天津大学研究生课程-数理方程2010试卷

一、填空题（每空2分，共30分）

1、数学物理方程中需求解的定解问题是由 和 组成。 2、导热杆的绝热端为第 类边界条件。

3、设Pn(x)为n阶Legendre正交多项式，则Pn(x)Pm(x)dx 。

114、拟线性偏微分方程是指方程关于未知函数的 是线性的。

X(x)X(x)05、方程的固有值是 ，固有函数系是 。

X(0)X(0)06、在区域内具有二阶连续偏导数的函数u，且满足 ，则称u是

内的调和函数。

7、线性偏微分方程的类型及标准型只依赖于它的 部分。

8、初始位移(x)ex，初始速度(x)sinx的无界弦做自由振动，其振动规律u(x,t) 。

9已知 f(t)eatsinkt，则f的Laplace变换L(p) 。

~~10、已知(t)的Fourier变换是()，则()cosat关于的Fourier逆变换

2是u(x,t) 。

11、若一个定解问题的解存在、 且 ，则称该问题是适定的。 12、设长为l的均匀细杆侧面绝热，内部无热源，x0端的温度保持0oC,xl端在温度为0oC的介质中自由冷却。已知初始温度为(x)，则杆的温度变化用定解问题描述为 。 二、简答题（共22分）

1、（12分）判断下列二阶线性偏微分方程所属类型，并将其化为标准型。 （1） uxx2uxy3uyy0； （2） yuxxuyy0,

y0 。

2、(10分) 定义卷积f(t)f1(t)*f2(t)f1()f2(t)d，证明：

（1） 卷积满足交换律，即：f1(t)*f2(t)f2(t)*f1(t)。 （2） 卷积具有时移特性，即：

f1(tt1)*f2(tt2)f1(t)*f2tt1t2f(tt1t2)

三、计算题（每小题12分，共48分）

1、长为l两端固定的均匀弦做自由微小横振动。弦的初始位移为sin度为sinxl，初始速

3x。求解此弦的自由横振动规律。 l

2.求解非齐次热传导方程

uta2uxxcos2x,0x1t0ux(0,t)0,ux(1,t)0,t0 u(x,0)0,0x1

3、求解半无界弦的振动规律

utta2uxx,0x,t0utt00,x0 ut0(x),u(0,t)(t)t0

4. 用积分变换法求定解问题

uta2uxxhu, ux00,ut0b

xx0,t0limu(x,t)0,