2019年十堰市中考数学试卷（解析版）
一、选择题（每小题3分，共30分） 1．（3分）下列实数中，是无理数的是（ ） A．0
B．﹣3
C．
D．
【解答】解：A、0是有理数，故A错误； B、﹣3是有理数，故B错误；
C、是有理数，故C错误；
是无理数，故D正确；
故选：D． 2．（3分）如图，直线a∥b，直线AB⊥AC，若∠1＝50°，则∠2＝（ ）
D、
A．50° B．45° 【解答】解：∵直线AB⊥AC， ∴∠2+∠3＝90°． ∵∠1＝50°，
∴∠3＝90°﹣∠1＝40°， ∵直线a∥b，
∴∠1＝∠3＝40°， 故选：C．
C．40° D．30°
3．（3分）如图是一个L形状的物体，则它的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：从上面看可得到两个左右相邻的长方形，并且左边的长方形的宽度远小于右面长方形的宽度．
故选：B． 4．（3分）下列计算正确的是（ ） A．2a+a＝2a2 B．（﹣a）2＝﹣a2 C．（a﹣1）2＝a2﹣1 D．（ab）2＝a2b2
1
【解答】解：A、2a+a＝3a，故此选项错误；
B、（﹣a）2＝a2，故此选项错误；
C、（a﹣1）2＝a2﹣2a+1，故此选项错误； D、（ab）2＝a2b2，正确．
故选：D． 5．（3分）矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ）
A．对边相等 B．对角相等 C．对角线相等 D．对角线互相平分 【解答】解：矩形的对角线相等，而平行四边形的对角线不一定相等． 故选：C． 6．（3分）一次数学测试，某小组5名同学的成绩统计如下（有两个数据被遮盖）：
组员 得分
甲 81
乙 77
丙 ■
丁 80
戊 82
平均成绩 80
众数 ■
则被遮盖的两个数据依次是（ ） A．80，80 B．81，80 C．80，2 D．81，2 【解答】解：根据题意得：80×5﹣（81+77+80+82）＝80（分）， 则丙的得分是80分；众数是80， 故选：A． 7．（3分）十堰即将跨入高铁时代，钢轨铺设任务也将完成．现还有6000米的钢轨需要铺设，为确保年底通车，如果实际施工时每天比原计划多铺设20米，就能提前15天完成任务．设原计划每天铺设钢轨x米，则根据题意所列的方程是（ ） A．C．
﹣﹣
＝15 ＝20
B．D．
﹣﹣
＝15 ＝20
，
【解答】解：设原计划每天铺设钢轨x米，可得：
故选：A． 8．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AE⊥CB交CB的延长线于点E，若BA平分∠DBE，AD＝5，CE＝，则AE＝（ ）
A．3 B．3 【解答】解：连接AC，如图， ∵BA平分∠DBE， ∴∠1＝∠2，
∵∠1＝∠CDA，∠2＝∠3， ∴∠3＝∠CDA， ∴AC＝AD＝5，
C．4 D．2
2
∵AE⊥CB，
∴∠AEC＝90°， ∴AE＝故选：D．
＝
＝2
．
9．（3分）一列数按某规律排列如下：，，，，，，，，，，…，若第n个数为，则n＝（ ） A．50
B．60 C．62 D．71
【解答】解：，，，，，，，，，，…，可写为：，（，），（，，），（，，，），…， ∴
分
母
为
11
开
头
到
分
母
为
1
的，
∴第n个数为，则n＝1+2+3+4+…+10+5＝60， 故选：B．
10．（3分）如图，平面直角坐标系中，A（﹣8，0），B（﹣8，4），C（0，4），反比例函数y＝的图象分别与线段AB，BC交于点D，E，连接DE．若点B关于DE的对称点恰好在OA上，则k＝（ ）
数
有
11
个
，
分
别
为
A．﹣20 B．﹣16 C．﹣12 D．﹣8
【解答】解：过点E作EG⊥OA，垂足为G，设点B关于DE的对称点为F，连接DF、EF、BF，如图所示：
则△BDE≌△FDE，
∴BD＝FD，BE＝FE，∠DFE＝∠DBE＝90° 易证△ADF∽△GFE ∴
