线性代数复习题一、选择题
1.设D1= | a | 11 | a | 12 | a | 13 | ，D2 = | 4 a | 11 | 5 a | 11 | ? | 2 a | 12 | a | 13 | ，则( ) |
a | 21 | a | 22 | a | 23 | 4 a | 21 | 5 a | 21 | ? | 2 a | 22 | a | 23 | |||
a | 31 | a | 32 | a | 33 | 4 a | 31 | 5 a | 31 | ? | 2 a | 32 | a | 33 |
A.D2=-8D1 B.D2=8D1 C.D2=12D1 D.D2=28D12.A，B是n阶方阵，则下列结论成立的是( )
A.AB≠O <===> A≠O 且B≠O B.A=E <===> |A|=1 C.|AB|=0 <===> |A|=O 或|B|=0 D.|A|=0 <===> A=O
3.如果方程组 | ??? ?? | kx | 1 | ? | x | 2 | ? | x | 3 | ? | 0 | 有非零解，则k=( ) | ||
x | 1 | ? | kx | 2 | ? | x | ? | 0 | ||||||
3 | ||||||||||||||
x | 1 | ? | x | 2 | ? | kx | ? | 0 | ||||||
3 | ||||||||||||||
A.1 B.2 C.-1 或2 D.1 或-2
4.如果A= | ?? ? ?? | 1 | 2 | ?? ? ?? | 2 | ?? ? ?? | ，则A 的伴随矩阵A*=( ) | 2 | ? ? ? | D. | ?? ? ?? | 1 | 2 | ? | 2 | ? ? ? | ||||||||||||||||
0 | 1 | 2 | ||||||||||||||||||||||||||||||
A. | ?? ? ?? | ? | 1 | |||||||||||||||||||||||||||||
0 | 0 | 1 | ||||||||||||||||||||||||||||||
0 | 0 | B. | ?? ? ?? | 1 | 0 | 0 | ? ? ? | C. | ?? ? ?? | 1 | ? | 2 | ||||||||||||||||||||
? | 2 | 1 | 0 | 2 | 1 | 0 | 0 | 1 | ? | 2 | 0 | 1 | 2 | |||||||||||||||||||
2 | 2 | 1 | ? | 2 | 2 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | ||||||||||||||||||||
5.设n阶矩阵A满足A?-A-2E=0，则A-1=( )
A.2(A-E) B. (A-E) C.2(E-A) D. (E-A)
6.设 | a | 11 | a | 12 | a | 13 | =6，则 | 3 a | 11 | 4 a | 11 | ? | a | 12 | 2 a | 13 | =( ) |
a | 21 | a | 22 | a | 23 | 3 a | 21 | 4 a | 21 | ? | a | 22 | 2 a | 23 | |||
a | 31 | 32 | a | 33 | 3 a | 31 | 4 a | 31 | ? | a | 32 | 2 a | 33 | ||||
A.24 B.-24 C.36 D.-36
7.设A为m×n矩阵，X为n×1矩阵，则矩阵方程AX=B有解的充要条件是( ) A.R(A)=R(A,B) B.R(A)=R(A,B)<n C.R(A)=R(A,B)=n D.R(A)≠R(A,B)
8.如果A= | ????? | 2 | 0 | 0 | ????? | ，则A 的伴随矩阵A*= ( ) |
0 | 0 | 1 | ||||
0 | 1 | 0 |
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| | 0 | 0 | ????? | B. | | ? | 1 | 0 | 0 | | | ?? | 1 | 0 | 0 | ?? | | ?? |
| 0 | 0 | ? | ||||||||||||
A. | ??1 ? ?0 ? ?0 | ????? | ????? | C. | ????? | 2 | | | ????? | D. | ????? | 2 0 | ? | ||||||||||||||||||||||
0 | 2 | 0 | 0 | ? | 2 | 0 | 1 | 0 | ? | 1 | |||||||||||||||||||||||||
2 | 0 | ? | 2 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | ? | 1 | 0 | ||||||||||||||||||||||||
