四川省成都七中20212022学年度上半学期考试22届高三文科数学上期半期考试试卷-含答案

数 学 试 卷（文科）

(试卷总分:150分,考试时间:120 分钟)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.设全集U={0,1,2,3,4,5,6},集合A={1,2,4},B={1,3,5},则A∩(∁UB)=(A.{0,6}2.复数z

A.-2B.{1,4}C.{2,4})D.{3,5})43i

(其中i为虚数单位)的虚部为(2iB.-1C.1D.23.青少年视力被社会普遍关注,为了解他们的视力状况,经统计得到图中右下角12名青少年的视力测量值ai(i=1,2,3,…,12)(五分记录法)的茎叶图,其中茎表示个位数,叶表示十分位数.如果执行右图所示的算法程序,那么输出的结果是(A.4B.5)C.6D.74.抛物线y2=2px(p≠0)上的一点P(-9,12)到其焦点F的距离|PF|等于(A.17)B.15C.13D.115.奥运会跳水比赛有7名评委给出某选手原始评分,在评定该选手的成绩时,去掉其中一个最高分和一个最低分,得到5个有效评分,则与7个原始评分(不全相同)相比,一定会变小的数字特征是(A.众数B.方差)C.中位数D.平均数)6.已知一个几何体的三视图如右,则它的表面积为(A.3πB.4πC.5πD.6π7.设平面向量a,b的夹角为120º,且|a|=1,|b|=2,则a·(2a+b)=(A.1B.2C.3D.4文科数学(第1页,共4页))第１页，共８页

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三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个题目考生都必须作答.第22,23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17.(12分)某企业有甲、乙两条生产线,其产量之比为4:1.现从两条生产线上按分层抽样的方法得到一个样本,其部分统计数据如右表(单位:件),且每件产品都有各自生产线的标记.（1）请将2×2列联表补充完整,并根据性检验估计:大约有多大把握认为产品的等级差异与生产线有关?产品件数甲生产线乙生产线总计750一等品二等品2总计（2）从样本的所有二等品中随机抽取2件,求至少有1件为甲生产线产品的概率.18.(12分)如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,D是BC的中点.（1）求证:平面ADC1⊥平面BCC1B1;（2）已知AA1=2AB,求异面直线A1B与DC1所成角的大小.*

19.(12分)已知n∈N,数列{an}的首项a1=1,且满足下列条件之一:①an1

②2nan1(n1)an.(只能从①②中选择一个作为已知)．．．．．．（1）求{an}的通项公式;（2）若{an}的前n项和Sn;22n文科数学(第3页,共4页)第３页，共８页

x2y2

20.(12分)已知椭圆C:221(a>b>0)的短轴长为23,左顶点A到右焦点F的距离ab为3.（1）求椭圆C的方程及离心率;（2）设直线l与椭圆C交于不同两点M,N(不同于A),且直线AM和AN的斜率之积与椭圆的离心率互为相反数,求证:l经过定点.21.(12分)已知函数f(x)=ex-ksinx,其中k为常数.（1）当k=1时,判断f(x)在区间(0,+∞)内的单调性;（2）若对任意x∈(0,π),都有f(x)>1,求k的取值范围.(二)选考题:共10分.请考生在第22,23题中任选一题作答.如果多做,那么按所做的第一题计分.22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)在平面直角坐标系xOy中,伯努利双纽线C1(如图)的普通方程为(x+y)=2(x-y),曲线C2的参数方程为

2

22

2

2

xrcos(其中r(0,2),θ为参数).yrsin（1）以O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,求C1和C2的极坐标方程;（2）设C1与C2交于A,B,C,D四点,当r变化时,求凸四边形ABCD的最大面积.23.[选修4-5:不等式选讲](10分)设M为不等式|x+1|+4≥|3x-1|的解集.（1）求集合M的最大元素m;（2）若a,b∈M且a+b=m,求11

的最小值.a2b3文科数学(第4页,共4页)第４页，共８页

成都七中2021～2022学年度（上）半期考试高三数学试题

参及评分意见(文科)

一、选择题:(每小题5分,共60分)二、填空题:(每小题5分,共20分)13、x∈N,2x≥x；2

CABCBBADADCD14、x+2y-3=0；15、1；316、-2(2分);(-∞,0)∪[2,+∞)(3分).三、解答题:(共70分)17、解:（1）由题意,补充完整的2×2列联表如下.产品件数甲生产线乙生产线总计2一等品387452二等品235总计401050(3分,每两空给1分)(5分)(6分)503837250K5.556.于是45540109因为5.556∈(5.024,6.635),所以大约有98%的把握认为产品的等级差异与生产线有关.(注:位于区间[97.5%,99%)内均可给分)（2）设样本中甲生产线上的二等品为m,n,乙生产线上的二等品为a,b,c.从中随机抽取2件,有mn,ma,mb,mc,na,nb,nc,ab,ac,bc共10种可能情形.其中至少有1件为甲生产线上的二等品有mn,ma,mb,mc,na,nb,nc共7种可能情形.故从样本的二等品中随机抽取2件,至少有1件为甲生产线产品的概率为0.7.18、（1）证明:由已知,ΔABC为正三角形,又D是BC的中点,所以BC⊥AD.因为ABC-A1B1C1为正三棱柱,所以CC1⊥底面ABC.又AD底面ABC,所以CC1⊥AD.又BC∩CC1=C,所以AD⊥平面BCC1B1.因为AD平面ADC1,所以平面ADC1⊥平面BCC1B1.（2）解:取B1C1的中点F,连结A1F,BF.因为BD与FC1平行且相等,所以四边形BDC1F为平行四边形.故DC1∥BF,于是异面直线A1B与DC1所成的角为∠A1BF(或其补角).设AB=2,则A1B=23,A1F=3,BF=3.由勾股定理逆定理,知∠A1FB为直角,易得∠A1BF=30º.故异面直线A1B与DC1所成角的大小为30º.(注:也可连结A1C交AC1于点E,则A1B∥DE,于是∠C1DE为所求)高三(上)半期考试数学(文科)参（第1页,共4页）(8分)(10分)(12分)(1分)(2分)(3分)(4分)(5分)(6分)(7分)(8分)(9分)(10分)(11分)(12分)第５页，共８页