，
∵A（﹣8，0），B（﹣8，4），C（0，4）， ∴AB＝OC＝EG＝4，OA＝BC＝8， ∵D、E在反比例函数y＝的图象上，
3
∴E（，4）、D（﹣8，∴OG＝EC＝
）
，AD＝﹣，
∴BD＝4+，BE＝8+
∴，
∴AF＝，
在Rt△ADF中，由勾股定理：AD2+AF2＝DF2 即：（﹣）2+22＝（4+）2 解得：k＝﹣12 故选：C．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）分解因式：a2+2a＝ a（a+2） ． 【解答】解：a2+2a＝a（a+2）．
12．（3分）如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E为BC的中点，若OE＝3，则菱形的周长为 24 ．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝AD，BO＝DO， ∵点E是BC的中点，
∴OE是△BCD的中位线， ∴CD＝2OE＝2×3＝6，
∴菱形ABCD的周长＝4×6＝24； 故答案为：24． 13．（3分）我市“创建文明城市”活动正如火如荼的展开．某校为了做好“创文”活动的宣传，就本校学
4
生对“创文”有关知识进行测试，然后随机抽取了部分学生的测试成绩进行统计分析，并将分析结果绘制成如下两幅不完整的统计图：
若该校有学生2000人，请根据以上统计结果估计成绩为优秀和良好的学生共有 1400 人． 【解答】解：∵被调查的总人数为28÷28%＝100（人）， ∴优秀的人数为100×20%＝20（人）， ∴估计成绩为优秀和良好的学生共有2000×故答案为：1400．
14．（3分）对于实数a，b，定义运算“◎”如下：a◎b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2．若（m+2）◎（m﹣3）＝24，则m＝ ﹣3或4 ．
【解答】解：根据题意得[（m+2）+（m﹣3）]2﹣[（m+2）﹣（m﹣3）]2＝24， （2m﹣1）2﹣49＝0，
（2m﹣1+7）（2m﹣1﹣7）＝0， 2m﹣1+7＝0或2m﹣1﹣7＝0， 所以m1＝﹣3，m2＝4．
故答案为﹣3或4． 15．（3分）如图，AB为半圆的直径，且AB＝6，将半圆绕点A顺时针旋转60°，点B旋转到点C的位置，则图中阴影部分的面积为 6π ．
＝1400（人），
【解答】解：由图可得， 图中阴影部分的面积为：
＝6π，
故答案为：6π． 16．（3分）如图，正方形ABCD和Rt△AEF，AB＝5，AE＝AF＝4，连接BF，DE．若△AEF绕点A旋转，当∠ABF最大时，S△ADE＝ 6 ．
5
【解答】解：作DH⊥AE于H，如图，
∵AF＝4，当△AEF绕点A旋转时，点F在以A为圆心，4为半径的圆上， ∴当BF为此圆的切线时，∠ABF最大，即BF⊥AF， 在Rt△ABF中，BF＝∵∠EAF＝90°，
∴∠BAF+∠BAH＝90°， ∵∠DAH+∠BAH＝90°， ∴∠DAH＝∠BAF， 在△ADH和△ABF中
，
∴△ADH≌△ABF（AAS）， ∴DH＝BF＝3，
∴S△ADE＝AE•DH＝×3×4＝6． 故答案为6．
＝3，
三、解答题（本题有9个小题，共72分） 17．（5分）计算：（﹣1）3+|1﹣
|+
．
【分析】原式利用乘方的意义，绝对值的代数意义，以及立方根定义计算即可求出值． 【解答】解：原式＝﹣1+﹣1+2＝．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 18．（6分）先化简，再求值：（1﹣）÷（
﹣2），其中a＝
+1．
【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将a的值代入化简后的式子即可解答本题． 【解答】解：（1﹣）÷（＝＝
﹣2）
6
＝当a＝
，
