(x)＝

x

【解析】选ABD.由题得，若f(x)在区间[m，n]上的值域也是[m，n]，则f(x)存在“和谐区间”[m，n]，

f（m）＝m，f（m）＝n

可知，mf（n）＝nf（n）＝mf（m）＝m＝m

A：f(x)＝x (x≥0)，若，

f（n）＝n＝nm＝0

解得， 所以f(x)＝x 存在“和谐区间”[0，1]；

n＝1

B：f(x)＝x2－2x＋2(x∈R)，

2f（m）＝m－2m＋2＝mm＝1若 ， 解得，

2

f（n）＝n－2n＋2＝nn＝2

所以f(x)＝x2－2x＋2存在“和谐区间” [1，2]；

- 6 -

1

C：f(x)＝x＋ (x≠0)，若

x

1f（n）＝n＋＝nn

1f（m）＝m＋＝m

m

， 得1

n＝0

1＝0m



， 故无解；若1

f（n）＝n＋＝mn

1f（m）＝m＋＝n

m

，

11

则m＋ ＋ ＝m，

m1

m＋m2m2＋1即3 ＝0，故无解， m＋m

1

所以f(x)＝x＋ 不存在“和谐区间”；

x

1

D：f(x)＝ (x≠0)，函数在(0，＋∞)，(－∞，0)上单调递减，

x

则1

f（n）＝＝mn

1f（m）＝＝n

m

1m＝2

，不妨令 ，

n＝2

11

所以f(x)＝ 存在“和谐区间”2，2 ；综上得：存在“和谐区间”的是ABD. x三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)

13．中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经研究可知：在室温25 ℃下，某种绿茶用85 ℃的水泡制，经过x min后茶水的温度为y ℃，且y＝k×0.908 5x＋25(x≥0，k∈R).当茶水温度降至55 ℃时饮用口感最佳，此时茶水泡制时间大约为________min(结果保留整数).(参考数据：ln 2≈0.693 1，ln 3≈1.098 6，ln 0.908 5≈－0.096 0)

【解析】由题意可知，当x＝0时，y＝85，即85＝k＋25，k＝60，故y＝60×0.908 5x＋25. 当y＝55时，55＝60×0.908 5x＋25，0.908 5x＝0.5， －ln 20.693 1x＝log0.908 50.5＝ ≈ ≈7.

ln 0.908 50.096 0答案：7

14．在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，至多有一件一等品的概率是________．

【解析】将3件一等品编号为1，2，3，2件二等品编号为4，5，从中任取2件有10种取法：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5).恰有2件一

- 7 -

3

等品的取法有：(1，2)，(1，3)，(2，3).故恰有2件一等品的概率为P0＝ ，其对立事件是“至

10多有一件一等品”，概率为P＝ 37

1－P0＝1－ ＝ .

10107

答案：

10

xe，x≤0，

15．已知函数f(x)＝则 f[f(1)]＝________；设g(x)＝f(x)＋x＋a，若函数g(x)存在

ln x，x>0，

2个零点，则实数a的取值范围是________．

【解析】因为f(1)＝ln 1＝0，所以f[f(1)]＝f(0)＝e0＝1；因为g(x)有2个零点，所以y＝f(x)，y＝－x－a的图象有两个交点，作出y＝f(x)，y＝－x－a的图象如图所示：