9.如果方程组 | ??? ?? | kx 1 | ? | x | 2 | ? | x | 3 | ? | 0 | 有非零解，则k=( ) | ||||||||||||||||||||||||
x | 1 | ? | kx | 2 | ? | x | 3 | ? | 0 | ||||||||||||||||||||||||||
2 | x | 1 | ? | x | 2 | ? | x | 3 | ? | 0 | |||||||||||||||||||||||||
A.4 B.4 或-1 C.-4 D.1 或-4
10.设n阶矩阵A满足A?-2A=3E，则A-1=( )
A.A-2E B.2E-A C.-(A-2E) D. (A-2E)
11.向量组B：b1，b2，……，bl可由向量组A：a1，a2，……，am线性表示的充要条件是( )
A.R(A)=R(A,B) B.R(B)=R(A,B) C.R(A)<R(A,B) D.R(A)=R(B)
12.向量组A：a1，a2，……，am线性无关的充要条件是( )
A.R(a1,a2,…,am)<m B.R(a1,a2,…,am)=m
C.a1,a2,…,ar(r<m)线性无关 D.a1,a2,…,ar(r>m)线性相关 | ????? | 1 | 0 | ? | 1 | 4 | ? | ||||||||
0 | 1 | 4 | ? | 5 | |||||||||||
13.矩阵方程AX=O 的系数矩阵A 经过初等行变换化为 | ????? | 1 | 0 | ? | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | ||||||
4 | ????? | ， | |||||||||||||
0 | 1 | 4 | ? | 5 | |||||||||||
0 | 0 | 0 | 0 | ||||||||||||
则该方程组的基础解系为( )
A.ξ1 = | ??????? | 1 | ??????? | ，ξ2 = | ??4? ????1 0 | ? | B. ξ1 = | ??????? | 1 | ??????? | ，ξ2 = | ??????? | 4 | ? | |||||
? | 4 | ? | 4 | ? | 5 | ||||||||||||||
1 | 1 | 0 | |||||||||||||||||
0 | |||||||||||||||||||
C.ξ1 = | ??????? | 1 | ??????? | ，ξ2 = | ??????? | 4 | ? | D. ξ1 = | ??????? | 1 | ??????? | ，ξ2 = | ??4? ???? 1 0 | ? | |||||
? | 4 | ? | 5 | ? | 4 | ||||||||||||||
0 | 1 | 0 | |||||||||||||||||
1 | |||||||||||||||||||
14.矩阵A=(-2，1，3)，B=(-1，2)，则ATB=( )
A. | ?? ? ?? | 2 | ? | 4 | ? ? ? | B. | ?? ? ?? | 2 | ? | 4 | ? ? ? | C. | ?? ? ?? | ? | 2 | ? | 4 | ? ? ? | A. | ??2 ? ?1 ? ?3 | 4 | ? ? ? | |
1 | 2 | ? | 1 | 2 | 1 | 2 | 2 | ||||||||||||||||
3 | 6 | ? | 3 | 6 | 3 | 6 | 6 | ||||||||||||||||
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二、填空题
1.A=(-1，2，3)，B=(2，-1)，则ATB= ，BTA= 。
2.A= | ?? ? ?? | 1 | ? | 2 | 3 k | ?? ? ?? | 且R(A)=1，则k= 。 | ||
? | 1 | 2 k | ? | 3 | |||||
k | ? | 2 | 3 | ||||||
3.已知向量组a1=(a,1,1)T，a2=(1,a,-1)T，a3=(1,-1,a)T线性无关，则a取值范围是 。
4.若AX=B 的增广矩阵(A,B)经过初等行变换化为 | ?? ? ?? | 1 | 0 | ? | 1 | 4 | ?? ? ?? | ，则通解为 。 | |
0 | 1 | 4 | ? | 5 | |||||
0 | 0 | 0 | 0 | ||||||
5.设A为3阶方阵，且|A|=，则|(3A)-1-5A*|= 。
6.若AX=0 的系数矩阵A 经过初等行变换化为 | ?? ? ?? | 1 | 0 | ? | 3 | 4 | ?? ? ?? | ，则基础解系为 。 | |
0 | 1 | 4 | ? | 5 | |||||
0 | 0 | 0 | 0 | ||||||
7.已知四阶行列式D中第三列元素依次为-1,2,0,1，它们的代数余子式依次为5,3,-7,4，则
D= .
