若F(x) Lebesgue可测则|F(x)|也Lebesgue可测，用定义直接证明。但是反过来不行，比如F在某不可测集上取1，余下取-1。F(x) Lebesgue可积等价于|F(x)| Lebesgue可积，直接用定义验证。
在数学中，可测与可积是两个非常重要的概念。可以通俗的理解为，如果一个对象是可测的，那么它的面积、体积等属性是可以被测得的；而如果一个函数是可积的，那么它的积分也是可以被计算出来的。因此，可积对于我们理解函数相关的问题具有重要的意义。但是，对于一个函数而言，如果我们要判断其是否可积...
给定集合X及其上的σ-代数σ和σ上的一个测度，实值函数f:X→R是可积的如果正部f和负部f都是可测函数并且其勒贝格积分有限。
连续一定有界：在闭区间上连续的函数在该区间上必然有界。连续与可积的关系：连续一定可积：在闭区间上连续的函数在该区间上必然可积。可积不一定连续：例如狄利克雷函数处处不连续但可积，积分值为0。可积与有界的关系：可积一定有界：在闭区间上可积的函数在该区间上必然有界。可导与可微的关系：可...
可测函数是一个大前提，但是不一定可积，比如1/x,在单位区间（0，1）上不可积。
可积函数是指存在积分的函数。在勒贝格积分的框架下，一个函数是可积的，如果其正部和负部都是可测函数，并且它们的勒贝格积分有限。这意味着函数在整个定义域上的总体变化量都是有限的，因此可以计算其积分值。反常积分的情况：需要注意的是，有些函数可能在某些特定情况下下是可积的，但不存在原函数...
可积函数是指存在积分的函数。在勒贝格积分的意义下，一个函数是可积的，如果其正部和负部都是可测函数，并且其勒贝格积分有限。结论：可积性并不直接保证原函数的存在。有些函数虽然可积，但可能不存在原函数，比如某些具有跳跃间断点的函数。另一方面，存在反常积分的函数也可能不存在原函数。关系与...
可微，设函数y= f(x)，若自变量在点x的改变量Δx与函数相应的改变量Δy有关系Δy=A×Δx+ο(Δx)，其中A与Δx无关，则称函数f(x)在点x可微，并称AΔx为函数f(x)在点x的微分，记作dy，即dy=A×Δx，当x= x0时，则记作dy_x=x0。可积，设是定义在区间上的一个函数，是一个...
极限存在、连续、有界、可积、可导/可微之间的关系如下：极限存在：定义了函数在某点附近的值趋向于某个常数。是理解函数在某点附近行为的基础。连续：意味着函数值在某点的极限等于该点的函数值。连续是可导的必要条件：一个函数在某点可导，则它必须在该点连续。连续是函数可积的必要条件：虽然连续...
可积与连续的关系：可积不一定连续，连续必定可积。可导与可积的关系：可导一般可积，可积推不出一定可导。可微=>可导=>连续=>可积。函数可导的条件：如果一个函数的定义域为全体实数，即函数在其上都有定义，那么该函数是不是在定义域上处处可导呢？答案是否定的。函数在定义域中一点可导需要一定...
