常用积分公式

1⑵xdx(1)xc 11211xdxxc,特别，dxc,

xdx2xc xx31⑶

xdxln|x|c

a⑷adxlnac,特别，edxec ⑸sinxdxcosxc ⑹cosxdxsinxc 1⑺

sinxdxcscxdxcotxc

1⑻

cosxdxsecxdxtanxc

1x1⑼dxarcsinc(a0),特别，dxarcsinxc axa1x11x1dxarctanc(a0),特别，⑽

axaa1xdxarctanxc

11axdxln⑾

ax2aaxc(a0)

11xadxln或

xa2axac(a0) ⑿tanxdxlncosxc ⒀cotxdxlnsinxc ⑴kdxkxc(k为常数)

1232xxxx22222222222222⒁cscxdxlncscxcotxc1dx xlntancsinx2⒂secxdxlnsecxtanxc1dx xπlntanccosx24⒄⒃⒅

1x2a222dx===lnxx2a2c

(a0)(a0)a2xx2axdx===arcsinax2c

2a2x2a22xadx===xalnxx2a2c

2222(a0)asinbxbcosbxaxaxesinbxdxec22ab⒆

bsinbxacosbxaxeaxcosbxdxec22ab1⒇

(ax)dx22nnx2n3n1c（递推公式）

2(n1)a2(a2x2)n12(n1)a2跟我做练习 (一般情形下，都是先做恒等变换或用某一个积分法，最后套用某一个积分公式)

例24含根式ax2bxc的积分 ⑴

x24x5dx12(x2)21d(x2)[套用公式⒅]

⑵xx24x5dx(2x4)4x24x5dx

(请你写出答案)

⑶

1x24x5xdx1(x2)21(2x4)4x2(x2)21 d(x2)ln[套用公式⒃]

⑷

1dx2x24x521d(x24x5)2dx222x4x5x4x51x4x52dx

(请你写出答案)

⑸

54xxdx232x2x223(x2)2 3(x2)d(x2)arcsin2322[套用公式⒄]

⑹x54xx2dx12(42x)454xx2dx

(请你写出答案)

⑺

dx54xx2d(x2)32(x2)2arcsinx2[套用公式⑼] 3⑻

154xx22xdx(42x)4dx54xx212d(54xx2)54xx22dx54xx2

(请你写出答案)

例25求原函数解因为

1dx. 1x4所以令

从恒等式(AxB)(x22x1)(CxD)(x22x1)1(两端分子相等)，可得方程组

解这个方程组(在草纸上做)，得A右端的第一个积分为

142122,B111,C,D.因此， 2222d(x22x1)14x22x1x1212222dx(套用积分

公式)

类似地，右端的第二个积分为

所以

x22x112xln2arctan（见下注）

1x242x2x1221【注】根据tan()因此,

tantan,则

1tantandxdx(01).【关于(01)，见例17】

1cosx1cosxx解令ttan(半角替换)，则

2于是，

例26求

【点评】求初等函数的原函数的方法虽然也有一定的规律，但

不像求它们的微分或导数那样规范化.这是因为从根本上说，函数yy(x)的导数或微分可以用一个“构造性”的公式

y(x)limh0y(xh)y(x)或dyy(x)dx h确定下来，可是在原函数的定义中并没有给出求原函数的方法.积分法作为微分法的逆运算，其运算结果有可能越出被积函数所属的函数类.譬如，有理函数的原函数可能不再是有理函数，初等函数的原函数可能是非初等函数(这就像正数的差有可能是负数、整数的商有可能是分数一样).有的初等函数尽管很简单，可是它的原函数不能表示成初等函数，譬如

1exsinxedx,dx,dx,dx等

lnxxx都不能表示成初等函数.因此，一般说来求初等函数的原函数要比求它们的微分

x2或导数困难得多.我们用上面那些方法能够求出原函数的函数，只是初等函数中的很小一部分.尽管如此，我们毕竟可以求出足够多函数的原函数，而这些正好是应用中经常遇到的函数.因此，读者能够看懂前面那些例题并能够基本完成各节后的练习就足够了.