数列前n项和构成不等式证明与技巧

安徽五河一中 邢文举、杨梅玲

该题型一般有三种解题思路：第一，若数列an是可求和数列，应先求和Sn，再证明不等式；第二，若数列an是不可求和数列，一般先将数列的通项放缩成可求和数列，再求和证明不等式；第三，若数列是不可求和数列，对通项的放缩又有一定的困难可尝试用数学归纳法证明不等式，当然有的可求和数列和构成的不等式也可用数学归纳法证明，下面以例说明。

例1、各项均为正数的等差数列an，a1=3前n项和为Sn，等比数列bn中，b1=1，且b2S2=，ban是公比为的等比数列。

（1）求an、bn；

（2）证明

1S11S21Sn34

（1）设an的公差为d，bn的分比为q（d>0,q>0） 则an=3+(n-1)d bn=q n-1

ban1banqan11an1qqan1anqd

又b2S2=q(6+d)=

可求得：d=2，q=8 ∴an=2n+1，bn=8n-1 （2）由（1）知Sn=n(n+2)

1Sn1n(n2)111()2nn2

显然1是可求和数列，先求和，再证明不等式 Sn 1

∴

11S11S2121n11Sn111111111 (1)()()()232435nn2)12(112)34=(12n2

∴原不等式对nN成立

2、等比数列an的前n项和为Sn，已知对任意的nN，点(n,Sn)均在函数y=bx+r(b>0且b≠1,b,r均为常数)的图象上。

（1）求r的值； （2）当b=2时设b1nn4a(nN)，数

n列b1n的前n项和为Tn，证明Tn2

（1）由已知有Sn=bn+r，当n≥2时，Sn-1=bn-1+r ∴an=Sn-Sn-1=(b-1)·bn-1 又a1=b+r a2=(b-1)b ∴a2a(b1)b1brb ∴r=-1

（2）由b=2，故（1）有：an1n=2n-1 bn=2n1

由bn是可求和数列，先求和后证明不等式 Tn=b1+b2+b3+…+bn ∴T2341n222324n2n1 ① 12Tn2233n242n1n12n2 ②

①-②得：12111n12Tn2223242n12n2

∴T3n3n22n1

∵Tn为递增数列

2

∴TnT1∴Tn

1232112

对nN成立

例3、证明不等式：112131n2(n11)（nN）

证明（一）∵数列1n2nn1是不可求和数列，应先放缩再证明不等式。 n∵ ∴

1122n1n2(n1n)

131n2(21)(32)(43)(n1n)

=2（n11） ∴112131n2(n11)对nN成立

（二）数学归纳法证明

（1）当n=1时，12(21)，即n=1不等式成立。 （2）假设当n=k(nN)时不等式成立 即：112131k2(k11)

当n=k+1时

112131k1k12(k11)1k1

=2k1

1k12(2k11k1)22

=4(k1)41k124(k1)42

=2((k1)11)

3

即n=k+1时，不等式成立。

由（1）（2）知，原不等式对nN均成立

例4、已知数列an前n项和为Sn，点(n,Sn)在函数y=3x-1的图象上，bn=n(n1)an，bn前n项和为Bn，证明：Bn：由已知：Sn=3n-1 当n=1时，a1=3-1=2

当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2×3n-1 ∴an=2×3n-1（nN） ∴bnn(n1)23n1

（一），显然bn是不可求和数列，先放缩，再证明不等式。 ∵bnn(n1)23n1=4n24n3n1(2n1)23n1

=(2n+1)×3n-1 ∴Bn=b1+b2+b3+…+bn <3×1+5×3+7×32+…+(2n+1)×3n-1 令Tn=3×1+5×3+7×32+…+(2n+1)×3n-1 由错位相减法可求得Tn=n×3n ∴Bn< n×3n 注：也可用均值不等式：n(n1)（二）用数学归纳法证明：Bn< n·3n ①当n=1时，B1=b1=2222<1×31=3 即n=1时，不等式成立

②假设当n=k+1时，不等式成立，即BkkBk+1=Bk+bk+1n(n1)22n12对bn进行放缩。

< k·3k+

(k1)(k2)2k

23k

=(3k+3)×3=(k+1)×3k+1 即n=k+1时不等式成立

由①②知：Bn< n·3n对nN均成立

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