自动控制原理实验七 基于MATLAB控制系统频域法串联校正设计

一、实验目的

（1）对给定系统设计满足频域或时域指标的串联校正装置； （2）掌握频域法设计串联校正的方法；

（3）掌握串联校正环节对系统稳定性及过渡过程的影响。 二、实验原理及内容

利用MATLAB可以方便的画出Bode图并求出幅值裕量和相角裕量。将MATLAB应用到经典理论的校正方法中，可以方便的校验系统校正前后的性能指标。通过反复试探不同校正参数对应的不同性能指标，能够设计出最佳的校正装置。 1、串联超前校正

用频域法对系统进行超前校正的基本原理，是利用超前校正网络的相位超前特性来增大系统的相位裕量，以达到改善系统瞬态响应的目标。为此，要求校正网络最大的相位超前角出现在系统的截止频率（剪切频率）处。

串联超前校正的特点：主要对未校正系统中频段进行校正，使校正后中频段幅值的斜率为-20dB/dec，且有足够大的相位裕度；超前校正会使系统瞬态响应的速度变快，校正后系统的截止频率增大。这表明校正后，系统的频带变宽，瞬态响应速度变快，相当于微分效应；但系统抗高频噪声的能力变差。

用频率法对系统进行串联超前校正的一般步骤为： 1）根据稳态误差的要求，确定开环增益K。 2）根据所确定的开环增益K，画出未校正系统的波特图，计算未校正系统的相位裕度。 3）计算超前网络参数a和T。 4）确定校正网络的转折频率。

5）画出校正后系统的波特图，验证已校正系统的相位裕度。

【7-1】给定系统如图7-1所示，试设计一个串联校正装置，使系统满足幅值裕量大于10分

o

贝，相位裕量≥45

为了满足上述要求，试探地采用超前校正装置Gc(s)，使系统变为图7-2的结构。

图7-1 校正前系统

图7-2 校正后系统

用下面地MATLAB语句得出原系统的幅值裕量与相位裕量。

>> G=tf(100, [0.04, 1, 0]);

[Gw, Pw, Wcg, Wcp]=margin(G); Gw =Inf Pw =28.0243 Wcg=Inf Wcp=46.9701

o

可以看出，这个系统有无穷大的幅值裕量，并且其相位裕量＝28，幅值穿越频率

Wcp=47rad/sec。

引入一个串联超前校正装置：

(自主修正) 通过下面的MATLAB语句得出

(0.02𝑠+1)

0.05𝑠+1

校正前后系统的Bode图如图7-3,校正前后系统的阶跃响应图如图7-4。其中1、1、ts1分别为校正前系统的幅值穿越频率、相角裕量、调节时间，2、2、ts2分别为校正后系统的幅值穿越频率、相角裕量、调节时间。

代码：

G1=tf(100,[0.04,1,0]);

G2=tf(100*[0.05,1],conv([0.04,1,0],[0.02,1])) bode(G1) hold

bode(G2, 'r--') figure

G1_c=feedback(G1,1) G2_c=feedback(G2,1)

[Gw, Pw, Wcg, Wcp]=margin(G2) step(G1_c) hold

step(G2_c, 'r--')

运行结果： Gw =Inf，Pw = 38.9425，

Wcg =Inf，Wcp = 70.7105

图7-3 校正前后系统的Bode图

图7-4 校正前后系统的阶跃响应图

可以看出，在这样的控制器下，校正后系统的相位裕量由28增加到48，调节时间由0.28s减

o

。少到0.08s。系统的性能有了明显的提高，满足了设计要求。 【7-2】已知单位负反馈传递函数

(自主修正)，试设计无源串联超前校正网络的

2𝑠(0.5𝑠+1)

𝐾

传递函数，使系统的静态加速度误差系数ka=20，相角裕度 >35 。

(1) k=10

(2) 绘制未校正系统的bode图, (=-30.5 ，不稳定）

(3) 设计串联超前校正装置，确定校正装置提供的相位超前量m（84，采用两级超前校正

网络实现，每一级为42  ）

(4) 确定校正网络的转折频率1和2 ，然后确定校正器的传递函数

代码：

num =10 ;den= [0.5,1, 0, 0] ;

G0 =tf (num,den) ;

[Gm,Pm,Wcg,Wcp]=margin (G0)

w=0.1:1 : 10000 ; [mag ,phase] = bode (G0,w) ; magdb = 20*log10(mag)

phim1 = 35 , deta= 18 ; phim = (phim1-Pm+deta)/2 ; alpha =(1+sin (phim*pi/ 180)) / (1-sin (phim*pi/ 180)) , n = find (magdb+10*log10(alpha) <= 0.0001) ; wc= n(1)+0.1,

w1=wc/sqrt(alpha) , w2 = sqrt (alpha)*wc ; numc=(1/alpha)*[1/w1,1],denc=[1/w2,1], Gc1=tf(numc,denc),Gc = Gc1*Gc1, G=(alpha)^2*Gc*G0,

disp ('显示单级矫正网络传递函数，2级串联校正网络传递函数及T值'), T=1/w2;Gc1, Gc, [alpha,T],

bode(G0,G) ;hold on,margin(G),figure (2), sys0 = feedback (G0 , 1); step(sys0), hold on, sys= feedback (G,1) ,step(sys)