+1时，原式＝
．
【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法． 19．（7分）如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，AD＝3m，坝高AE＝DF＝6m，坡角α＝45°，β＝30°，求BC的长．
【分析】过A点作AE⊥BC于点E，过D作DF⊥BC于点F，得到四边形AEFD是矩形，根据矩形的性质得到AE＝DF＝6，AD＝EF＝3，解直角三角形即可得到结论． 【解答】解：过A点作AE⊥BC于点E，过D作DF⊥BC于点F， 则四边形AEFD是矩形，有AE＝DF＝6，AD＝EF＝3， ∵坡角α＝45°，β＝30°，
∴BE＝AE＝6，CF＝DF＝6，
∴BC＝BE+EF+CF＝6+3+6＝9+6， ∴BC＝（9+6）m，
答：BC的长（9+6）m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形和矩形，利用锐角三角函数的概念和坡度的概念求解． 20．（7分）第一盒中有2个白球、1个黄球，第二盒中有1个白球、1个黄球，这些球除颜色外无其他差别． （1）若从第一盒中随机取出1个球，则取出的球是白球的概率是
．
（2）若分别从每个盒中随机取出1个球，请用列表或画树状图的方法求取出的两个球中恰好1个白球、1个黄球的概率． 【分析】（1）直接利用概率公式计算可得；
（2）先画出树状图展示所有6种等可能的结果数，再找出恰好1个白球、1个黄球的结果数，然后根据概率公式求解；
【解答】解：（1）若从第一盒中随机取出1个球，则取出的球是白球的概率是， 故答案为：；
（2）画树状图为：
，
共有6种等可能的结果数，取出的两个球中恰好1个白球、1个黄球的有3种结果，
7
所以取出的两个球中恰好1个白球、1个黄球的概率为．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：运用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率． 21．（7分）已知于x的元二次方程x2﹣6x+2a+5＝0有两个不相等的实数根x1，x2． （1）求a的取值范围；
（2）若x12+x22﹣x1x2≤30，且a为整数，求a的值．
【分析】（1）根据根的判别式，可得到关于a的不等式，则可求得a的取值范围；
（2）由根与系数的关系，用a表示出两根积、两根和，由已知条件可得到关于a的不等式，则可求得a的取值范围，再求其值即可．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+2a+5＝0有两个不相等的实数根x1，x2， ∴△＞0，即（﹣6）2﹣4（2a+5）＞0， 解得a＜2；
（2）由根与系数的关系知：x1+x2＝6，x1x2＝2a+5， ∵x1，x2满足x12+x22﹣x1x2≤30， ∴（x1+x2）2﹣3x1x2≤30， ∴36﹣3（2a+5）≤30， ∴a≥﹣，∵a为整数，
∴a的值为﹣1，0，1． 【点评】本题主要考查根与系数的关系及根的判别式，利用根的判别式求得k的取值范围是解题的关键，注意方程根的定义的运用． 22．（8分）如图，△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，点E为C延长线上一点，且∠CDE＝∠BAC．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AB＝3BD，CE＝2，求⊙O的半径．
【分析】（1）根据圆周角定理得出∠ADC＝90°，按照等腰三角形的性质和已知的2倍角关系，证明
8
∠ODE为直角即可；
（2）通过证得△CDE∽△DAE，根据相似三角形的性质即可求得． 【解答】解：（1）如图，连接OD，AD， ∵AC是直径， ∴∠ADC＝90°， ∴AD⊥BC， ∵AB＝AC，
