遭遇超期羁押的申诉方式为：向或者向人民监督员申诉。犯罪嫌疑人、被告人及其法定代理人、近亲属或者犯罪嫌疑人、被告人委托的律师及其他辩护人对于人民、人民或者机关采取强制措施超过法定期限的，有权要求解除强制措施。
【本文关联的相关法律依据】
《刑事诉讼法》第七十九条
人民、人民和机关对犯罪嫌疑人、被告人取保候审最长不得超过十二个月，监视居住最长不得超过六个月。
在取保候审、监视居住期间，不得中断对案件的侦查、起诉和审理。对于发现不应当追究刑事责任或者取保候审、监视居住期限届满的，应当及时解除取保候审、监视居住。解除取保候审、监视居住，应当及时通知被取保候审、监视居住人和有关单位。
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