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故可设l的方程为x=ty+m(m≠-2),代入3x2+4y2=12,并整理得(3t2+4)y2+6mty+3(m2-4)=0.设M(tym,y+m,y6mt

3(m24)1+1),N(ty22),则y1y23t2,y1y23t24.(※)因为A(-2,0),由kAMkAN1

2,得y4(21y)(2tyty1.1m2m2)2整理得(t2

+2)y1y2+(m+2)t(y2

1+y2)+(m+2)=0.将(*)式代入,得3(m2-4)(t2+2)-6m(m+2)t2+(m+2)2(3t2

+4)=0.因为m≠-2,化简得3(m-2)(t2+2)-6mt2+(m+2)(3t2+4)=0.化简得3(m-2)+2(m+2)2

=0,解得m

2

5(此时Δ>0恒成立).所以直线l经过定点P(25,0).21、解：（1）当k=1时,求导得f(x)excosx.因为x>0,所以f(x)1cosx≥0.故f(x)在区间(0,+∞)内单调递增.（2）①当k≤1时,因为x∈(0,π),所以sinx>0.于是ksinx≤sinx,所以f(x)≥ex-sinx.由（1）知,ex-sinx>1,于是f(x)>1,满足题意.②当k>1时,易知f(x)exkcosx在区间(0,π)内单调递增.又因为f(0)1k0,f(π)eπk0,所以存在唯一的α∈(0,π),使得f()0.且当01得,k

1

sin(0xπ).设函数g(x)exx1

ex(sinxcosx)cosxsinx(0xπ),则g(x)sin2x.设函数h(x)=ex(sinx-cosx)+cosx(00.因为x∈(0,π),所以ex>1,sinx>0,故h(x)>0.于是函数h(x)在区间(0,π)内单调递增.于是h(x)>h(0)=0,即g(x)0.故g(x)在区间(0,π)内单调递增.又xlim0g(x)xlimex1,于是h(x)>1.0cosx故所求实数k的取值范围是(-∞,1].22、解：（1）由(x2+y2)2=2(x2-y2),得ρ4=2(ρ2cos2θ-ρ2sin2θ).于是ρ2

=2(cos2

θ-sin2

θ),所以C2

1的极坐标方程为ρ=2cos2θ.高三(上)半期考试数学(文科)参（第3页,共4页）第７页，共８页

(6分)(7分)(8分)(9分)(10分)(11分)(12分)(1分)(2分)(3分)(4分)(5分)(6分)(7分)(8分)(9分)(10分)(11分)(12分)(4分)(5分)(6分)(7分)(8分)(9分)(10分)(11分)(12分)(1分)(2分)由xrcosyrsin,消去参数θ,得x2+y2=r2.由x2+y2=ρ2

得,曲线C2的极坐标方程为r(0r2).（2）易知曲线C1与C2关于x轴和y轴对称,所以四边形ABCD为矩形.所以凸四边形ABCD的面积S4S2

OAB2OAsinAOB.设A(r,θ),B(r,-θ),则OA2

2cos2,AOB2.于是S4cos2sin22sin4≤2.故凸四边形ABCD的最大面积为2(当且仅当π

8时取得).此时r2cosπ442(0,2).23、解：（1）当x<-1时,原不等式化为-(x+1)+4≥-(3x-1),得x>-1,此时无解;当-1≤x≤13时,原不等式化为(x+1)+4≥-(3x-1),得x≥-1,故-1≤x≤1;当x>11

33时,原不等式化为(x+1)+4≥3x-1,得x≤3,故30,b+2>0.由柯西不等式,得[(a2)(b3)](1又a+b=3,所以1a21b3)≥4.a211111b3≥2,即a2b3的最小值为2.(当且仅当a+2=b+3=4即a=2,b=1时取得).或解:由a,b∈M,所以a+2≥1,b+3≥2.所以[(a2)(b3)](1a21b3)2b3a2a2b≥2+2=4.又a+b=3,所以11a2b3≥12,即113a2

b3的最小值为1

2.(当且仅当a+2=b+3=4即a=2,b=1时取得).高三(上)半期考试数学(文科)参（第4页,共4页）第８页，共８页

(3分)(4分)(5分)(6分)(7分)(8分)(9分)分)(1分)(2分)(3分)(4分)(5分)(6分)(8分)(9分)分)(6分)(8分)(9分)分)(10(10(10