∴∠CAD＝∠BAD＝∠BAC， ∵∠CDE＝∠BAC．
∴∠CDE＝∠CAD， ∵OA＝OD，
∴∠CAD＝∠ADO，
∵∠ADO+∠ODC＝90°， ∴∠ODC+∠CDE＝90° ∴∠ODE＝90°
又∵OD是⊙O的半径 ∴DE是⊙O的切线；
（2）解：∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴BD＝CD， ∵AB＝3BD， ∴AC＝3DC，
设DC＝x，则AC＝3x， ∴AD＝
＝2
x，
∵∠CDE＝∠CAD，∠DEC＝∠AED， ∴△CDE∽△DAE， ∴∴DE＝4
＝
，即
＝，
＝
，x＝
∴AC＝3x＝14， ∴⊙O的半径为7．
【点评】本题考查了圆的切线的判定定理、圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形相似的判定和性质，
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解题的关键是作出辅助线构造直角三角形或等腰三角形． 23．（10分）某超市拟于中秋节前50天里销售某品牌月饼，其进价为18元/kg．设第x天的销售价格为y（元/kg），销售量为m（kg）．该超市根据以往的销售经验得出以下的销售规律：①当1≤x≤30时，y＝40；当31≤x≤50时，y与x满足一次函数关系，且当x＝36时，y＝37；x＝44时，y＝33．②m与x的关系为m＝5x+50． （1）当31≤x≤50时，y与x的关系式为
；
（2）x为多少时，当天的销售利润W（元）最大？最大利润为多少？
（3）若超市希望第31天到第35天的日销售利润W（元）随x的增大而增大，则需要在当天销售价格的基础上涨a元/kg，求a的最小值．
【分析】本题是通过构建函数模型解答销售利润的问题．
（1）依据题意利用待定系数法，易得出当31≤x≤50时，y与x的关系式为：y＝
x+55，
（2）根据销售利润＝销售量×（售价﹣进价），列出每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润．
（3）要使第31天到第35天的日销售利润W（元）随x的增大而增大，则对称轴＝即可
【解答】解：
（1）依题意，当x＝36时，y＝37；x＝44时，y＝33， 当31≤x≤50时，设y＝kx+b， 则有
，解得
≥35，求得a∴y与x的关系式为：y＝（2）依题意， ∵W＝（y﹣18）•m ∴
x+55
整理得，
当1≤x≤30时， ∵W随x增大而增大
∴x＝30时，取最大值W＝30×110+1100＝4400 当31≤x≤50时，
W＝
∵
x2+160x+1850＝
＜0
∴x＝32时，W取得最大值，此时W＝4410
综上所述，x为32时，当天的销售利润W（元）最大，最大利润为4410元
10
（3）依题意，
W＝（y+a﹣18）•m＝
∵第31天到第35天的日销售利润W（元）随x的增大而增大 ∴对称轴x＝
＝
≥35，得a≥3
故a的最小值为3．
【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值）． 24．（10分）如图1，△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α，D为△ABC内一点，将△CAD绕点C按逆时针方向旋转角α得到△CBE，点A，D的对应点分别为点B，E，且A，D，E三点在同一直线上． （1）填空：∠CDE＝
（用含α的代数式表示）；
（2）如图2，若α＝60°，请补全图形，再过点C作CF⊥AE于点F，然后探究线段CF，AE，BE之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）若α＝90°，AC＝5，且点G满足∠AGB＝90°，BG＝6，直接写出点C到AG的距离．