8.设A= | ???? | ? | 4 | 1 | 2 | ???? | ，则A-1 = 。 | 3 | ?? ? ?? | ，则A+2B= 。 | |||||
? | 2 | 3 | |||||||||||||
?? ? ?? | 2 | ?? ? ?? | ，B= | ?? ? ?? | 1 | 1 | |||||||||
3 | |||||||||||||||
9.矩阵A= | 4 | 1 | 1 | 2 | 1 | 2 | |||||||||
3 | 4 | 3 | 3 | 4 | 1 | ||||||||||
10.A为7阶方阵，且满足AT=-A，则|A|= .
1 | 1 | X | 1 | 1 | |||||||||
11.设D= | 1 | 2 | 3 | 4 | ，则D= 。 | ||||||||
4 | 9 | ||||||||||||
1 | 8 | 27 |
| ||||||||||
12.设 | ???? | 1 | 2 4 | ???? | ???? | 0 2 | 1 | ???? | ，则X= 。 | ||||
3 | 0 | ||||||||||||
13.设A= | ?? ? ?? | 1 | 2 | 2 | ?? ? ?? | ，AX-A=E，则X= 。 | |||||||
0 | 1 | ||||||||||||
0 | 0 | ||||||||||||
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14.如果方程组 | ??? ?? | kx 1 | ? | x | 2 | ? | x | 3 | ? | 0 | 有非零解，则k= 。 | ||
x | 1 | ? | kx | 2 | ? | x | 3 | ? | 0 | ||||
x | 1 | ? | x | 2 | ? | kx | 3 | ? | 0 | ||||
15.在条件 时，(A+B)2=A2+2AB+B2，其中A，B为同阶方阵。
16.已知A=(1，-2，3)，B=(1，2，3)，则ATB= ，BTA= 。
17.A= | ?? ? ?? | 2 | 0 | 4 | ?? ? ?? | ，R(A)=2，则k= 。 | |||||||||||||||||||||||||||
? | 1 | 1 | k | ||||||||||||||||||||||||||||||
1 | 2 | 6 | |||||||||||||||||||||||||||||||
18.设A 为4 阶方阵，且A?-A=4E，，|A|=4，则A* = 。 | |||||||||||||||||||||||||||||||||
19.已知AX=b 的通解为X= | ??????? | 1 | ??????? | +c1 | ??????? | 1 | ??????? | +c2 | ??????? | 2 | ??????? | ，则原矩阵方程为 。 | |||||||||||||||||||||
? | 1 | 1 | 4 | ||||||||||||||||||||||||||||||
0 | 1 | 0 | |||||||||||||||||||||||||||||||
0 | 0 | 1 | |||||||||||||||||||||||||||||||
20.A= | ???? | 2 | ? | 1 | ???? | ，则A27= . | |||||||||||||||||||||||||||
3 | ? | 2 | |||||||||||||||||||||||||||||||
3 | 2 | 1 | 4 | 2 | 1 | 4 | 1 | ||||||||||||||||||||||||||
21.D1 = | 6 | 3 | 1 | 10 | ，求D1； D2 = | 3 | ? | 1 | 2 | 1 | ，求D2。 | ||||||||||||||||||||||
1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 2 | 3 | 2 | ||||||||||||||||||||||||||
10 | 4 | 1 | 20 | 5 | 0 | 6 | 2 | ||||||||||||||||||||||||||
22. | ???? | 1 | 4 | ???? | X | ???? | 1 | 0 | ???? | = | ???? | 2 | 1 | ???? | ，则X= 。 | ||||||||||||||||||
? | 1 | 2 | ? | 2 | 1 | 0 | ?1 | ||||||||||||||||||||||||||
23.已知二次型f(x1,x2,x3)=x1?+2x2?+2x1x2+3x1x3+4x2x3，则相对应的对称系数矩阵A= 。
24.已知向量组a1= | ?? ? ?? | 1 | ?? ? ?? | ，a2= | ?? ? ?? | 1 | ?? ? ?? | ，a3= | ?? ? ?? | 1 | ?? ? ?? | ，求R(a1,a2,a3)，并判断是线性相关，无关。 |
1 | 2 | 4 | ||||||||||
1 | 3 | 9 |
25.可逆矩阵A的三个特征值分别为1，2，3,则A-1的三个特征值分别为 .
