学大教育个性化教学教案
Beijing XueDa Century Education Technology Ltd.
个性化教学辅导教案
学科 数学 任课教师：于金梅 授课时间：2010 年 3 月 14 日(星期日) 姓名 吴紫琪 年级 高三 性别 女 课题： 三角函数知识复习 知识点：三角函数基本概念、三角函数图像与性质 教学 能力：培养学生的灵活运用和数形结合的能力 目标 方法：讲授法、练习法 难点 重点：三角函数的定义 重点 难点：三角函数图像与性质 课前 检查 作业完成情况：优□ 良□ 中□ 差□ 建议__________________________________________ 一、 一、三角函数的相关概念 1、任意角的概念：正角、负角、零角、象限角、轴线角、与角终边相同的角 2、弧度制： 角度制与弧度制的转化： 考点：三角函数相关知识点 1__rad,1rad__度 课 堂 教 学 过 程 3、任意角的三角函数 1． 设是一个任意角，在的终边上任取（异于原点的）一点P（x,y） 则P与原点的距离r过 程 2．比值xy22x2y20 y叫做的正弦 记作： sinrx 比值叫做的余弦 记作： cosry 比值叫做的正切 记作： tanx 比值y rx ry xxx叫做的余切 记作： cot yy比值rr叫做的正割 记作： sec xxrr叫做的余割 记作： csc yy 比值注意突出几个问题： ①角是“任意角”，当=2k+(kZ)时，与的同名三角函数值应该是相等的，即凡是终边相同的角的三角函数值相等。 1
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②实际上，如果终边在坐标轴上，上述定义同样适用。 ③三角函数是以“比值”为函数值的函数。 ④r0，而x,y的正负是随象限的变化而不同，故三角函数的符号应由象限确定。 ⑤定义域： k(kZ) ycos R ysec k(kZ) 2ytanycsck(kZ)k(kZ)ysinRycot2典型例题： 例1 已知的终边经过点P(2,3)，求的六个三角函数值 y 解：x2,y3,r22(3)213 213 13 o x ∴sin=13313 cos= tan= cot= P(2,-3) 23 sec=例2 求下列各角的四个三角函数值 (1) 0 (2) (3)321313 csc= 233 (4) 224、三角函数的值在各象限的符号 第一象限：x0,y0∴sin0,cos0,tan0,cot0,sec0,csc0 第二象限：x0,y0∴sin0,cos0,tan0,cot0,sec0,csc0 第三象限：x0,y0∴sin0,cos0,tan0,cot0,sec0,csc0 第四象限：x0,y0∴sin0,cos0,tan0,cot0,sec0,csc0 记忆法则：一全正，二正弦，三正切，四余弦。 (1)sin0例3 求证角为第三象限角的充要条件是 (2)tan0必要性：若是第三象限角，则必有sin0,tan0 充分性：若⑴ ⑵ 两式成立 ∵若sin0 ，则角的终边可能位于第三、第四象限，也可能位于y轴的非正半轴． 若tan0，则角的终边可能位于第一或第三象限． ∵(1)(2)都成立 ∴角的终边只能位于第三象限． ∴角为第三象限角． 2
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二、正弦函数的性质 先画出y＝sinx的图象．（画此图象时（五点法），为了观察准确，应多画几个周期．） 从图象上可以观察出： 1．定义域：x∈R． 2．值域：y∈［-1，1］ 3．周期性：正弦函数y=sinx是周期函数．2π是它的最小正周期，2kπ（k∈Z，k＝0）都是它的周期． 4．增减性：从图象上可以看出正弦函数在整个实数域上不是增函数，也不是减函数，但具有增减区间． 5．最值：最大值为1，最小值为-1，但取得最值的时刻不唯一．例 取到最小值1．（不唯一，从周期性可得到解释） 3
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6．奇偶性：正弦函数的图象关于原点中心对称，从中可以看出正弦函数是奇函数．这点可以用代数方法证明如下： 设f（x）=sinx．因为sin（-x）=-sinx， 即f（-x）=-f（x），由奇函数定义知正弦函数是奇函数． 7．对称性：正弦函数的图象是中心对称图形，但除原点外正弦函数图象还有没有其它的对称中心呢？（引导学生将y轴左移或右移π个单位，2π个单位，3π个单位，……即平移kπ个单位）正弦函数图象的对称中心也可以是点（0，0），点（π，0），点（2π，0），……即点（kπ，0），k∈Z．再引导学生仔细观 的，这是由它的周期性而来的． 在较为详细地研究了正弦函数的性质后，可以引导学生用类比的方法，写出余弦函数的性质，然后由教师给予订正． 三、余弦函数的性质 画出y＝cosx图象． 1．定义域：x∈R． 2．值域：y∈［-1，1］． 3．周期性：余弦函数y＝cosx是周期函数，最小正周期为2π．T=2kπ（k≠0，k∈Z）都是它的周期． 4．增减性：从余弦函数图象上可以看出，余弦函数在整个实数域上不具备单调性．但具有无数个单调区间，当x∈［2kπ，π＋2kπ］（k∈Z）时，y随x的增大而减小；当x∈［π＋2kπ，2π＋2kπ］（k∈Z）时，y随x的增大而增大． 4
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5．最值：当x=2kπ（k∈Z）时，y取最大值1；当x＝2kπ＋π（k∈Z）时，y取最小值-1，即当x＝kπ（k∈Z）时，y取得最值． 6．奇偶性：余弦函数图象关于y轴对称，从中可以看出余弦函数为偶函数，这可通过cos（-x）=cosx来证明． （k∈Z）都是对称中心；又是轴对称图形，所有直线x=kπ，k∈Z都是对称轴． 至此，我们对正弦函数、余弦函数的性质已有所了解．下面换个角度进行思考． 当我们仔细对比正弦函数、余弦函数性质后，会发现它们有很多共同之处．我们不妨把两个图象中的直角坐标系都去掉，会发现它们其实都是同样形状的曲线，如下图． 所以它们的定义域相同，都为R．值域也相同，都是［-1，1］．最大值都是1，最小值都是-1，只不过由于y轴放置的位置不同，使取得最大（或最小）值的时刻不同．它们的周期相同，最小正周期都是2π．它们的图象都是轴对称图形和中心对称图形，且都是以图象上函数值为零所对应的点为对称中心，以过最值点且垂直于x轴的直线为对称轴．但是由于y轴的位置不同，对称中心及对称轴与x轴交点的横坐标也不同．它们都不具备单调性，但都有单调区间，且都是增、减区间间隔出现．也是由于y轴的位置改变，使增减区间的位置有所不同．也使奇偶性发生了改变． 练习：画出下列函数的图象． （1）y=2sinx （3）y=sinx+1 解答过程如下： （1）y=2sinx．先用“五点法”画出y=sinx图象，再纵向伸至2倍． （2）y=-cos是把y=cosx图象作关于x轴的对称变换． （3）y=sinx+1的图象可将y=sinx图象向上平移1个单位． （2）y=-cosx （4）y=sinx+cosx，x∈［0，2π］ 5
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师：此题y=sinx+cosx是否还有其它作法？ 课堂 听课及知识掌握情况反馈_________________________________________________________。 检测 测试题(累计不超过20分钟)_______道；成绩_______；教学需:加快□;保持□;放慢□;增加内容□ 课后 作业_____题; 巩固复习____________________ ; 预习布置_____________________ 巩固 签字 教学组长签字： 学习管理师: 老师 老师最欣赏的地方： 课后 老师想知道的事情： 赏识 老师的建议： 评价 6