当y＝f(x)，y＝－x－a有两个交点时，可知－a≤1，所以a≥－1，即a∈[－1，＋∞). 答案：1 [－1，＋∞) 16．下列几个命题：

①方程x2＋(a－3)x＋a＝0若有一个正实根，一个负实根，则a<0； ②函数y＝

x2－1 ＋

1－x2 是偶函数，但不是奇函数；

③函数f(x)的值域是[－2，2]，则函数f(x＋1)的值域为[－3，1]；

④ 一条曲线y＝|3－x2|和直线y＝a的公共点个数是m，则m的值不可能是1. 其中正确的有________．

【解析】①由一元二次方程根与系数的关系，得x1x2＝a<0，故①正确；

- 8 -

2x－1≥0，

②根据函数的定义域可知解 得：x＝±1，此时y＝0，所以y＝

2

1－x≥0

0(x＝±1) ，所以函数既是奇函数，又是偶函数；故②不正确；

③y＝f(x＋1)由y＝f(x)的图象向左平移一个单位而得，所以两个函数的值域相同，即函数f(x＋1)的值域为[－2，2]，故③不正确；

④因为y＝|3－x2|是偶函数，并且图象如图所示，y＝a与图象的交点有2个，3个或4个，不可能有1个的时候，故④正确．

答案：①④

四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(10分)已知幂函数f(x)＝x－2m2＋m＋3(m∈Z)是奇函数，且f(1)11(2)求y＝log2 f(x)＋log[2f(x)]，x∈ 22，2 的值域． 2

【解析】(1)因为幂函数f(x)＝x－2m2＋m＋3(m∈Z)是奇函数，且f(1)123

(2)y ＝ log22 f(x) ＋ log [2f(x)] ＝ log2 x ＋

2

log1 (2x3)＝(3log2x)2＋log1 21x∈2，2 ，

2＋log1

22

x3＝9(log2x)2－3log2x－1＝9

log2x－1 －5 ，因为

64

2

15

所以－1≤log2x≤1，所以当log2x＝ 时，y取最小值－ ，当log2x＝－1时，y取最大值11.

- 9 -

1，2 的值域为－5，11 . 所以y＝log2 f(x)＋log [2f(x)]，x∈1224

2

18．(12分)假设甲、乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等，为了解他们的使用寿命，现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试，结果统计如下：

(1)估计甲品牌产品使用寿命小于200小时的概率；

(2)这两种品牌产品中，某个产品已使用了200小时，试估计该产品是甲品牌的概率． 5＋201

【解析】(1)甲品牌产品使用寿命小于200小时的频率为 ＝ ，用频率估计概率，所以，

10041

甲品牌产品使用寿命小于200小时的概率为 .

4

(2)根据抽样结果，使用寿命大于200小时的产品有75＋70＝145个，其中甲品牌产品是75个，7515所以在样本中，使用寿命大于200小时的产品是甲品牌的频率是 ＝ ，用频率估计概率，

1452915

所以已使用了200小时的该产品是甲品牌的概率为 .

29

43

19．(12分)某班甲、乙、丙三名同学竞选班委，甲当选的概率为 ，乙当选的概率为 ，丙当

557

选的概率为 .

10

(1)求恰有一名同学当选的概率；

- 10 -

(2)求至多有两人当选的概率．

437

【解析】设甲、乙、丙当选的事件分别为A，B，C，则有P(A)＝ ，P(B)＝ ，P(C)＝ .

5510(1)因为A，B，C相互，所以恰有一名同学当选的概率为P(AB C )＋ P(A BC )＋P(A B C)＝P(A)·P(B )·P(C )＋P(A )·P(B)·P(C )＋42313312747

P(A )·P(B )·P(C)＝ × × ＋ × × ＋ × × ＝ .

551055105510250

43783

(2)至多有两人当选的概率为1－P(ABC)＝1－P(A)·P(B)·P(C)＝1－ × × ＝ .

551012520．(12分)某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．

(1)若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：枝，n∈N)的函数解析式；

(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量n(单位：枝)整理得下表：

日需求量n 频数 14 10 15 20 16 16 17 16 18 15 19 13 20 10 ①假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花，求这100天的日利润(单位：元)的平均数； ②若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率．

【解析】(1)当日需求量n≥17时，利润y＝85.当日需求量n＜17时，利润y＝

10n－85，n<17，10n－85.所以y关于n的函数解析式为y＝( n∈N).

85，n≥17，

(2)①这100天中有10天的日利润为55元，20天的日利润为65元，16天的日利润为75元，1

54天的日利润为85元，所以这100天的日利润的平均数为 (55×10＋65×20＋75×16＋85×54)

100＝76.4(元).