26.设向量α=(1,2,3,4)T与向量β=(4,a,2,1)T正交，则a= .
27.二次型f(x1,x2,x3)=x1?-2x1x2+x2?-2x1x3+2x2x3+x3?的秩等于 .
28.二次型f(x1,x2,x3)=x1?+2x1x2+2x2?+4x2x3的正惯性指数p= .
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三、计算解答题
1.用施密特正交法把下列向量正交化，规范化：(a1,a2,a3)= | ?1 ? ?1 ??1 | 1 | 1 | ????? | 。 |
2 | 4 | ||||
3 | 9 |
2.判断二次型正定还是负定：f(x1,x2,x3)=x1?+x2?+2x1x3+2x2x3+4x3?。
3.化二次型f(x1,x2,x3)=x1?+2x3?+2x1x3+2x2x3为规范型，并写出相应的变换阵。
4. 若A= | ???? | 3 5 | 1 | ???? | ，B= | ???? | 0 | ? | 1 | ???? | ，C= | ???? | 1 | 2 | ???? | ，求(AB)-1，(ABC)-1，(ATB)-1。 | ||
2 | 2 | 0 | 0 | 3 | ||||||||||||||
5.若A= | ???? | 1 | 2 4 | ???? | ，求(A-2E)-1。 | |||||||||||||
3 | ||||||||||||||||||
6.求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组，并把其余向量用最大无关组线性表示：
(1) | ??????? | 1 | 1 | 2 | 2 | 2 | ??????? | , (2) | ??????? | 2 | ? | 1 | 3 | 3 | ? | 1 | ? | |||||||||||||||||
0 | 2 | 1 | 5 | ? | 1 | 1 | 2 | 0 | 1 | |||||||||||||||||||||||||
2 | 0 | 3 | ? | 1 | 3 | 1 | 0 | 2 | 1 | |||||||||||||||||||||||||
1 | 1 | 0 | 4 | ? | 1 | 2 | 1 | 3 | 0 | |||||||||||||||||||||||||
? | 0 | |||||||||||||||||||||||||||||||||
??? ?? | ( 1 | ? | a | ) | x | 1 | ? | x | 2 | ? | x | |||||||||||||||||||||||
7.已知非齐次线性方程组 | x | 1 | ? | ( 1 | ? | a | ) | x | 2 | ? | x | ? | 3 | |||||||||||||||||||||
3 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
x | 1 | ? | x | 2 | ? | ( 1 | ? | a | ) | x | ? | a | ||||||||||||||||||||||
3 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
a取何值时，此方程组有(1)唯一解；(2)无解；(3)无限多解，并求出通解。
解：对增广矩阵进行初等行变换：
8.已知非齐次线性方程组 | ??? ?? | kx | 1 | ? | x | 2 | ? | x | 3 | ? | 1 | |||||
x | 1 | ? | kx | 2 | ? | x | 3 | ? | k | |||||||
x | 1 | ? | x | 2 | ? | kx | 3 | ? | k | 2 | ||||||
k取何值时，此方程组有(1)唯一解；(2)无解；(3)无限多解，并求出通解。
解：对增广矩阵进行初等行变换：
9.矩阵A= | ?????? | 1 | 0 | x | 1 | 3 | ?????? | ，判定A 中的列向量组是线性相关还是无关，并写出最大无关组。 | |||
? | 1 | 3 | ? | 1 | 0 | ||||||
2 | 1 | 2 | 7 | ||||||||
4 | 2 | 0 | 14 | ? | a | ||||||
a | a | ||||||||||
10.计算行列式 Dn= | a | x | a | ? | a | ||||||
a? | a | x? | ? | a x | |||||||
a | a | ? | |||||||||