【分析】（1）由旋转的性质可得CD＝CE，∠DCE＝α，即可求解；
（2）由旋转的性质可得AD＝BE，CD＝CE，∠DCE＝60°，可证△CDE是等边三角形，由等边三角形的性质可得DF＝EF＝
，即可求解；
（3）分点G在AB的上方和AB的下方两种情况讨论，利用勾股定理可求解． 【解答】解：（1）∵将△CAD绕点C按逆时针方向旋转角α得到△CBE ∴△ACD≌△BCE，∠DCE＝α ∴CD＝CE ∴∠CDE＝故答案为：（2）AE＝BE+理由如下：如图，
CF
11
∵将△CAD绕点C按逆时针方向旋转角60°得到△CBE ∴△ACD≌△BCE
∴AD＝BE，CD＝CE，∠DCE＝60° ∴△CDE是等边三角形，且CF⊥DE ∴DF＝EF＝
∵AE＝AD+DF+EF ∴AE＝BE+
CF
（3）如图，当点G在AB上方时，过点C作CE⊥AG于点E，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝5， ∴∠CAB＝∠ABC＝45°，AB＝10 ∵∠ACB＝90°＝∠AGB
∴点C，点G，点B，点A四点共圆 ∴∠AGC＝∠ABC＝45°，且CE⊥AG ∴∠AGC＝∠ECG＝45° ∴CE＝GE
∵AB＝10，GB＝6，∠AGB＝90° ∴AG＝
＝8
∵AC2＝AE2+CE2， ∴（5
）2＝（8﹣CE）2+CE2，
∴CE＝7（不合题意舍去），CE＝1
若点G在AB的下方，过点C作CF⊥AG， 同理可得：CF＝7
∴点C到AG的距离为1或7．
【点评】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的性质，旋转的性质，等边三角形的性质，勾股定理，利用勾股定理列出方程是本题的关键．
25．（12分）已知抛物线y＝a（x﹣2）2+c经过点A（2，0）和C（0，），与x轴交于另一点B，顶点
12
为D．
（1）求抛物线的解析式，并写出D点的坐标；
（2）如图，点E，F分别在线段AB，BD上（E点不与A，B重合），且∠DEF＝∠A，则△DEF能否为等腰三角形？若能，求出BE的长；若不能，请说明理由； （3）若点P在抛物线上，且
＝m，试确定满足条件的点P的个数．
【分析】（1）利用待定系数法，转化为解方程组即可解决问题．
（2）可能．分三种情形①当DE＝DF时，②当DE＝EF时，③当DF＝EF时，分别求解即可．
（3）如图2中，连接BD，当点P在线段BD的右侧时，作DH⊥AB于H，连接PD，PH，PB．设
P[n，﹣（n﹣2）2+3]，构建二次函数求出△PBD的面积的最大值，再根据对称性即可解决问题．
【解答】解：（1）由题意：，
解得，
（x﹣2）2+3，
∴抛物线的解析式为y＝﹣∴顶点D坐标（2，3）．
（2）可能．如图1，
∵A（﹣2，0），D（2，3），B（6，0）， ∴AB＝8，AD＝BD＝5，
①当DE＝DF时，∠DFE＝∠DEF＝∠ABD，
∴EF∥AB，此时E与B重合，与条件矛盾，不成立． ②当DE＝EF时， 又∵△BEF∽△AED， ∴△BEF≌△AED，
13
∴BE＝AD＝5
③当DF＝EF时，∠EDF＝∠DEF＝∠DAB＝∠DBA， △FDE∽△DAB， ∴∴
＝＝
， ＝，
∵△AEF∽△BCE ∴
＝
＝，
，
时，△CFE为等腰三角形．
∴EB＝AD＝
答：当BE的长为5或
（3）如图2中，连接BD，当点P在线段BD的右侧时，作DH⊥AB于H，连接PD，PH，PB．设
P[n，﹣（n﹣2）2+3]，
则S△PBD＝S△PBH+S△PDH﹣S△BDH＝×4×[﹣（n﹣4）2+， ∵﹣＜0，
∴n＝4时，△PBD的面积的最大值为， ∵
＝m，
（n﹣2）2+3]+×3×（n﹣2）﹣×4×3＝﹣
∴当点P在BD的右侧时，m的最大值＝观察图象可知：当0＜m＜当m＝
＝，
时，满足条件的点P的个数有4个，
时，满足条件的点P的个数有3个，
14
当m＞
时，满足条件的点P的个数有2个（此时点P在BD的左侧）．
15