②利润不低于75元当且仅当日需求量不少于16枝，故当天的利润不少于75元的概率为p＝0.16＋0.16＋0.15＋0.13＋0.1＝0.7.

- 11 -

ex＋a

21．(12分)设a∈R，函数f(x)＝x (e为常数，e＝2.718 28…).

e－a(1)若a＝1，求证：函数f(x)为奇函数； (2)若a<0.①判断并证明函数f(x)的单调性；

②若存在x∈[1，2]，使得f(x2＋2ax)>f(4－a2)成立，求实数a的取值范围． ex＋1

【解析】(1)当a＝1时，函数f(x)＝x ，

e－1因为ex－1≠0，则x≠0，

e－x＋11＋ex

所以f(x)的定义域为{x|x≠0}，对任意x≠0，f(－x)＝x ＝ ＝－f(x)，

e－－11－exex＋1

所以f(x)＝x 是奇函数．

e－1

(2)①当a<0时，f(x)为R上的单调增函数，证明如下：

当a<0时，ex－a>0恒成立，故函数f(x)定义域为R.任取x1，x2∈R，且x1为f(x1)－f(x2)＝ <0，  － ＝

ex1－aex2－a（ex1－a）（ex2－a）所以f(x)为R上的单调增函数．

②设命题p：存在x∈[1，2]，使得f(x2＋2ax)>f(4－a2)成立．

下面研究命题p的否定：p：∀x∈[1，2]，f(x2＋2ax)≤f(4－a2)恒成立． 若p为真命题，由①知，f(x)为R上的单调增函数，故∀x∈[1，2]，x2＋ 2ax≤4－a2恒成立．

a<0，

设g(x)＝x＋2ax＋a－4，x∈[1，2]，g（1）≤0，解得－ 3≤a<0.

g（2）≤0

2

2

因为p为真，则p为假命题， 所以实数a的取值范围为(－∞，－3).

22．(12分)已知函数g(x)＝ax2－2ax＋1＋b(a>0)在区间[2，3]上有最大值4和最小值1.设f(x)

- 12 -

g（x）＝ .

x(1)求a，b的值；

(2)若不等式f(log2x)－2klog2x≥0在x∈[4，8]上恒成立，求实数k的取值范围； 2

(3)若f(|2x－1|)＋kx －3k＝0有三个不同的实数解，求实数k的取值范围．

|2－1|【解析】(1)函数g(x)＝ax2－2ax＋b＋1＝a(x－1)2＋1＋b－a， 因为a＞0，所以g(x)在区间[2，3]上是增函数，

g（2）＝1，b＋1＝1，故即  g（3）＝43a＋b＋1＝4a＝1，解得

b＝0.

x2－2x＋11(2)由(1)可得f(x)＝ ＝x＋ －2，

xx

1

不等式f(log2x)－2klog2x≥0在x∈[4，8]上恒成立，等价为log2x＋ －2≥2klog2x在x∈[4，

log2x8]上恒成立，

12

即2k≤ － ＋1在x∈[4，8]上恒成立，

（log2x）2log2x1

令t＝ ，则2k≤t2－2t＋1，因为x∈[4，8]，

log2x11所以t∈3，2 ，

11111

， 上递减，可得m(t)的最小值为m ＝ ，则2k≤ ，即则函数m(t)＝t2－2t＋1在t∈322441

k≤ . 8

(3)原方程可化为|2x－1|2－(3k＋2)|2x－1|＋(2k＋1)＝0， 可令t＝|2x－1|，则t＞0，

由题意可得t2－(3k＋2)t＋(2k＋1)＝0有两个不等实根t1，t2， 其中0＜t1＜1，t2＞1或0＜t1＜1，t2＝1， 设h(t)＝t2－(3k＋2)t＋(2k＋1)，

- 13 -

2k＋1>0，h（1）＝－k＝0，则或 h（1）＝－k<03k＋2

2<1解得k＞0或k∈∅， 则k的取值范围是(0，＋∞).



0<

2k＋1>0，

- 14 -