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11.求解齐次线性方程组
(1) | ??? ?? | 2 | x | 1 | ? | x | 2 | ? | 2 | x | 3 | ? | x | 4 | ? | 0 | 0 | (2) | ??? ?? | x | 1 | ? | 2 | x | 2 | ? | x | 3 | ? | x | 4 | ? | 0 | ||||||
2 | x | 1 | ? | x | 2 | ? | x | ? | x | ? | 0 | 3 | x | 1 | ? | 6 | x | 2 | ? | x | 3 | ? | 3 | x | 4 | ? | 0 | ||||||||||||
3 | 4 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x | 1 | x | x | ? | 2 | 4 | ? | ? | |||||||||||||||||||||||||||||||
? | 2 | 2 | ? | x | 5 | x | 1 | ? | 10 | x | 2 | x | 3 | ? | 5 | x | 4 | ? | 0 | ||||||||||||||||||||
3 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
12.求解非齐次线性方程组
(1) | ?4 x 1?2 x 2 ? ?3 x 1?x 2? ? ?11 x 1?3 x 2 | ? | x | 3 | ? | 2 | (2) | ??? ?? | 4 | 2 | x | ? | y | ? | z | ? | w | ? | 1 | 2 | ||
? | 10 | x | ? | 2 | y | ? | 2 | z | ? | w | ? | |||||||||||
2 | x | 3 | ||||||||||||||||||||
? | 8 | 2 | x | ? | y | ? | z | ? | w | ? | 1 | |||||||||||
13.设A为三阶矩阵，A*为A的伴随阵.已知|A|=,求|(3A)-1-2A*|.
?a??2??1??2?
14.设向量组?
?3?
?，?
?b?
?，?
?2?
?，?
?3?
?的秩为2，求a，b.
??1????3????1????1??
?40 0?
15.设实对称矩阵?
?03 1?
?，求正交矩阵Q，使Q-1AQ=QTAQ=Λ为对角矩阵。
??0 1 3??
?2x 1?3x 2?2x 3?x4?0
16.求齐次线性方程组的基础解系：
?
?3x 1?5x 2?4x 3?2x 4?0
?
?8x 1?7x 2?6x 3?3x 4?0
? 2?1 2 ?
? ?
17.已知矩阵? 5?3 3 ?，求特征值和特征向量。
?
??1 0 ?2?
?
18.设3阶矩阵A的特征值为λ1=2，λ2=-2，λ3=1，对应的特征向量依次为
p1= | ????? | 0 | ????? | ，p2= | ?1???1????1?? | ，p3= | ????? | 1 | ????? | 求矩阵A。 |
1 | 1 | |||||||||
1 | 0 |
19.写出下列二次型的矩阵：
(1) f(x) = XT | ???? | 2 | 1 | ???? | X； (2) f(x) = XT | ?? ? ?? | 1 | 2 | 3 | ?? ? ?? | X。 |
4 | 5 | 6 | |||||||||
3 | 1 | ||||||||||
7 | 8 | 9 |
20.设α1=(1,1,1)，α2=(1,2,3)，α3=(1,3,t)，
(1)t为何值时，α1，α2，α3线性相关？
(2)t为何值时，α1，α2，α3线性无关？
(3)当线性相关时，将α3表示为α1，α2的线性组合.
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21.判定二次型的正定性：f(x1,x2,x3)=-2x1?-6x2?-4x3?+2x1x2+2x1x3
22.已知向量组a1，a2，a3线性无关，b1=2a1+a2，b2=a2+5a3，b3=4a3+3a1。试证b1，b2，b3也线性无关.23.已知向量组a1，a2，a3，a4线性无关，b1=a1+a2，b2=a2+a3，b3=a3+a4，b4=a4-a1。试证b1，b2，b3，b4也线性无关.
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