Gc1 =

0.07348 s + 0.2009 ------------------ 0.07348 s + 1 Gc =

0.0054 s^2 + 0.02953 s + 0.04037 -------------------------------- 0.0054 s^2 + 0.147 s + 1 ans = 4.9768 0.0735

图7-5 校正前（蓝色）和校正后（橙色）系统的Bode图

图7-6 校正前（蓝色）和校正后（橙色）系统的单位阶跃响应

2、串联滞后校正

滞后校正网络具有低通滤波器的特性，会使系统开环频率特性的中频和高频段增益降低和截止频率减小，从而有可能使系统获得足够大的相位裕度，它不影响频率特性的低频段。但是校正后系统的截止频率会减小，瞬态响应的速度要变慢 。

单位反馈最小相位系统频率法设计串联滞后校正网络的步骤如下： 1）根据稳态性能要求，确定开环增益K；

2）利用已确定的开环增益，画出未校正系统对数频率特性曲线，确定未校正系统的截止频率、相位裕度和幅值裕度；

，计算或查出不同的γ值，在伯特图上绘制(c)曲线； 3）选择不同的c4）根据相位裕度要求，选择已校正系统的截止频率；

5）确定滞后网络参数b和T ；

6）验算已校正系统的相位裕度和幅值裕度。 【范例7-3】已知单位负反馈系统

𝐾

𝑠(0.05𝑠+1)(0.25𝑠+1)

(自主修正)，，设计要求该系统

10的相角裕度满足50，幅值裕度h17dB，静态速度误差Kv40s。求串联滞后校正

装置的传递函数Gc(s)。

代码：num=40,den=conv ([1,0],[0.05,1]),den =conv(den,[0.25,1]);

G0= tf(num,den) , margin (G0),

gamma0=50,delta=6,gamma = gamma0 + delta ; w=0.01:0.01:1000,

[mag,phase]= bode (G0,w),

n =find (180 + phase-gamma <=0.1), wgamma = n(1) /100;

[mag, phase] = bode (G0 ,wgamma); Lhc = -20*log10(mag); beta = 10^(Lhc/20);

w2 =wgamma/10; w1=beta*w2, a=1/w2,b=1/w1,

numc=[a,1],denc=[b,1],Gc=tf(numc,denc), G=G0*Gc,

bode (G0,G),hold on, margin(G), beta

命令窗口结果串联滞后校正装置的传递函数

Gc = 4.202 s + 1 ----------- 63.07 s + 1

Gc(s)：

运行结果：

纠正前（橙色）和纠正后（蓝色）伯德图对比

纠正前（左）和纠正后（右）阶跃响应对比

自我实践：

已知单位负反馈系统被控制对象的传递函数为：

𝐾0

𝑠(0.1𝑠+1)(0.001𝑠+1)

,试着设计

串联超前矫正装置，使得系统的相位裕度γ>45°，静态误差系数Kv=1000s-1.

代码如下：

delta=2; s=tf('s'),

G=1000/ (s*(0.1*s+1)*(0.001*s+1)); margin(G)

[gm,pm]=margin(G), phim1=50;

phim=phim1 -pm+delta; phim=phim*pi/180;

alfa=(1+sin(phim))/(1-sin(phim)); a=10*log10(alfa);

[mag,phase,w]=bode(G) ;adB=20*log10 (mag) ; Wm=spline(adB,w,-a) ; t=1/ (Wm*sqrt(alfa));

Gc=(1+alfa*t*s)/ (1+t*s) ;[ gmc, pmc]=margin(G*Gc); figure;

margin (G*Gc) figure;

step(feedback(G,1)), figure;

step(feedback(G*Gc,1))

命令窗口结果： G=

1000

--------------------------

0.01 s^3 + 0.101 s^2 + s Gc =

0.01716 s + 1 -------------- 0.002042 s + 1 G*Gc=

17.16 s + 1000

---------------------------------------------

2.042e-07 s^4 + 0.0003062 s^3 + 0.103 s^2 + s 运行结果：

校正前（蓝色）和校正后（红色）系统的Bode图

校正前和校正后系统的单位阶跃响应对比

三、实验能力要求.

（1）熟练掌握频率法设计控制系统串联超前/滞后校正网络的方法。

（2）熟练使用MATLAB编程完成控制系统串联超前/滞后校正设计，掌握函数find ( )的作用，并灵活运用。

（3）比较分析控制系统校正前后的各项性能指标，明确串联超前/滞后校正的作用。 （4）了解串联超前/滞后校正环节对系统稳定性及过渡过程的影响。